热点07锐角三角函数及其应用(原卷版+解析)

热点07锐角三角函数及其应用安徽中考数学解直角三角形题的主要考向分为四类：一是河流宽度模型，二是塔高模型，三是仰俯角模型，四是航海问题。需要注意的是，虽然在题目呈现上是以上四类题型，但从数学模型来看，所有解直角三角形题型均可分为两大类：一是钝角作垂线形，二是锐角作垂线形。考点一：锐角三角函数【例1】．(2023秋·安徽宿州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A，若AC=4，sinAA．94 B．154 C．12【例2】．(2023秋·安徽芜湖）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于（）A．31010 B．1010 C．4【例3】．(2023秋·安徽亳州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点．（1）若tan∠ACD=1（2）若CD=25，则tan∠ACD【例4】．(2023·安徽淮南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE=_________；（2）CD+55BD【例5】．(2023·安徽合肥）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，将ΔABC绕点C顺时针旋转得到ΔDEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．（1）若∠ABC=20°，则∠BCE=______；（2）若BE=BD，则tan∠ABC=______．【例6】．（2023秋·安徽合肥）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接CF，设∠ABE=α．(1)求∠AFC的大小；(2)过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．①求证：DG∥CF；②连接OD，若OD⊥DG，求sinα【例7】．(2023·安徽·）如图，等边△ABC中，点D在BC上，点E，F在AC上，∠ADE=60°，AD=AF．(1)如图1，求证：EFCF(2)如图2，若∠DAE=∠CDE，①求证：△ABD≌△ACD；②若EF=4，求CF的长．【例8】．(2023秋·安徽蚌埠）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，cosB=45，tanC=3，AB=5考点二：解直角三角形的应用【例9】．(2023秋·安徽安庆）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点．某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进10米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求【例10】．(2023秋·安徽滁州）如图，张明站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，他测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若张明的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，tan∠BAE=4:3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：根号【例11】．(2023秋·安徽安庆）如图，某超市的仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1:2，顶部处的高，B、C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB长度；(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中，将该货柜沿斜坡向上运送，此时GB=6m，身高为1.5m的小明站在B处看到点D正上方1.5m处有一盏吊灯．求点D离地面的高度并求出小明的仰角α的正切值．【例12】．(2023·安徽六安）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：(1)坡顶A到地面PO的距离；(2)网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos7【例13】．(2023·安徽蚌埠·统考二模）某校初中数学综合实践开展了多彩的活动．在一次活动中，某兴趣小组学习了以下史料：魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高：如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=表高×表距(1)该兴趣小组学过解直角三角形后，对该问题的测量方法进行了改良：测得两次测量点之间的距离CH=140m，且∠BHA=30°，∠BCA=20°，请求出海岛的高AB（其中AB⊥AC）．（结果保留两位小数，参考数据：3≈1.732，）(2)证明：海岛的高AB=表高×表距【例14】．(2023·安徽芜湖·统考一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）【例15】．（2023秋·安徽亳州）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF．如图，已知楼顶到地面的距离为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若AB，CD均为1.7米（即四边形ABCD为矩形），请你帮助小亮计算：(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离；(2)求条幅GF的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，一、单选题1．(2023·中考真题）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，∠PQT=α，则河宽PT的长度是（

）A．msinα B．mcosα C．2．下列计算错误的有（

）①sin60°−sin30°=sin30°；②A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（A．817 B．715 C．15174．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿折叠为△BFE，点F落在AD上．若sin∠DFE=1A．12 B．22 C． D．二、填空题5．(2023春·全国）如果α是锐角，sina=cos6．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝_____．三、解答题8．计算：2sin45°﹣|﹣3|+(2023﹣π）0+（12）﹣19．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为（1）已知a=3,b=3，求∠A；（2）已知b=4,c=8，求a及∠A；（3）已知∠A=45°,c=8，求a及b．10．小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为___________．（结果保留根号）(2)正午12点时，太阳刚好没有射入室内此时的CD，并求此时CD的长．（结果保留根号）11．为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进行体温检测．某学校大门AB高6.5米，学生DF身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，在点D处测得摄像头A的仰角为30°，当学生刚好离开体温检测有效识别区域CD段时，在点C处测得摄像头A的仰角为60°，求体温检测有效识别区域CD段的长（结果保留根号）12．(2023·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若∠A=60°，AC=23，求BD13．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据：，，．热点07锐角三角函数及其应用安徽中考数学解直角三角形题的主要考向分为四类：一是河流宽度模型，二是塔高模型，三是仰俯角模型，四是航海问题。需要注意的是，虽然在题目呈现上是以上四类题型，但从数学模型来看，所有解直角三角形题型均可分为两大类：一是钝角作垂线形，二是锐角作垂线形。考点一：锐角三角函数【例1】．(2023秋·安徽宿州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A，若A．94 B．154 C．12答案:B分析：在Rt△ABC中，由锐角三角函数求得AB，再由勾股定理求得BC，最后在Rt△【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，sin∴cosA=1−∴cosA∴AB=5，∴，∵．∴cos∠∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．【例2】．(2023秋·安徽芜湖）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cosA．31010 B．1010 C．4答案:B分析：作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，把【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，作AE⊥由已知可得，，AB=5，BC=3CD=3，∵S△∴AE=AB∴CE=A∴cos∠方法2：由已知可得，，∵AB=BC=5，∴∠C=∴cos∠故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键．【例3】．(2023秋·安徽亳州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D为AB边上一动点．（1）若tan∠ACD=1（2）若CD=25，则tan∠ACD答案:

210分析：（1）过点D作DE⊥AC，垂足为E，在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义求出tanA的值，然后设DE＝x，在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，再在Rt△CED中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，最后根据AC＝10，列出关于x的方程，进行计算可求出DE，CE的长，从而在Rt△CED中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，设DF＝y，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出CF＝（10﹣2y），再在Rt△CFD中，利用勾股定理列出关于y的方程，进行计算即可求出DF，CF的长，最后在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【详解】解：（1）过点D作DE⊥AC，垂足为E，在Rt△ACB中，AC＝10，BC＝5，∴tan设DE＝x，在Rt△ADE中，AE=DE在Rt△CED中，tan∠∴CE=∵AE+EC＝AC，∴2x+3x＝10，∴x＝2，∴CE＝3x＝6，DE＝x＝2，∴CD=故答案为：210（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，设DF＝y，在Rt△ADF中，AF=DF∵AC＝10，AF＝2y，∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2y），在Rt△CFD中，CD=25∵CF2+DF2＝CD2，∴（10﹣2y）2+y2＝20，∴y1＝y2＝4，∴DF＝4，CF＝10﹣2y＝2，∴tan故答案为：2．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【例4】．(2023·安徽淮南·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE=_________；（2）CD+55BD答案:

25

分析：过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M，通过勾股定理及tanA=2即可求出AE、BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM=BE，然后通过锐角三角函数得出DH=55BD，进而可得出CD+55BD=CD+DH，最后利用CD+DH⩾【详解】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA=BEAE设AE=a，BE=2a，∵AB2=AE2+BE2，∴100=a2+4a2，∴a2=20，∴a=25或a=−2∴AE=2故答案为：25（2）∵a=25∴BE=2a=45∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM=BE=45∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=DHBD∴DH=55BD∴CD+55BD=CD+DH∴CD+DH⩾CM，∴CD+55BD⩾∴CD+55BD的最小值为4故答案为：45【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键．【例5】．(2023·安徽合肥）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，将ΔABC绕点C顺时针旋转得到ΔDEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．（1）若∠ABC=20°，则∠BCE=______；（2）若BE=BD，则tan∠ABC=______．答案:

40°

2分析：（1）由题意可求∠A=70°，由旋转可知CA=CD，∠ACB=（2）连接AO．由旋转可知∠ACD=∠BCE，AC=CD，CB=CE，即可证∠CAD=∠CBE．从而可证∠DBE=90°．由BE=BD，即得出∠EDB=∠DEB=45°．从而可求出∠CAD=∠CDE=∠CDA=12(180°−∠BDE)=67.5°，进而可求出∠ACD=180°−2∠CAD=45°，∠ABC=90°−∠CAD=22.5°，最后得出∠OCD=90°−∠ACD=45°．即可利用“SAS”证明△ACD≅△OCD，即得出AC=OC，从而可求出∠CAO=∠COA=45°，进而可求出∠OAB=∠COA−∠ABC=22.5°，即∠OAB=∠OBA，得出OA=OB．设AC=OC=m【详解】解：（1）∵∠ABC=20°，∠ACB=90°，∴∠A=70°．由旋转可知CA=CD，∠ACB=∴∠CDA=∴∠ACD=180°−2∴∠BCD=90°−∴∠BCE=90°−故答案为：40°；（2）如图，连接AO．由旋转可知∠ACD=∠BCE，AC=CD，CB∴∠CAD=12180°−∠ACD∴∠CAD=∵∠CAD+∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠DBE=90°∵BE=BD，∴∠EDB=由旋转可知∠CAD=∵∠CAD=∴∠CAD=∴∠CAD=∴∠ACD=180°−2∠CAD=45°，∠ABC=90°−∴∠OCD=90°−在△ACD和△OCD中∠ACD=∴△ACD∴AC=OC，∴∠CAO=∴∠OAB=∴∠OAB=∴OA=OB．设AC=OC=m，则OA=OB=∴BC=OB+OC=2∴tan∠故答案为：2−1【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质以及求角的正切值等知识，综合性强，困难题型．正确的作出辅助线是解题关键．【例6】．（2023秋·安徽合肥）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接CF，设∠ABE=α．(1)求∠AFC(2)过点C作CG⊥AF，垂足为G，连接DG．①求证：DG∥②连接OD，若OD⊥DG，求sinα答案:(1)135°(2)①见解析；②5分析：（1）连接，根据点A关于直线的对称点为点F，可得∠ABE=∠EBF=α，AB=BF=BC，再根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，三角形内角定理即可解答；（2）①连接AC，根据正方形的性质，以及点A，D，G，C四点共圆，可得∠AGD=∠ACD=45°，结合（1）的结论∠AFB=90°−α，∠AFC=135°，可证∠CFG=∠DGA即可证明；②先证△ADO≌△CDG，结合线段垂直平分线，可得AO=OF=CG=FG=a，再利用勾股定理求出AC，AB的长，再解直角三角形即可解答．【详解】（1）连接，∵点A关于直线的对称点为点F，∴BE是的垂直平分线∴BE⊥AF，AB=BF∵∠∴∠∴∠∴∠∵∠∴∠∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠∴∠FBC=90°−2α，AB=BC=BF∵∠BFC+∠BCF+∠FBC=180°，∠∴∠（2）①连接AC，如图∵四边形ABCD是正方形，∠ADC=90°∴点A，D，G，C四点共圆∴结合（1）的结论有：∠AFB=90°−α，∠②∵CG⊥AF，∠∴△CGF为等腰直角三角形∵DG⊥OD，∠∴△ODG为等腰直角三角形∵四边形ABCD是正方形∴∠ADC=90°，AD=CD，AB=BC∴∠ADO=∠ADC−∠ODC=90°−∠ODC，∠∴△ADO≌△∵点A关于直线的对称点为点F，∴BE是的垂直平分线∴设AO=OF=CG=FG=a∴在Rt△AGC中：AC=∴在Rt△ABC中：AB2∴在Rt△AOB中：sin【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练灵活运用这些知识点是解题关键．【例7】．(2023·安徽·）如图，等边△ABC中，点D在BC上，点E，F在AC上，∠ADE=60°，AD=AF．(1)如图1，求证：EFCF(2)如图2，若∠DAE=①求证：△ABD②若EF=4，求CF的长．答案:(1)证明见解析(2)①证明见解析，②8分析：（1）如图，过C作CH∥DE交DF于H，则△DFE∽△HFC,可得DECH=EFFC,∠EDF=∠H,再证明DC=CH,（2）①证明△CDE∽△CAD,可得∠CED=∠CDA=60°+∠CDE,证明∠CDE=30°,∠ADC=90°,从而可得结论；②设CF=x,证明∠DEC=90°,结合EF=4,

DEDC=EF(1)证明：如图，过C作CH∥DE交DF于H，则△DFE∴DE∵AD=AF,∴∠ADF=∴∠ADE+∵△ABC为等边三角形，∠ADE=60°,∴∠ADE=∴∠EDF=∵∠EDF=∴∠H=∴DC=CH,∴DE∵∠ADE=同理可得：∠EDC=∴△ABD∴AD∴(2)①∵∠DAE=∠CDE，∠DCE=∴△CDE∴∠CED=∴60°+60°+∴∠CDE=30°,∴∠ADC=∵AB=AC,AD=AD,∴△ABD②设CF=x,由①得：∠CDE=30°,而∠ACB=60°,∴∠DEC=90°,∵EF=4,

DEDC=EF∴3解得：x=83【点睛】本题开车车的是全等三角形的判定，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，证明∠ADC=90°,【例8】．(2023秋·安徽蚌埠）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，cosB=45，tanC=3，AB=5答案:2分析：先求出BD的长，然后根据勾股定理求出AD的长，再求出CD的长，最后根据勾股定理求出AC的长即可．【详解】解：∵AD⊥∴∠ADB=∵cosB=45，∴BD=AB∙∴AD=A∵tanC=3∴CD=∴AC=【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了三角形正切值的计算，本题中求得AD的长是解题的关键．考点二：解直角三角形的应用【例9】．(2023秋·安徽安庆）如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点．某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进10米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求答案:C、D​两点间的距离为15m​分析：直接利用等腰三角形的判定与性质得出DE=AE=10，进而求出EF的长，再得出四边形ACDF为矩形，则CD=AF=AE+EF出答案．【详解】解：过点D作l1的垂线，垂足为F∵∠DEB=60°，∠DAB=30°∴，∴△∴DE=AE=10在Rt△DEF中，EF=DE⋅∵DF∴∠DFB=90°∴AC由已知l1∴CD∴四边形ACDF为矩形，CD=AF=AE+EF=15，答：C、D两点间的距离为15m．【点睛】此题主要考查了两点之间的距离以及等腰三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系，得出EF的长是解题关键．【例10】．(2023秋·安徽滁州）如图，张明站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，他测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若张明的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，tan∠BAE=4:3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：根号答案:9.4米分析：构造直角三角形，则AB和CD都为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH−AE−EH即为AC长度．【详解】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点，得Rt△ABE和矩形BEHGtan∠∵AB=10m∴BE=8，AE=6，DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan3∴CH=9.5又∵CH=CA+7即9.53∴CA≈9.4答：CA的长约是9.4米．【点睛】此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．【例11】．(2023秋·安徽安庆）如图，某超市的仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1:2，顶部处的高，B、C在同一水平地面上．(1)求斜坡AB长度；(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中，将该货柜沿斜坡向上运送，此时GB=6m，身高为1.5m的小明站在B处看到点D正上方1.5m处有一盏吊灯．求点D离地面的高度并求出小明的仰角α的正切值．答案:(1)4(2)25分析：(1)根据坡度定义以及勾股定理解答即可；(2)过D点作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H，证出∠GDH=∠SBH，根据tan∠GDH=tan∠SBH=ACBC=GH【详解】（1）解：∵坡度为i=1:2，，∴i=∴BC=2AC=4×2=8在Rt△AB=A故斜坡AB的长度为45（2）解：过D点作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H，∵∠DGH=∠BSH=90°，∠GHD=∴∠GDH=∴tan∠∵DG=EF=2m∴GH=1m∴DH=GH2设HS=xm，则BS=2xm，由勾股定理，得：H得，x2解得：x=5∴DS=DH+HS=5+5=25∴BS=2x=2设小明的仰角为α，则tan【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，求一个角的正切值，熟悉坡度坡角的定义和勾股定理是解题的关键．【例12】．(2023·安徽六安）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：(1)坡顶A到地面PO的距离；(2)网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos7答案:(1)坡顶A到地面PO的距离为10米(2)网络信号塔BC的高度约为18.7米分析：（1）过点A作AH⊥PO，根据斜坡AP的坡度为1：2.4，即可设AH=5k米，则PH=12k米．再根据勾股定理可求出AP=13k米，即13k=26，解出k的值，即可求出AH的值，即坡顶A到地面PO的距离；（2）先延长BC交PO于点D，根据BC⊥AC，AC∥PO，得出BD⊥PO，四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，然后设BC=x，得出AC=DH=x-14，最后根据在Rt△ABC中，tan76°=BCAC【详解】（1）如图，过点A作AH⊥PO，垂足为点∵斜坡AP的坡度为1:2.4，∴AHPH设

AH=5k米，则PH=12k米，由勾股定理，得：AP=13k米，∴13k=26，解得k=2，∴AH=10米，答：坡顶A到地面PO的距离为10米；（2）延长BC交PO于点D，∵BC⊥AC，AC∥∴BD⊥∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10米，AC=DH．∵∠BPD=45°∴PD=BD．设

BC=x米，由（1）可求出PH=12×2=24米，∴BC+CD=PH+DH，即x+10=24+DH，∴AC=DH=(x−14)米，在Rt△ABC中，tan76°=解得x≈18.7．答：网络信号塔BC的高度约为18.7米．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是勾股定理、锐角三角函数，关键是作出辅助线，构造直角三角形．【例13】．(2023·安徽蚌埠·统考二模）某校初中数学综合实践开展了多彩的活动．在一次活动中，某兴趣小组学习了以下史料：魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高：如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB=表高×表距(1)该兴趣小组学过解直角三角形后，对该问题的测量方法进行了改良：测得两次测量点之间的距离CH=140m，且∠BHA=30°，∠BCA=20°，请求出海岛的高AB（其中AB⊥AC）．（结果保留两位小数，参考数据：3≈1.732，）(2)证明：海岛的高AB=表高×表距答案:(1)133.84m(2)见解析分析：（1）设，Rt△ABH和Rt△ABC中，根据∠AHB和∠ACB的正切分别得到tan∠AHB=tan30°=ABAH=（2）证明△HDE∽△HBA，△CFG∽△CBA，推出DEAB=EHAH，FGAB=CGAC，根据（1）解：（1）设，在Rt△ABH中，∴AH=3在Rt△ABC中，∴AC=xCH=AC−AH=x2.778x−1.732x=140，解得x≈133.84．答：海岛的高AB为133.84m．（2）（2）证明：∵AB⊥AC，DE∥AC，FG∥∴DE∥AB，FG∥AB，∴△HDE∽△HBA，△CFG∽△CBA，∴DEAB=EH∵DE=FG，∴DEAB∵CH=CE−EH=CG−EH+EG，∴AB=CG−EH+EG【点睛】本题考查了解直角三角形和相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握正切定义及计算方法，相似三角形的判定和性质．【例14】．(2023·安徽芜湖·统考一模）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）答案:2.3km分析：由题意中已知方位角分别求出，∠CAB=60°，∠CDB=∠BCD，得到BD=BC=2km，在Rt△ABC中求AC即可．【详解】解：如图，过点A作AM//BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠BDC＝67.5°，∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CDB=∴BD=BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB=15°+45°=60°，BC∴sin∠CAB=BC∴AC=2【点睛】本题主要考查了解直角三角形在实际问题中的应用，解题关键是弄清题意，准确分析题目中给出的方位角，并利用三角函数解直角三角形．【例15】．（2023秋·安徽亳州）北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF．如图，已知楼顶到地面的距离为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若AB，CD均为1.7米（即四边形ABCD为矩形），请你帮助小亮计算：(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离；(2)求条幅GF的长度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，答案:(1)小亮站在B处时离教学楼的距离BE为22.4米(2)条幅GF的长度约为10.1米分析：（1）延长AC交于H，根据矩形的性质得到米，，AH=BE，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）知米，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）解：延长AC交于H，则米，，AH=BE，∵米，∴（米），在Rt△AGH中，∴，∴，∴（米），（2）解：由（1）知米，在Rt△FCH中，∵∴tan42°=∴，∴（米），答：条幅GF的长度约为10.1米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．一、单选题1．(2023·中考真题）如图，一条河两岸互相平行，为测得此河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测P、Q两点距离为m米，∠PQT=α，则河宽PT的长度是（

A．msinα B．mcosα C．答案:C分析：结合图形利用正切函数求解即可．【详解】解：根据题意可得：tanα∴PT=PQ·tan故选C．【点睛】题目主要考查解直角三角形的实际应用，理解题意，利用正切函数解直角三角形是解题关键．2．下列计算错误的有（

）①sin60°−sin30°=sin30°；②A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:C分析：利用特殊角的三角函数值逐个代入计算判断即可；【详解】解：①sin60°−sin②，正确；③tan260°=(3)错误的有3个，故选择：C【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．3．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（A．817 B．715 C．1517答案:C分析：先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A根据折叠可知，BE=BC=3，DE∴在△AFD和△EFB中∠A∴ΔAFD∴AF=EF，设AF=EF=在RtΔBEF中，即5−x解得：x=85∴cos∠故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明ΔAFD4．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿折叠为△BFE，点F落在AD上．若sin∠DFE=1A．12 B．22 C． D．答案:B分析：根据题意可知sin∠DFE=DEEF=13，故可设DE=x，则．再根据折叠的性质可知CE=EF=3x，∠EFB=90°，BC【详解】∵sin∠∴DEEF设DE=x，则由折叠的性质可知CE=EF=3x，∴AB=∵∠EFB∴∠DFE∵∠ABF∴∠DFE∴sin∠∵sin∠∴AFBF设AF=y，则∵AF2+∴y=∴BC=3∴tan∠故选：B．【点睛】本题考查矩形与折叠，勾股定理，解直角三角形．利用数形结合的思想是解题关键．二、填空题5．(2023春·全国）如果α是锐角，sina=cos答案:60°分析：根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】解：∵sina又∵sin6∴α=60°故答案为：60°．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值．熟背特殊角的三角函数值是解题的关键．6．如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD答案:3.2分析：根据三角函数定义可知tan∠α=DEAE【详解】解：由题意可得：AE=BCtan解得DECD故答案为3.2【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是利用三角函数的定义求得DE的长．7．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝3，AC＝2，则＝_____．答案:##14分析：过点C作CD⊥AB，根据∠BAC=120°，∠DAC=60°，由三角函数得出AD，CD，在Rt△BCD中，∠B的正切即可得出答案．【详解】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，如图所示：∵∠BAC=120°，∴∠DAC＝180°-120°=60°，∴cos60°＝ADAC，sin60°＝CD∵AB＝3，AC＝2，∴AD＝AC·cos60°＝2×12CD＝AC·sin60°＝2×32＝，BD=在Rt△BCD中，tanB＝CDBD＝．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，解直角三角形的关键是把给出的这些三角形的条件放到直角三角形中，如果不是直角三角形就要通过添加辅助线来完成．三、解答题8．计算：2sin45°﹣|﹣3|+(2023﹣π）0+（12）﹣1答案:1分析：根据特殊角的三角函数值，绝对值，幂的运算，负整数指数幂，二次根式的运算将各项化简，然后计算求解．【详解】原式＝2＝1﹣3+1+2＝1．【点睛】此题考查实数的运算，熟练掌握实数的相关各种运算法则是解题的关键．9．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别为（1）已知a=3,b=3，求∠A（2）已知b=4,c=8，求a及∠A（3）已知∠A=45°,c=8，求a及b答案:（1）∠A=45°；（2）a分析：（1）根据直角三角形∠A的正切值可得∠A；（2）根据直角三角形∠A的余弦值可得∠A，再由∠A的正弦值得到a；（3）根据直角三角形∠A的正弦值、余弦值分别可得a、b．【详解】（1）∵Rt△ABC，∠C=90°∴tan∴∠A=45°（2）∵Rt△ABC，∠C=90°∴cos∴∠A=60°∴a（3）∵Rt△ABC，∠C=90°∴a=csin【点睛】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角三角函数值，熟练转化求边角公式是解决本题的关键．10．小明家住深圳某小区一楼，家里开了一间小卖部，小明的爸爸想把囤积的商品打折促销7天，因为考虑到疫情期间的安全问题，小明爸爸把一楼朝南的窗户改造成了营业窗口，如下图1，因为天气渐渐回暖，小明的爸爸想让小明帮忙设计一个可以伸缩的遮阳棚，如图2，AB表示窗户，高度为2米，宽度为3米，BCD表示直角遮阳篷，他打算选择的支架BC的高度为0．5米．小明为了最大限度地阻挡正午最强的阳光，为了测量太阳与地面的最大夹角，小明选择一个晴朗的天气，正午12点时在地面上竖立了一个长4米的木杆，测得落在地面的影子长为2．31米．参考数据（tan60°=≈1．73）(1)正午12点时，太阳光线与地面的夹角约为________度，请你帮忙估算出没有遮阳棚时，正午12点时太阳照射到室内区域面积为____