第16讲矩形的折叠问题-2023年中考数学重点核心知识点专题讲练(原卷版+解析)

第16讲矩形的折叠问题题型一：利用对称的性质，结合方程思想求值【例1】如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C'的位置，BC'交AD于G，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M【对称性质】①线段相等：CD=C'D=AB,BC=BC',EA=ED,NA=ND,AM=DM;②角相等：∠C'BD=∠CBD,∠C'DB=∠CDB;③全等三角形：△CBD≌△CBD，△④垂直平分：BD垂直平分CC'，NE垂直平分AD；1．(2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，则线段AE的长为（

）A．5−2 B．3−1 C．132．(2023·山东济宁·校考二模）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE3．(2023·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，已知在长方形纸条ABCD中，点G在边BC上，BG=2CG，将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点E、F处，且点E、F、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点H，HF与BG交于点M．设AB=t，那么△GHM的周长为______（用含t的代数式表示）4．(2023·山东泰安·校考二模）已知在矩形ABCD中，AB=4，AE=2，点G、F、H、E是分别边AB、BC、DC、AD上的点，分别沿HE，GF折叠矩形恰好使DE、BF都与EF重合，则AD=_______．5．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．6．(2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB=7．(2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．连接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，则AD的长是____________8．(2023·山东潍坊·中考真题）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．9．(2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则10．(2023·四川雅安·统考中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为_____．11．(2023·吉林长春·模拟预测）【推理】如图1，在边长为10的正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G，BE与CG交于点M．(1)求证：CE=DG．【运用】(2)如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若CE=6，求线段DH的长．【拓展】(3)如图3，在【推理】条件下，连结AM．则线段AM的最小值为．12．(2023·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°(1)求B、C两点的坐标；(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求四边形ADCE的面积；(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.13．(2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．14．(2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．15．(2023·河南·统考中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．题型二：结合相似或者三角函数求值【例2】1．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE=512，BC=316．(2023·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是（

）A．3 B．175 C．72 17．(2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC18．(2023·四川达州·统考中考真题）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为（

）A．9 B．12 C．15 D．1819．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，A'E与BC相交于点G，B'A．22 B．4105 C．2020．(2023·浙江宁波·校考一模）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=9，AD=6，BE=3，则DF的长是（

）A．72 B．4 C．92421．(2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折痕EF的长是_____．22．(2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．23．(2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中ABBC=23．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1<v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形24．(2023·辽宁丹东·校考二模）如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接CA'并延长，与AD25．(2023·浙江宁波·校考三模）如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E为BC的中点，点F为边BC上的动点，连结AF，DE．将△ABF沿着AF翻折，使点B的对应点B'恰好落在线段DE上．若A,B',C三点共线，则cos∠26．(2023·山东济南·统考模拟预测）如图，矩形纸片ABCD，AD:AB=2:1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'并延长交线段27．(2023·河南信阳·校考一模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为______．28．(2023·湖南株洲·统考模拟预测）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=43，则折痕BM29．(2023·广东惠州·校考三模）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②30．(2023·广东揭阳·校考三模）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．(1)求线段CE的长；(2)如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM，设DN=x．①求证四边形AFGD为菱形；②是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．第16讲矩形的折叠问题（解析）题型一：利用对称的性质，结合方程思想求值【例1】如图，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在C'的位置，BC'交AD于G，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于M【对称性质】①线段相等：CD=C'D=AB,BC=BC',EA=ED,NA=ND,AM=DM;②角相等：∠C'BD=∠CBD,∠C'DB=∠CDB;③全等三角形：△CBD≌△CBD，△④垂直平分：BD垂直平分CC'，NE垂直平分AD；答案:7分析：由折叠的性质与矩形的性质，证得△BGD是等腰三角形，则在Rt△ABG中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AG的长，又由△ABG≌△C'DG，得到【详解】解：由折叠的性质得：∠GBD=∠CBD，AM=DM=12AD∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=4，∴∠ADB=∠CBD，∴∠GBD=∠ADB，∴BG=DG，设AG=x，则BG=DG=4−x，∵在Rt△ABG中，A∴3∴x=78，即在△ABG和△C∠BAG=∠D∴△ABG≌△C∴∠EDM=∠ABG，∴EM又MD=2，∴EM=7故答案为：712【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．1．(2023·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD=1,CF=2，则线段AE的长为（

）A．5−2 B．3−1 C．13答案:A分析：先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=5，从而可得AD=BC=5，最后求得AE的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵BF⊥∴∠BFC=∠CDE，∵把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∠∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴CE=∴AD=BC=CE=5，∴AE=AD-DE=5−2故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．2．(2023·山东济宁·校考二模）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A'恰好落在边OC上，则OE答案:3分析：连接A'D，AD，根据矩形的性质得到BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B【详解】解：连接A'D，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，∵CD∴CD=3，∴CD∵将四边形ABDE沿DE折叠，点A的对称点A'恰好落在边OC∴A'D在Rt△A'CD=∴Rt△∴A∴A∵A∴2∴OE故答案为：32【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．(2023·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，已知在长方形纸条ABCD中，点G在边BC上，BG=2CG，将该纸条沿着过点G的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点E、F处，且点E、F、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点H，HF与BG交于点M．设AB=t，那么△GHM的周长为______（用含t的代数式表示）答案:2分析：过点M作MN⊥GE，连接BF，利用矩形和折叠的性质，推出△HMG【详解】如图，过点M作MN⊥GE，连接∵点E、F、B在同一条直线上，∴点F在BE上，∵将长方形纸条ABCD沿HG翻折，∴∠E=∠D=90°，∵BG=2∴BG=2∴cos∠BGE∴∠BGE∵四边形ABCD是矩形，∴MH∥∴∠HMG∴∠MHG∴△HMG∵∠MFE∴四边形MNEF为矩形，∴MN=∵∠MGN∴MG=∴△GHM的周长=3×故答案为：23【点睛】本题考查矩形的折叠问题，解直角三角形，等边三角形的判定和性质．熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明△HMG4．(2023·山东泰安·校考二模）已知在矩形ABCD中，AB=4，AE=2，点G、F、H、E是分别边AB、BC、DC、AD上的点，分别沿HE，GF折叠矩形恰好使DE、BF都与EF重合，则AD=_______．答案:7分析：设DE=x，根据折叠的性质得出BF=EF=DE=x．过E作EM⊥BC于M，则【详解】解：设DE=∵分别沿HE，GF折叠矩形恰好使DE、BF都与∴BF=过E作EM⊥BC于M，则四边形∵AB=4，AE∴EM=AB=4，BM在Rt△EMF中，∵∴EM2+解得x=5则DE=5∴AD=故答案为：7．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，列出关于x的方程是解题的关键．5．(2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．答案:43##分析：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴DF=所以AF=所以BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:AE∴3−x解得x=∴AE=3−故答案为：43【点睛】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．6．(2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上．若CE=3cm，AF=2EF，则AB=答案:3分析：由将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性质得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，从而得AF=6cm，AD=AE=9cm，进而由勾股定理既可以求解。【详解】解：∵将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F落在AE上，CE=3∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，∵AF=2EF，∴AF=6cm，∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=DF，AD∥∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，∴AD=AE=9cm，∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2∴62+DF2=92，∴DF=35AB=DF=35故答案为∶35【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理及轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．7．(2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM．连接MF，若MF⊥BM，AB=6cm，则AD的长是____________答案:5分析：根据直角三角形的中线定理，先证明四边形AOA'M【详解】解：如下图所示，设A'∵点E是中点，∴在Rt△ABM和Rt△∴∠OAE∵∠OBE∴∠OAE∵∠OAE∴∠AOE∴AO//∵AM∴四边形AOA∴AM=∴AM=∴△AOM∴∠∴tan∠∴AM=2∵MF⊥BM，∴∠A∴∠DMF∵DF=∴MD=∴AD=故答案为：53【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明△AOM8．(2023·山东潍坊·中考真题）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．答案:2分析：判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=2AD，再根据AB′=AB，再计算即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=∠DAB=90°，由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，∴△AB′D′是等腰直角三角形，∴AD=AD′=B′D′，由勾股定理得AB′=2AD，又由操作二可知：AB′=AB，∴2AD=AB，∴ABAD=2∴A4纸的长AB与宽AD的比值为2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换的运用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．9．(2023·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB=2,AD=3，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则答案:33或分析：过点E作EM⊥GH于点M，根据题意可得四边形HEDG是平行四边形，证明HE=FE，等面积法求得ME，勾股定理求得【详解】①如图，过点E作EM⊥GH于点∵DE∥∴四边形HEDG是平行四边形∴∵折叠∴∠∵∠即∠∴∠∴∠∵∠∴△∴HM=∴∵四边形ABCD是矩形∴∠Rt△EDC∴∵ME⊥∴∴Rt△HME∴②如图，当AG=同理可得HE=EC=∴DE∴Rt△HME∴故答案为：33或【点睛】本题考查了勾股定理，折叠，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识，注意分类讨论是解题的关键．10．(2023·四川雅安·统考中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为_____．答案:7.5分析：利用矩形与轴对称的性质先证明FB=FD,【详解】解：∵把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC＝9，CD＝3，∴AD∴∠ADB∴∠FDB∴FB∴AF∴F解得：FB=∴S故答案为：7.5【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，证明FB=11．(2023·吉林长春·模拟预测）【推理】如图1，在边长为10的正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G，BE与CG交于点M．(1)求证：CE=DG．【运用】(2)如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若CE=6，求线段DH的长．【拓展】(3)如图3，在【推理】条件下，连结AM．则线段AM的最小值为．答案:(1)见解析(2)14(3)5分析：（1）利用ASA证明△BCE≌△CDG（2）连接HE，利用等角对等边证明HG=HF，设DH=x，则（3）取BC的中点O，连接OM，AO，利用勾股定理求出AO，直角三角形斜边上中线的性质得MO的长，再利用三角形三边关系可得答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD∴∠DCG∵正方形ABCD沿BE折叠，∴∠BCM∴∠CBM∴∠CBM∴△BCE∴CE=（2）解：连接HE，∵正方形ABCD沿BE折叠，∴∠BCF=∠BFC∵AD∥∴∠HGF∵∠BFC∴∠HGF∴HG=设DH=x，则由勾股定理得，6−x解得x=∴DH=（3）解：取BC的中点O，连接OM，AO，则BO=5，AO∵∠BMC=90°，O为∴MO=∵AM≥∴AM的最小值为AO−故答案为：55【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．12．(2023·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°(1)求B、C两点的坐标；(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求四边形ADCE的面积；(3)若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.答案:(1)B(63,6)(2)S(3)N（33，−3），分析：（1）含30°角直角三角形的性质及勾股定理得AO、OC的长度，则可得B、C的坐标；（2）由折叠性质得AD=CD，AF=CF，可证明△AEF≌△CDF，则AE=CD，由矩形可知，四边形ADCE（3）分三种情况考虑：以OF，FM为边；FM为边，OF为对角线；若OF为边，FM为对角线；分别利用菱形的性质及相关知识即可求得点【详解】（1）∵∠ACO=30°，AO∴由勾股定理得：OC∴B(63,6)（2）由折叠的性质得：AD=CD∵四边形OABC是矩形∴∴∠∵∠∴△∴∵∴四边形ADCE是平行四边形设CD=x∵在Rt△AOD∴x解得：x∴（3）若以OF，∵F是AC中点∴由（1）知，OD∴D设直线DE的解析式为y把点D与点F的坐标分别代入得：2解得：k∴直线DE解析式y∵四边形ONMF是菱形∴OF∴ON的解析式y设N∴a解得：a∴N若FM为边，OF为对角线，如图∵四边形ADCE是平行四边形，AD∴四边形ADCE是菱形∴AD∴∠∴∠∴∠∴△∴AO∴AD是OF的垂直平分线∵四边形ONFM是菱形∴ND是OF的垂直平分线∴M与D重合，即M设N∵OF与DN互相平分∴b∴b=3∴N若OF为边，FM为对角线如图∵直线DE解析式y∴直线与y轴的交点为（∵F(33，∴OF∵四边形OFNM是菱形，OF∴OM∴M是直线y=∵四边形OFNM是菱形，OF∴FN∥OM，∴N综上所述N（33，−3），【点睛】本题考查了一次函数，菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，涉及分类讨论思想，灵活运用这些知识是解题的关键．13．(2023·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．(1)求证：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．答案:(1)证明见解析(2)tan∠DAF＝64−分析：（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，∠CFE∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝64−x∴tan∠DAF＝DFAD＝64−【点睛】本题考查了锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），根据矩形的性质和折叠的性质证出AF＝CF是解题的关键．14．(2023·江苏无锡·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=22，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF(1)求EF的长；(2)求sin∠CEF的值．答案:(1)17(2)8分析：(1)先由RtΔABE可求得AE的长度，再由角度关系可得∠FAE(2)过F作FM⊥CE于M，利用勾股定理列方程，即可求出EM的长度，同时求出【详解】（1）设BE=x，则∴AE=在RtΔABE中，∴(22∴x=1∴BE=1，AE∵AE=∴∠1=∠2，∵∠ABC∴∠CAB∴∠CAB由折叠可知ΔFAC∴∠FAC=∠CAB∴∠FAC∴∠FAE在RtΔFAE中，（2）过F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，设EM=a,则EC=3-a，在Rt△FME中，在Rt△FMC中，∴FE∴(17∴a=∴EM=∴FM=∴sin∠CEF【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．15．(2023·河南·统考中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．答案:(1)∠BME或∠ABP或∠(2)①15，15；②∠MBQ(3)AP=40分析：（1）根据折叠的性质，得BE=12BM，结合矩形的性质得（2）根据折叠的性质，可证RtΔ（3）由（2）可得QM=QC，分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设（1）解：∵∴∵∠BEM=90°，sin∠∴∠∴∠∵∠∴∠（2）∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∵∴Rt∴∠∵∠∴∠②∵∴∴∠（3）当点Q在点F的下方时，如图，∵∴QC由（2）可知，QM设AP∴P即8−解得：x∴AP=当点Q在点F的上方时，如图，∵∴QC由（2）可知，QM设AP∴P即8−解得：x∴AP=【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．题型二：结合相似或者三角函数求值【例2】1．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE=512，BC=3【一线三等角】当折叠的顶点落在边上时，会出现一线三等角的相似。答案:2分析：根据三角函数设DE=5x，则DF=12x,依次求出EF、CE、CD、AB，结合折叠证△ABF∼△∠DFE，根据相似三角形的性质求出AF，以及BC=3解方程，即可求出．【详解】依题意：∵tan设DE=5x，则DF=12x,∴EF=D由折叠可知：∴CE=EF=13x，∴AB=CD=CE+DE=13x+5x=18x，由矩形翻折可知：∵∠BFE=∠90°∴∠DFE+∠AFB=∠90°，∵∠A=∠90°∴∠ABF+∠AFB=∠90°，∴∠ABF=∠DFE，∴△ABF∼△∠DFE，∴AF即AF5x解得：AF=15x∵BC=3，∴BC=AD=AF+DF=12x+15解得x=2CE=13x=13×2故答案为：2．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角函数、勾股定理以及相似三角形的判定和性质；根据翻折证明三角形相似、利用三角函数构建线段相等是解题的关键．16．(2023·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接CF．若AB=4，BC=6，则CF的长是（

）A．3 B．175 C．72 答案:D分析：连接BF交AE于点G，根据对称的性质，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=12BF，根据E为BC中点，可证BE=CE=EF，通过等边对等角可证明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函数（或相似）求出BF，则根据【详解】连接BF，与AE相交于点G，如图，∵将△ABE沿AE折叠得到∴△ABE与△∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=1∵点E是BC中点∴BE=CE=DF=1∴AE∵sin∠∴BG∴BF∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=180°∴FC故选D【点睛】本题考查了折叠对称的性质，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键．17．(2023·浙江湖州·统考中考真题）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF．将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF．则下列结论不正确的是（

）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC答案:D分析：根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A，根据折叠的性质即可求得HD,BG，进而判断B，根据折叠的性质可得∠EGB【详解】∵BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，∴∴故A选项正确，∵将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，∴BG=∴DG=4∴故B选项正确，∵EG∴EG∥HF，故C正确设AE=a，则∴ED∵∠∴tan∠即EG∴∴AE=3若FG则CFBF=∵CF∴CFBF≠GD∴FG不平行CD即GF不垂直BC，故D不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．18．(2023·四川达州·统考中考真题）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD=3BF，BE=4，则AD的长为（

）A．9 B．12 C．15 D．18答案:C分析：根据折叠的性质可得AE=EF,AD=FD，设BE=x，则CD=3x，则AE=AB−BE=CD−【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC∴FD=AD∵CD=3BF，设BF=x，则CD=3在Rt△BEF中即42解得x=3∴BF=3,∵∠EFD=∠A∴∠BEF∴tan∠BEF∴BFBE∴3∴FC在Rt△FCD中，∴AD故选C．【点睛】本题考查了矩形与折叠的性质，正切的定义，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．19．(2023·浙江金华·统考中考真题）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，A'E与BC相交于点G，B'A．22 B．4105 C．20答案:A分析：令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证△CGA'∽△CFB'，得出CG【详解】解：过点E作EH⊥BC于点H，又四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，∴AB=EH，ED=CH，∵BFGC∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，B'F=2由题意，得∠C又∠GC∴△CG∴CGCF则3x整理，得x+解得x=-y（舍去），y=3x，∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，在Rt△EGH中EH2+HG2=EG2，则EH2+x2=(3x)2，解得EH=22x，EH=-2∴AB=22∴ADAB故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理求边长等知识，借助于相似三角形找到y=3x的关系式是解决问题的关键．20．(2023·浙江宁波·校考一模）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB=9，AD=6，BE=3，则DF的长是（

）A．72 B．4 C．924答案:D分析：由折叠的性质可得BC=CH=6，∠DCF=∠GCF，BE=EH=3，∠B=∠CHE=90°，由“AAS”可证△【详解】解：如图，延长EH交CF于点P，过点P作MN⊥CD于∵将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，∴BC=CH=6，∠在△CPH和△∠CHP∴△CPH∴NP=∵∠B=∠BCD∴四边形BCNM是矩形，又∵CN=∴四边形BCNM是正方形，∴MN=∴EM=3∵EP∴3+NP∴NP=2∵tan∠DCF∴26∴DF=3故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．21．(2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，AD＝4，AC，BD为矩形的对角线，E是AD边的中点，点F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，当点G落在矩形对角线上时，则折痕EF的长是_____．答案:52或分析：分两种情况，分别画出图形：当G在AC上时，连接DG交EF于M，证明∠AGD＝90°，从而EF∥AC，得EF是△ADC的中位线，可得EF＝52；当G在BD上，设BD交EF于N，证明△ABD∽△DEF，可得5EF＝32【详解】解：当G在AC上时，连接DG交EF于M，如图甲所示：∵E是AD中点，∴AE＝DE，∵将△DEF沿EF折叠，∴DE＝GE，∠DME＝∠GME＝90°，∴AE＝DE＝GE，∴∠EAG＝∠EGA，∠EDG＝∠EGD，∵∠EAG+∠EGA+∠EDG+∠EGD＝180°，∴2∠EGA+2∠EGD＝180°，∴∠EGA+∠EGD＝90°，即∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠DME，∴EF∥AC，∵E是AD中点，∴EF是△ADC的中位线，∴EF＝12∵AC＝AB2+BC∴EF＝52当G在BD上，设BD交EF于N，如图乙所示：∵将△DEF沿EF折叠，∴∠DNF＝90°，∴∠DFN＝90°﹣∠FDN＝∠ADB，∵∠EDF＝90°＝∠BAD，∴△ABD∽△DEF，∴BDEF＝AB∵BD＝AC＝5，DE＝12∴5EF＝3∴EF＝103综上所述，折痕EF的长是52或10故答案为：52或10【点睛】本题考查矩形中的翻折问题，涉及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是掌握翻折的性质．22．(2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H．EN=2，AB=4，当点H为GN三等分点时，MD的长为______．答案:213分析：由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，证明ΔGHE∼ΔNHE【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，CD=AB=4，∠D=∠C=90°，∴∠DMN=∠GNM，由折叠得，∠DMN=∠GMN，EF=CD==4，CN=EN=2，∠EFM=∠D=90°，∴∠GMN=∠GNM，∠GFH=∠NEH，∴GM=GN，又∠GHE=∠NHE，∴ΔGHE∴NHGH∵点H是GN的三等分点，则有两种情况：①若NHGH=∴EH=13由勾股定理得，NH=∴GH=2NH=43∴GM=GN=GH+NH=213∴MD=MF=GM-GF=213②若NHGH=2∴EH=23EF=由勾股定理得，NH=∴GH=12NH=∴GM=GN=GH+NH=5；∴MD=MF=GM-GF=5−1=4综上，MD的值为213【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，进行分类讨论是解答本题的关键．23．(2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中ABBC=23．动点M从点A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点M，N同时出发，点M运动的速度为v1，点N运动的速度为v2，且v1<v2．当点N到达点C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形答案:3分析：在矩形ABCD中ABBC=23，设AB=2a,BC=3a，运动时间为t，得到CD=AB=2a,【详解】解：如图所示：在矩形ABCD中ABBC=23，设∴CD在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形MA∴B若在某一时刻，点B的对应点B'∴D在RtΔB'CN中，∵∠A∴∠A∵∠CN∴∠A∴ΔED∴DE∵D∴DE=3∴A'E在ΔA'EM∠A∴ΔA'EM∴A'M∴v故答案为：35【点睛】本题属于矩形背景下的动点问题，涉及到矩形的性质、对称性质、中点性质、两个三角形相似的判定与性质、勾股定理及两个三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及判定，求出相应线段长是解决问题的关键．24．(2023·辽宁丹东·校考二模）如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=13，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接CA'并延长，与AD答案:26−12分析：作A'H⊥BC于H.由△【详解】解：作A'H⊥∵∠ABC=90°，∴∠A∴A'H∴CH∵△CDF∽△∴DF∴DF∴DF故答案为：26−123【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．25．(2023·浙江宁波·校考三模）如图，在矩形ABCD中(AD>AB)，点E为BC的中点，点F为边BC上的动点，连结AF，DE．将△ABF沿着AF翻折，使点B的对应点B'恰好落在线段DE上．若A,B',C三点共线，则cos∠答案:

23分析：当A，B'，C三点共线时，连结三点，根据矩形的性质得出AD∥EC，△AB'D∽△CB'E，继而得出ABAC【详解】如图，当A，B'∵在矩形ABCD中(AD>AB)，点∴AD∥EC，AD=BC，∴△∴B'∴ABAC∴cos∠B当这样的点B'即以AB为半径的⊙A与DE∴∠∵E为BC的中点，则BE=∵AB∴△∴AE∴∠∵AD∴∠∴∠CED∴∠CED∴∠∵BC=∴CE=2∴DE=4故答案为：23，4【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，求余弦值，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．26．(2023·山东济南·统考模拟预测）如图，矩形纸片ABCD，AD:AB=2:1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B'，连接AA'并延长交线段答案:2分析：利用矩形判定及性质证得，根据折叠性质则可得出EF是AA'的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质证明相似三角形判定推出△ADG【详解】解：过F作FH⊥AD于H，设EF交AA∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD∵FH∴∠AHF∴四边形ABFH是矩形，∴AB∵AD∴AD∵把纸片如图沿BF折叠，点A，B的对应点分别为A'，B∴EF是A∴∠AKE∴∠DAG∵∠FHE∴△ADG∴AG∴EF故答案为：22【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键．27．(2023·河南信阳·校考一模）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=45°，AB=4，点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AD于点E，沿PE将∠A折叠，点A的对称点为点F，连接EF、DF、CF，当△CDF为等腰三角形时，AP的长为______．答案:0或2或2+1或22分析：分类讨论：如图1，当DF=CD时，如图2，当CF=CD=4【详解】解：如图1，当DF=CD时，点F与A重合或在点当F与A重合时，P与A也重合，此时AP=0∵在菱形ABCD中，AB=4∴作DN⊥AB于在Rt△ADN中，∵AD=4，∴AP如图2，当CF=CD=4时，点F与B点F与B重合，PE是AB的垂直平分线，∴AP当F在F'处时，过C作CM⊥AB则可得MF'=2则AF'=4AP=2如图3中，当FD=AF=2∴AP综上所述：当△CDF为等腰三角形时，AP的长为0或2或2+1或22故答案为0或2或2+1或22或【点睛】