高中数学第3讲第1课时二维形式的柯西不等式课件新人教A版选修4-5

第1课时二维形式的柯西不等式1．定理1：(二维形式的柯西不等式)设a，b，c，d均为实数，则：(a2＋b2)(c2＋d2)≥________，其中等号当且仅当________时成立．(ac＋bd)2

ad＝bc

ad＝bc

ad＝bc

|ad|＝|bc|

|α|·|β|β是零向量存在实数k，使α＝kβ

【例1】证明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2.【解题探究】

虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可简化计算．【解析】根据柯西不等式，有(x2＋y4)(a4＋b2)≥(x·a2＋y2·b)2＝(a2x＋by2)2.(当且仅当xb＝y2a2时取等号)利用柯西不等式证明不等式

联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算．所以，经典不等式是数学研究的有力工具．利用柯西不等式求最值

(1)本例应用了柯西不等式的变形形式，困难在于弄清对应于柯西不等式中a，b，c，d的是哪4个数．(2)解此类问题时，应先求出函数的定义域．构造柯西不等式求最值3．已知|x－2y|＝5，证明：x2＋y2≥5.【证明】由柯西不等式有(x2＋y2)[12＋(－2)2]≥(x－2y)2，即5(x2＋y2)≥|x－2y|2.∵|x－2y|＝5，∴5(x2＋y2)≥25，即x2＋y2≥5.1．柯西不等式主要用于证明不等式和求最值，常用到推论1和推论2，要注意公式应用的前提条件和等号成立的条件．2．在柯西不等式的应用过程中，常常需要对式子的结构进行适当的拼凑或变形，构造与柯西不等式一致的形式，弄清问题中的哪些数对应于柯西不等式中的a，b，c，d很重要．3．有些问题既可用柯西不等式，也可用基本不等式来解决，需要分清两种不等式的结构特点．Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3．已知|x－2y|＝5，证明：x2＋y2≥5.【证明】由柯西不等式有(x2＋y2)[12＋(－2)2]≥(x－2y)2，即5(x2＋y2)≥|x－2y|2.∵|x－2y|＝5，∴5(x2＋y2)≥25，即x2＋y2≥5.|α|·|β|β是零向量存在实数k，使α＝kβ

【例1】证明：(x2＋y4)(a4＋b2)≥(a2x＋by2)2.【解题探究】

虽然可以作乘法展开上式的两边，然后再进行比较，但是如果注意到这个不等式的形式与柯西不等式的一致性，就可简化计算．【解析】根据柯西不等式，有(x2＋y4)(a4＋b2