2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第4章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式（含解析）

第第页§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式课标要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当α为钝角时，cos(π－α)＝cosα.(×)(2)若sin(2kπ－α)＝eq\f(3,5)(k∈Z)，则sinα＝eq\f(3,5).(×)(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(×)(4)若α∈R，则tanα＝eq\f(sinα,cosα)恒成立．(×)2．(多选)已知x∈R，则下列等式恒成立的是()A．sin(－x)＝sinxB．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝cosxC．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinxD．cos(x－π)＝－cosx答案CD解析sin(－x)＝－sinx，故A不成立；sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝－cosx，故B不成立；coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))＝－sinx，故C成立；cos(x－π)＝－cosx，故D成立．3．若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，则tanα等于()A．－2B．2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案D解析∵eq\f(π,2)<α<π，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).4．已知cosα＝eq\f(1,5)，－eq\f(π,2)<α<0，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),tanα＋πcos－αtanα)的值为．答案eq\f(\r(6),12)解析因为－eq\f(π,2)<α<0，所以sinα＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2)＝－eq\f(2\r(6),5)，所以tanα＝－2eq\r(6).则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),tanα＋πcos－αtanα)＝eq\f(－sinα,tanαcosαtanα)＝－eq\f(1,tanα)＝eq\f(1,2\r(6))＝eq\f(\r(6),12).题型一同角三角函数基本关系式例1(1)已知tanα＝－3，则eq\f(sin3α－sinα,cosα)等于()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,10)D．－eq\f(3,10)答案C解析因为tanα＝－3，所以eq\f(sin3α－sinα,cosα)＝eq\f(sinαsin2α－1,cosα)＝－eq\f(sinαcos2α,cosα)＝－eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(－3,9＋1)＝eq\f(3,10).(2)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，则()A．θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) B．cosθ＝－eq\f(3,5)C．tanθ＝－eq\f(3,4) D．sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)答案ABD解析∵sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，①∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,25)，∴2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，∵θ∈(0，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故A正确；(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝eq\f(49,25)，∴sinθ－cosθ＝eq\f(7,5)，②故D正确；由①②得sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝－eq\f(3,5)，故B正确；tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝－eq\f(4,3)，故C错误．思维升华(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)，asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α等类型可进行弦化切．(3)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．跟踪训练1(1)已知sinαcosα＝eq\f(3,8)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，则cosα－sinα的值为()A.eq\f(1,2)B．±eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)答案D解析∵sinαcosα＝eq\f(3,8)，∴(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(3,8)＝eq\f(1,4)，∵eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，∴cosα<sinα，即cosα－sinα<0，∴cosα－sinα＝－eq\f(1,2).(2)若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanθ＝eq\f(1,2)，则sinθ－cosθ＝.答案－eq\f(\r(5),5)解析因为θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)＝eq\f(1,2)，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝eq\f(\r(5),5)或sinθ＝－eq\f(\r(5),5)(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－eq\f(\r(5),5).题型二诱导公式例2(1)若sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)，则cos(π－2α)等于()A.eq\f(3,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(7,25)D．－eq\f(7,25)答案C解析∵sin(π＋α)＝－eq\f(4,5)，∴sinα＝eq\f(4,5)，∴cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2－1＝eq\f(7,25).(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))等于()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C．－eq\f(5,13)D．－eq\f(12,13)答案B解析因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(12,13).延伸探究若把本例(2)中条件换为“coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(1,3)”，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))的值为．答案－eq\f(1,3)解析因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(1,3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,6)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝－eq\f(1,3).思维升华诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．跟踪训练2(1)化简：eq\f(sinθ－5πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)－θ))cos8π－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))sin－θ－4π)等于()A．－sinθ B．sinθC．cosθ D．－cosθ答案A解析原式＝eq\f(sinθ－πcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))cosθ,cosθsin－θ)＝eq\f(－sinθ－sinθcosθ,cosθ－sinθ)＝－sinθ.(2)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))等于()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案B解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝－eq\f(3,5).题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(2\r(7),7)C.eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(1,3)答案C解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3sinβ－2tanα＋5＝0，,tanα－6sinβ－1＝0，))消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝eq\f(9,10)，又α为锐角，∴sinα>0，则sinα＝eq\f(3\r(10),10).(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝－eq\f(1,5)，则eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值为．答案－eq\f(24,175)解析由已知得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)，∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25).由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，∴sinx－cosx＝－eq\f(7,5).∴eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝－eq\f(24,175).思维升华(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3(1)已知tan(α－π)＝eq\f(1,3)，则eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sinα＋π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))等于()A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－3答案C解析由tan(α－π)＝eq\f(1,3)，解得tanα＝eq\f(1,3)，则eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＋sinα＋π,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(3π,2))))＝eq\f(sinα,－cosα)＝－tanα＝－eq\f(1,3).(2)(多选)下列结论中，正确的是()A．sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是角α是锐角B．若cos(nπ－α)＝eq\f(1,3)(n∈Z)，则cosα＝eq\f(1,3)C．若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,tanα)D．若sinα＋cosα＝1，则sinnα＋cosnα＝1答案CD解析由诱导公式二知当α∈R时，sin(π＋α)＝－sinα，故A错误；当n＝2k(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cosα，此时cosα＝eq\f(1,3)；当n＝2k＋1(k∈Z)时，cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cosα，此时cosα＝－eq\f(1,3)，故B错误；若α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(cosα,－sinα)＝－eq\f(1,tanα)，故C正确；将等式sinα＋cosα＝1两边平方，得sinαcosα＝0，所以sinα＝0或cosα＝0.若sinα＝0，则cosα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；若cosα＝0，则sinα＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，故sinnα＋cosnα＝1，故D正确．课时精练一、单项选择题1．若角α的终边在第三象限，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))等于()A．3B．－3C．1D．－1答案B解析由角α的终边在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3.2．以下四个数中，与sin2024°的值最接近的是()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)答案C解析sin2024°＝sin(360°×5＋224°)＝sin224°＝sin(180°＋44°)＝－sin44°，∵sin45°＝eq\f(\r(2),2)，∴sin2024°的值最接近－eq\f(\r(2),2).3．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝eq\f(1,4)，－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,6)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))等于()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(\r(15),4)C.eq\f(\r(15),4)D.eq\f(1,4)答案C解析sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))，∵－eq\f(π,2)<θ<eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)<eq\f(π,3)＋θ<eq\f(π,2)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝eq\f(1,4)>0，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋θ))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(\r(15),4)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝eq\f(\r(15),4).4．已知cosα＝eq\f(3,5)，α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，则tanβ等于()A.eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)答案D解析∵α是第一象限角，且角α，β的终边关于y轴对称，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，∴tanβ＝tan(π－α＋2kπ)＝tan(π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3).5．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且满足sinαcosβ－2cosαsinβ＝0，则tan(2π＋α)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))的最小值为()A．2B.eq\r(2)C．1D．2eq\r(2)答案D解析因为sinαcosβ－2cosαsinβ＝0，α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以tanα>0，tanβ>0，tanα＝2tanβ，所以tan(2π＋α)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝tanα＋eq\f(1,tanβ)＝2tanβ＋eq\f(1,tanβ)≥2eq\r(2)，当且仅当tanβ＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．二、多项选择题6．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sinCB．sineq\f(B＋C,2)＝coseq\f(A,2)C．tan(A＋B)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))D．cos(A＋B)＝cosC答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；sineq\f(B＋C,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(A,2)))＝coseq\f(A,2)，B正确；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C≠\f(π,2)))，C正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误．7．已知sinθ＋cosθ＝t，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，t∈(－1，eq\r(2)]，函数f(θ)＝sinθ＋cosθ－sinθcosθ，则下列选项正确的是()A．当t＝eq\f(1,2)时，sinθcosθ的值为eq\f(3,8)B．当t＝eq\f(1,2)时，sin3θ－cos3θ的值为－eq\f(5\r(7),16)C．函数f(θ)的值域为(－1，eq\r(2)]D．函数f(θ)的值域为(－1,1]答案BD解析当t＝eq\f(1,2)时，sinθ＋cosθ＝eq\f(1,2)，两边平方，可得1＋2sinθcosθ＝eq\f(1,4)，可得sinθcosθ＝－eq\f(3,8)<0，故A错误；所以θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，所以sinθ－cosθ＝－eq\r(sinθ－cosθ2)＝－eq\r(1－2sinθcosθ)＝－eq\f(\r(7),2)，可得sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋cosθsinθ＋cos2θ)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(7),2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,8)))＝－eq\f(5\r(7),16)，故B正确；因为sinθ＋cosθ＝t，t∈(－1，eq\r(2)]，两边平方，可得1＋2sinθcosθ＝t2，可得sinθcosθ＝eq\f(t2－1,2)，所以sinθ＋cosθ－sinθcosθ＝t－eq\f(t2－1,2)＝1－eq\f(1,2)(t－1)2，因为t∈(－1，eq\r(2)]，所以f(θ)＝sinθ＋cosθ－sinθcosθ∈(－1,1]，故C错误，D正确．三、填空题8．若sinα＝2cosα，则cos2α＋sinαcosα－sin2α＝.答案－eq\f(1,5)解析由sinα＝2cosα，得tanα＝2，则cos2α＋sinαcosα－sin2α＝eq\f(cos2α＋sinαcosα－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα－tan2α,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2－4,4＋1)＝－eq\f(1,5).9．已知tanα＝cosα，则eq\f(1,1－sinα)－eq\f(1,sinα)＝.答案1解析因为tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝cosα，故sinα＝cos2α，则eq\f(1,1－sinα)－eq\f(1,sinα)＝eq\f(sinα－1－sinα,1－sinαsinα)＝eq\f(2sinα－1,sinα－sin2α)＝eq\f(2sinα－1,sinα－1－cos2α)＝eq\f(2sinα－1,2sinα－1)＝1.10．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝.答案－eq\f(1,3)eq\f(1,3)解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(1,3).sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(1,3).11．已知θ是第一象限角，若sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，则sinθ＋cosθ＝.答案eq\f(7,5)解析因为sinθ－2cosθ＝－eq\f(2,5)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cosθ－\f(2,5)))2＋cos2θ＝1，所以5cos2θ－eq\f(8,5)cosθ－eq\f(21,25)＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ－\f(3,5)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5cosθ＋\f(7,5)))＝0，又因为θ为第一象限角，所以cosθ＝eq\f(3,5)，所以sinθ＝eq\f(4,5)，从而sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5).四、解答题12．(1)若α是第二象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq\f(1,3)，求tanα的值；(2)已知f(α)＝eq\f(sin3π－αcos2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cosπ－αsin－π－α)，化简f(α)，在(1)的条件