新教材2025版高中数学第六章立体几何初步5垂直关系5.2平面与平面垂直学案北师大版必修第二册

5．2平面与平面垂直[教材要点]要点一二面角半平面的定义平面内的一条直线把平面分成________部分，其中的每一部分都称为半平面二面角的定义从一条直线动身的________所组成的图形称为二面角二面角的相关概念这条直线称为二面角的________，这两个半平面称为二面角的________二面角的画法二面角的记法二面角α­l­β或α­AB­β或P­l­Q或P­AB­Q二面角的平面角定义在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角图形范围∠AOB的范围是________eq\x(状元随笔)作二面角的平面角的方法方法一(定义法)在二面角的棱上找一特别点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．方法二(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α­l­β的平面角．方法三(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A­BC­D的平面角．要点二平面与平面垂直的定义两个平面相交，假如所成的二面角是________，就说这两个平面相互垂直．记作________．要点三平面与平面垂直的性质文字语言两个平面垂直，假如一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面________符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥βα∩β＝l))⇒a⊥β图形语言作用①面面垂直⇒________垂直；②作面的垂线要点四平面与平面垂直的判定文字语言假如一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β))⇒α⊥β图形语言eq\x(状元随笔)(1)由该定理可知要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中找寻平面的垂线，即证明线面垂直．(2)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面相互垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，事实上，就是依据这个原理．[基础自测]1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的随意一个平面与该平面都垂直．()(2)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面肯定垂直．()(3)假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面β.()(4)假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.()2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC3．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有________对．题型一平面与平面垂直的性质定理的应用——师生共研例1如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，CE＝EF＝1，求证：CF⊥平面BDE.方法归纳(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．(2)证明线面垂直的常用方法：①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.跟踪训练1在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.

题型二平面与平面垂直的判定定理的应用——微点探究微点1利用面面垂直的定义证明例2如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.证明：平面ACD⊥平面ABC.方法归纳证明二面角的平面角为直角的判定方法(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)依据定义，这两个相交平面相互垂直．微点2利用面面垂直的判定定理证明欲证平面EBD⊥平面ABCD，只需在平面EBD内找到一条直线垂直于平面ABCD，可考虑直线EF.例3如图，在四棱锥S­ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.方法归纳利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中找寻平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作协助线来解决．跟踪训练2如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.题型三求二面角——师生共研例4如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB＝2，PA＝BC＝1.(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)求二面角P­BC­A的大小．变式探究本例条件不变，试求二面角C­PA­B的大小．方法归纳(1)求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最终利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角证明计算．(2)要在适当位置作出二面角的平面角，就要留意视察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等．易错辨析平面与平面垂直的条件把握不精确致误例5[多选题]已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有()A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的随意一条直线B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的多数条直线C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直D．过一个平面内随意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面解析：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，对于A，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故A错误；B正确；对于C，A1A⊥平面ABCD，A1A⊂平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正确；对于D，过平面AA1D1D内的点D1，作D1C，因为AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，所以AD⊥D1C，但D1C不垂直于平面ABCD，故D错误．故选BC.答案：BC易错警示易错缘由纠错心得对平面与平面垂直的条件把握不精确，很简单认为D正确，导致错选为BCD.D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不同的，即“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内随意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不肯定在平面内.eq\x(温馨提示：请完成课时作业46)5．2平面与平面垂直新知初探·课前预习要点一两两个半平面棱面[0°，180°]要点二直二面角α⊥β要点三交线垂直a⊂αa⊥l线面要点四垂线l⊂α[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.故选D.答案：D3.解析：取正方体ABCD­A1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满意m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.答案：C4．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中相互垂直的平面有5对．答案：5题型探究·课堂解透题型一例1证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.由AB＝eq\r(2)易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，所以BD⊥CF.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.跟踪训练1证明：如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.题型二例2证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，所以∠DOB为二面角D­AC­B的平面角．在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.所以平面ACD⊥平面ABC.例3证明：如图，连接AC，与BD交于点F，连接EF.∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点．∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又∵EF⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.跟踪训练2证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.题型三例4解析：(1)证明：∵A，B，C在⊙O上，∴⊙O所在平面可记为平面ABC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵C在圆周上，且异于A、B两点，AB是⊙O的直径∴BC⊥AC.又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)知，BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，又∵AC⊥BC，∴∠PCA为二面角P­BC­A的