2025版高考数学一轮总复习5.2平面向量的数量积及其应用习题

.2平面对量的数量积及其应用基础篇固本夯基考点一平面对量的数量积1.(2024课标Ⅱ,3,5分)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=()A.-3B.-2C.2D.3答案C2.(2024届江西吉安三中月考,3)在四边形ABCD中,AD=BC,(AB+AD)·(AB-AD)=0,则这个四边形是()A.菱形B.矩形C.正方形D.等腰梯形答案A3.(2024届江西十七校期中,7)在△ABC中,AB·AC=4,AB=4,E在BC上且BE=2EC,则AB·AE=()A.2B.4C.8D.12答案C4.(2024安徽部分重点中学联考二,7)等腰直角三角形ABC中,∠ACB=π2,AC=BC=2,P是斜边AB上一点,且BP=2PA,那么CP·CA+CP·CB=(A.-4B.-2C.2D.4答案D5.(2024合肥一模,7)在△ABC中,AB=2,AC=3,BD=2DC,AE=EB,则AD·CE=()A.-76B.76C.-163答案C6.(2024江西三校3月联考,6)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,则AE·EC=()A.1225B.2425C.125答案D7.(2024河南3月适应性测试,10)若△ABC的外心为O,且∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则OA·BA+OB·CB+OC·AC等于()A.5B.8C.10D.13答案C8.(2024四川德阳二诊,8)图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成的一个大的正方形.某同学深受启发,设计出一个图形,它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大的正三角形,如图2,若AD=4,BD=2,那么BE·CD=()A.2B.-2C.6D.-6答案D9.(2024四川德阳二诊,9)平行四边形ABCD中,已知AB=4,AD=3,点E、F分别满意AE=2ED,DF=FC,且AF·BE=-6,则向量AD在AB上的投影为()A.2B.-2C.32D.-答案C10.(2024天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE=.

答案-111.(2024新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=.

答案-912.(2024届山西长治其次中学月考,14)已知在△ABC中,AB=4,AC=5,点O为△ABC所在平面内一点,满意|OA|=|OB|=|OC|,则|OA·BC|=.

答案913.(2024届甘肃民乐一中月考,15)已知在△ABC中,|AB|=1,t∈R,且tAB+(1-t)·AC|AC|的最小值为22,则3BA·BC=答案3考点二平面对量数量积的应用1.(2024届成都蓉城名校联盟联考一,5)若向量a=(3,x),|b|=5,a·b=10,a与b的夹角为60°,则x=()A.16B.4C.7D.7答案C2.(2024课标Ⅲ,6,5分)已知向量a,b满意|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos<a,a+b>=()A.-3135B.-1935C.1735答案D3.(2024新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则AP·AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案A4.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43答案B5.(2024全国乙,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ=.

答案36.(2024课标Ⅰ,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.

答案37.(2024课标Ⅲ,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos<a,c>=.

答案28.(20245·3原创题)设a=(3,m),b=(5,1).若向量a与a-b的夹角为钝角,则实数m的取值范围是,

|a|的取值范围是.

答案-2,35∪359.(2024届云南玉溪峨山一中月考,13)已知向量a=(-2,4),b=(t,-1),且a在b上的投影等于-10,则t的值为.

答案3或-110.(2024届江西十七校期中,13)已知a=(1,2),b=(-1,3),若(ka+b)⊥(2a-b)恒成立,则k的取值为.

答案011.(2024届江西赣州赣县三中期中,15)已知AM,BN分别为圆O1:(x+1)2+y2=1与O2:(x-2)2+y2=4的直径,则AB·MN的取值范围为.

答案[0,8]12.(2024届吉林通化梅河口五中月考,16)①若OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),∠ABC为锐角,则实数m的取值范围是m>-34②点O在△ABC所在的平面内,若OA·OB=OB·OC=OA·OC,则点O为△ABC的垂心.③点O在△ABC所在的平面内,若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6.④点O在△ABC所在的平面内,若满意AO·AB|AB|=AO·AC|AC|且CO以上命题为假命题的序号是.

答案①④综合篇知能转换考法一求平面对量模的方法1.(2024成都二模,6)在△ABC中,已知AB=AC,D为BC边中点,点O在直线AD上,且BC·BO=3,则BC边的长度为()A.6B.23C.26D.6答案A2.(2024河南三门峡一模,7)已知点G是△ABC的重心,AG=λAB+μAC(λ,μ∈R),若∠A=120°,AB·AC=-2,则|AG|的最小值是()A.33B.22C.12答案D3.(2024西宁重点中学3月模拟,9)已知单位向量a,b满意|a-b|+23a·b=0,则|ta+b|(t∈R)的最小值为()A.23B.32C.22答案B4.(2024届成都七中月考,9)已知单位向量a、b满意|a+b|+2a·b=0,则|3a+tb|的最小值为()A.0B.32C.332答案C5.(2024届河南段考三,14)已知向量a=(-4,x),b=(3,2),若a⊥b,则|a|=.

答案2136.(2024届贵阳月考,14)已知平面对量a,b的夹角为π3,且a=(2,0),|b|=1,则|2a-b|=答案13考法二求平面对量夹角的方法1.(2024豫北名校联盟5月联考,6)已知单位向量a,b满意|2a+b|=|a-2b|,若向量c=3a-b,则向量b与c的夹角为()A.π6B.π3C.2π3答案C2.(2024届河南焦作温县一中月考,8)已知两个单位向量e1,e2,函数f(t)=(te1+e2)·(e1+te2),当t=-233时,f(t)取最小值,则e1,e2的夹角为(A.π6B.π4C.π3D.答案A3.(2024届山西朔州怀仁期中,9)下列说法中正确的是()A.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是-B.向量e1=(2,-3),e2=12,-34C.非零向量a和b,满意|a|>|b|,且两个向量同向,则a>bD.非零向量a和b,满意|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°答案D4.(2024届吉林10月月考,12)如图,在斜坐标系xOy中,x轴的正方向与y轴的正方向成60°角,向量e1是与x轴正方向同向的单位向量,向量e2是与y轴正方向同向的单位向量,若向量OP=xe1+ye2,则称有序数对<x,y>为向量OP的坐标,记作OP=<x,y>.在此斜坐标系xOy中,已知向量a=<1,2>,b=<5,-4>,则向量a与b夹角的大小为()A.π6B.π3C.π2答案C5.(2024届安徽淮南一中月考三,13)已知向量a=(3,4),b=(-2,k),且a⊥b,则a+2b与a的夹角为.

答案π6.(2024安徽六安一中4月月考,14)已知单位向量a,b满意b在a方向上的投影为-14,设a+2b与b的夹角为θ,则cosθ=答案7应用篇知行合一应用向量在平面几何中的应用1.(2024届湖北黄石9月调研,6探究创新情境)P为双曲线x2-y2=1左支上随意一点,EF为圆C:(x-2)2+y2=4的随意一条直径,则PE·PF的最小值为()A.3B.4C.5D.9答案C2.(2024届西安中学第一次月考,11数学探究)在△ABC中,AC2-AB2=2AM·BC,那么动点M的轨迹必通过△ABC的(A.垂心B.内心C.外心D.重心答案C3.(2024届黑龙江八校期中,7探究创新情境)在△ABC中,若AB⊥(AB-2AC),AC⊥(AC-2AB),则△ABC的形态为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形答案C创新篇守正稀奇创新利用解析几何思维解决向量问题1.(2024届山西长治其次中学月考,7解法创新)在Rt△ABC中,∠C=90°,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则CP·BP的最小值为()A.-12B.0C.4答案A2.(2024吉林调研三,11)已知A、B为平面上的两个定点,且|AB|=2,该平面上的动线段PQ的端点P和Q,满意|AP|≤5,AP·AB=6,AQ=2PA,则动线段P