第4章 指数与对数章末题型归纳总结-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页第4章指数与对数章末题型归纳总结目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：指数的运算经典题型二：对数的运算经典题型三：换底公式的运用经典题型四：证明恒等式经典题型五：指数、对数方程模块三：数学思想方法①分类讨论思想②转化与化归思想③函数与方程思想

模块一：本章知识思维导图

模块二：典型例题经典题型一：指数的运算例1．（2023·全国·高一专题练习）（1）计算：；（2）已知，求的值.【解析】（1）原式==；（2）由，则，则则，即.例2．（2023·全国·高一专题练习）化简：.【解析】.例3．（2023·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）化简求值：(1)；(2)若，求，的值.【解析】（1）；（2），，，又，.例4．（2023·高一课时练习）已知，求的值．【解析】因为，则，可得，则，可得，且，所以.例5．（2023·高一课时练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1）因为，所以.（2）因为，所以.例6．（2023·江苏·高一假期作业）求值：(1)；(2)π0－＋×.【解析】（1）原式；（2）原式.例7．（2023·广东深圳·高一翠园中学校考期中）（1）计算：；（2）化简：．【解析】（1）；（2）.例8．（2023·高一课时练习）计算.【解析】原式例9．（2023·贵州贵阳·高一校联考期中）（1）（2）．【解析】（1）原式（2）原式例10．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）计算：(1)；(2)已知，，求的值.【解析】（1）（2），，，，.经典题型二：对数的运算例11．（2023·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考开学考试）（1）计算.（2）计算：.【解析】（1）.（2）例12．（2023·甘肃·高一统考期中）求值:(1);(2);【解析】（1）；（2）.例13．（2023·高一课时练习）求下列各式中x的值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【解析】（1），，，.（2），，.（3），，，∴.（4），，.（5），，.例14．（2023·陕西咸阳·高三校考开学考试）计算：(1)；(2)．【解析】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.例15．（2023·高一课时练习）已知，试求的值．【解析】，，，.法一：原式.法二：由换底公式，原式.例16．（2023·云南·高一统考期末）计算求值：(1)(2)【解析】（1）原式.（2）原式.例17．（2023·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）计算下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1）；（2）.例18．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）计算下列各式的值：(1)；(2).【解析】（1），（2）例19．（2023·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（

）A．或 B．C． D．2或【答案】D【解析】令，则，所以，解得或，所以或，所以或，因为，所以或，所以或，所以或，故选：D经典题型三：换底公式的运用例20．（2023·河北衡水·高一校考开学考试）已知，则.【答案】2【解析】由题意：，；故答案为：2.例21．（2023·全国·高三专题练习）化简求值：.【答案】/0.75【解析】.故答案为：例22．（2023·河北邢台·高一河北省邢台市会宁中学校考期末）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即，现已知，则.【答案】2【解析】因为，所以，,所以，，所以，故答案为：.例23．（2023·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知则（用含的式子表示）【答案】【解析】因为，所以，故故答案为：例24．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期中）已知，，用表示为．【答案】【解析】因为，，所以，；所以．故答案为:.例25．（2023·全国·高一假期作业）已知，试用表示.【答案】【解析】因为，利用对数的换底公式可得：，，于是，,∴,故答案为：.例26．（2023·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）若，，则.【答案】2【解析】由得到，故.故答案为：2例27．（2023·上海虹口·高一上外附中校考期中）设、是关于x的方程的两个实数根,则．【答案】【解析】解:由题知的两个实数根是、,根据韦达定理有,即,即,.故答案为:例28．（2023·云南红河·高一开远市第一中学校校考期中）若实数a，b，c满足，，，则=．【答案】【解析】因为，，，所以，故，由换底公式可得：.故答案为：2例29．（2023·天津·高二统考学业考试）已知，，则的值为（

）A． B．ab C． D．【答案】D【解析】显然；故选：D.例30．（2023·福建福州·高一校联考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，故，故选：C例31．（2023·江苏·高一假期作业）计算：(1)；(2).【解析】（1）由换底公式可得，；（2）原式.经典题型四：证明恒等式例32．（2023·高一课时练习）已知：，且，试探究：与是否相等？证明你的结论.【解析】与相等，证明如下：由知，，则，即与相等.例33．（2023·山西长治·高三校考阶段练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；(2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，【解析】（1）由题意可得：，时，．证明如下：，，，，，，．（2）由（1）知，时，，即；则，，又综上所述，.例34．（2023·高一课时练习）求解下列问题：(1)证明：．(2)已知，且．求证：．【解析】（1）左边右边（2）令，则，，，所以，，所以．例35．（2023·高一课时练习）已知a>0且a≠1，M>0，N>0.(1)举出一个反例说明不成立；(2)证明：.【解析】（1）假设，则，，.因为，所以当时不成立.（反例不唯一，计算正确即可）（2）令，则，，所以.例36．（2023·江苏·高一专题练习）设，，，，，证明：，.【解析】设，因为，所以,由对数的定义得到，所以；因为，所以，即例37．（2023·全国·高三专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系.对数的定义：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作.比如指数式可以转化为，对数式可以转化为..我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：.理由如下：设，，所以，，所以，由对数的定义得:，又因为，所以解决以下问题：（1）将指数转化为对数式：.（2）仿照上面的材料，试证明：.（3）拓展运用：计算.【解析】（1）将指数转化为对数式：.故答案为：.（2）证明：设，，所以，，所以，由对数的定义得，又因，所以；（3）故答案为：2.经典题型五：指数、对数方程例38．（2023·高一单元测试）解关于的方程.（1）；（2）.【解析】（1）所以应满足由对数的运算性质可将方程化为或.因为（2）所以应满足根据对数的运算性质,则原方程可化为经检验,符合题意例39．（2023·高一课时练习）若是方程的两个实根，求的值.【解析】由题意得：，＝（lga+lgb）（lga﹣lgb）2＝2[（lga+lgb）2﹣4lgalgb]＝2（4﹣4）＝4例40．（2023·高一单元测试）若是方程的解，化简：．【解析】因为，所以，整理得：，，∵，∴．∴，，．例41．（2023·高一课时练习）已知实数满足：，则．【答案】【解析】因为，所以，则．故答案为：,例42．（2023·高一课时练习）方程的实数解为.【答案】【解析】方程可得：，即，化简得：，所以，由题意令（），则，所以，即.故答案为：.例43．（2023·高一课时练习）方程，．【答案】或．【解析】因为，所以或8，解得或．故答案为：或．例44．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）请写出满足方程的一组实数对：．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，∴，∴令得：，即：.故答案为：（答案不唯一）.例45．（2023·全国·高三专题练习）若，是方程的两个根，则．【答案】【解析】由是方程的根，则，所以，即，又由，是方程的两个根，所以，即，所以，所以．故答案为：例46．（2023·高一课时练习）方程log2(5－x)＝2，则x＝．【答案】1【解析】5－x＝22＝4，∴x＝1．故答案为：1．例47．（2023·上海·高一专题练习）方程的解为.【答案】2.【解析】由对数的运算性质可转化条件为，即可得解.方程等价于，所以，解得.故答案为：2.例48．（2023·上海·高考真题）方程的解为.【答案】【解析】由，可得，解得.故答案为:.模块三：数学思想方法①分类讨论思想例49．从2，3，4，5这四个数中选两个数作为的底数和真数，则的情况有（

）A．4种 B．6种 C．8种 D．12种【答案】B

【解析】解：若，则，4，5，共3种；若，则，5，共2种；若，则，共1种；则的情况有6种；故选例50．下列说法正确的个数是（

）①16的4次方根是2；②的运算结果是；③当n为大于1的奇数时，对任意都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B

【解析】①16的4次方根是，故错误；②的运算结果是2，故错误；③当n为大于1的奇数时，对任意都有意义，正确；④当n为大于1的偶数时，只有当时才有意义，正确．故说法正确的个数是2，故选例51．的值是（

）A．0 B． C．0或 D．【答案】C

【解析】解：当时，，当时，，故选例52．如果x，，且，那么的值为__________．【答案】0或2

【解析】解：，当时，，即；同理当时，，即；当，时，，，①，，②①式②式得，，综上所述，或故答案为0或例53．已知，，则__________【答案】4

【解析】解：由已知得，，，由可知，则或若，则，此时，则若，则，此时，则综上，故答案为②转化与化归思想例54．已知，，，那么式子__________．【答案】1

【解析】解：由已知，，，故答案为例55．若，，且，则的最小值为__________．【答案】

【解析】解：因为，所以，所以，即所以当且仅当，即，此时时取等号所以最小值为例56．已知，，求__________．【答案】2

【解析】解：由，，可得，故答案为例57．第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上的古树有5株．对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳测定法测定树木样品中碳衰变的程度鉴定树木年龄．已知树木样本中碳含量与树龄之间的函数关系式为，其中为树木最初生长时的碳含量，n为树龄单位：年，通过测定发现某古树样品中碳含量为，则该古树的树龄约为__________万年．精确到附：【答案】

【解析】解：由题意可得：，整理得故答案为：③函数与方程思想例58．探测某片森林知道，可采伐的木材有10万立方米．设森林可采伐木材的年平均增长率为，则经过__________年，可采伐的木材增加到40万立方米．参考数据：，，最后近似计算按照收尾法进行【答案】19

【解析】解：设经过n年可采伐本材达到40万立方米，则有，即，故有，即经过19年，可采伐的木材增加到40万立方米，故答案为：例59．已知，且，则__________．【答案】4

【解析】解：设，所以，解得依题意：故答案为：例60．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过__________小时才能开车．精确到1小时，参考