新教材2024-2025学年高中数学第一章数列3等比数列3.1等比数列第1课时等比数列的概念及其通项公式分层作业北师大版选择性必修第二册

3.1等比数列的概念及其通项公式第1课时等比数列的概念及其通项公式A级必备学问基础练1.有下列四个说法:①等比数列中的某一项可以为0;②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.其中正确说法的个数为()A.0 B.1 C.2 D.32.[2024黑龙江齐齐哈尔第八中学校考期中]已知在等比数列{an}中,a2+a3a1+a2=2,aA.16 B.4 C.2 D.13.[2024河南平顶山第一中学校考期中]在等比数列{an}中,2a1+a2=2,2a4+a5=16,则数列{an}的公比为 ()A.3 B.2 C.12 D.4.已知a,b,c∈R,假如-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 ()A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-95.[2024辽宁阜新高二阶段练习]设Tn为数列{an}的前n项积,若an+2an+1=0,n∈N+且a2-a6=30,则当Tn取得最小值时n=()A.8 B.7 C.6 D.56.在等比数列{an}中,若a3=3,a10=384,则公比q=.

7.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为.

8.在《九章算术》中“衰分”是按比例递减安排的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.

9.在各项均为负数的数列{an}中,已知2an=3an+1,且a2a5=827(1)求证:{an}是等比数列,并求出其通项公式.(2)试问-1681是这个等比数列中的项吗?假如是,指明是第几项;假如不是,请说明理由10.在等比数列{an}中.(1)已知an=625,n=4,公比q=5,求a1;(2)已知a1=2,a3=8,求公比q和通项公式.B级关键实力提升练11.[2024辽宁高二校联考期中]在等比数列{an}中,a1=12,公比q=2,则a3与a5的等比中项是(A.2 B.4 C.±2 D.±412.已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=2,若a1,a3,a7成等比数列,则a2023=()A.2023 B.2024 C.4046 D.404813.如图给出了一个“三角形数阵”,已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第i行第j列的数为aij(i,j∈N+),则a53的值为()1 1 3 ……A.116 B.18 C.514.已知数列{an}满意a1=2,an+1=an2,则数列{an}的通项公式为an=(A.2n-1 B.2n-1 C.22n-15.(多选题)已知等比数列{an}满意:an>0,a2·a5=8a3,a3+a4=6a2,则下列结论中正确的有()A.a1=2B.an=2n-1C.若m,n∈N+,am·an=16,则1m+D.存在m,n,p∈N+,且m<n<p,使得am+an=ap16.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.

17.若等差数列{an}满意a1+a2=10,a4-a3=2,则an=;若{bn}是等比数列,且b2=a3,b3=a7,b6=ak,则k=.

18.在流行病学中,基本传染数R0是指在没有外力介入,同时全部人都没有免疫力的状况下,一个感染者平均传染的人数.R0一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率确定.假设某种传染病的基本传染数R0=3(注:对于R0>1的传染病,要隔离感染者,以限制传染源,切断传播途径),那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为(注:初始感染者传染R0个人为第一轮传染,这R0个人每人再传染R0个人为其次轮传染……).

19.在等比数列{an}中,若{an}为递增数列,且a52=a10,2(an+an+2)=5an+1,求通项公式aC级学科素养创新练20.在△ABC中,AD是底边BC上的高,垂足为点D,且ADBC(1)若边长AB,BC,CA成等比数列,求∠BAC的正弦值;(2)求ACAB+

参考答案§3等比数列3.1等比数列的概念及其通项公式第1课时等比数列的概念及其通项公式1.B只有③正确.2.B设等比数列{an}的公比为q,则a2+∴a3=a4q=故选B.3.B已知在等比数列{an}中,2a1+a2=2,2a4+a5=16,则q3=2a4+a5故选B.4.B∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,∴b=-3.∵a,c同号,∴ac=b2=9.5.C由题易知an≠0,因为an+2an+1=0,n∈N+,所以an+1a所以数列{an}是公比为-12的等比数列由a2-a6=30,得-12a1--125a1=30,解得a1=-64,所以an所以Tn=a1·a2·a3·…·an=a1·a1-12·a1-122·…·a1-12n-1=a1n-121+2+3+…当n=6时,满意n2+n所以当Tn取得最小值时,n=6,故选C.6.2a3=a1q2=3,a10=a1q9=384,两式相除得,q7=128,所以q=2.7.80,40,20,10设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=132,∴q=12.∴8.12设衰分比例为q,则甲、乙、丙各分得28q石,28石,28q石,∴28q+28+28q=98,∴q=又0<q<1,∴q=129.(1)证明∵2an=3an+1,∴an又数列{an}的各项均为负数,∴a1<0,∴数列{an}是以23为公比的等比数列∴an=a1·qn-1=a1·23n-1,∴a2=a1·232-1=23a1,a5=a1·235-1=1681a1.又a2·a5=23a1·1681a1=827,又a1<0,∴a1=-32∴an=-32×23n-1=-23n-2(n∈N+).(2)解令an=-23n-2=-1681,则n-2=4,n=6∈N+,∴-1681是这个等比数列中的项,且是第6项10.解(1)∵an=a1·qn-1,∴a1=anqn-1=625(2)∵a3=a1·q2,即8=2q2,∴q2=4,∴q=±2.当q=2时,an=a1qn-1=2×2n-1=2n,当q=-2时,an=a1qn-1=2(-2)n-1=(-1)n-12n,∴数列{an}的公比为2或-2,对应的通项公式分别为an=2n或an=(-1)n-12n,n∈N+.11.D因为a3a5=a42=(a1q3)2=1所以a3与a5的等比中项是±4,故选D.12.B设数列{an}的公差为d,且d≠0,若a1,a3,a7成等比数列,则a32=a1a又因为a1=2,所以(2+2d)2=2(2+6d),化简得4d2-4d=0,即4d(d-1)=0,又因为d≠0,所以d=1,所以a2024=2+2024×1=2024.故选B.13.C第一列构成首项为14,公差为14的等差数列,所以a51=14+(5-1)×14=54.又因为从第三行起每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,所以第5行构成首项为54,公比为12的等比数列,所以a53=14.C易知an>0,且an≠1,在an+1=an2的两边同时取常用对数,得lgan+1=2lga故lgan+1lg所以lgan=2n-1×lg2=lg22n-1,所以a故选C.15.BC因为等比数列{an}满意:an>0,a2·a5=a3·a4=8a3,a3+a4=6a2,所以a4=8,8q+8=6解得q=2或q=-3(舍去),故a1=1,an=2n-1,A错误,B正确;若m,n∈N+,am·an=2m+n-2=16,所以m+n=6,则1m+4n=16m+nm+4m+4nn=1当且仅当nm=4mn且m+n=若am+an=ap,则2m-1+2n-1=2p-1,因为m<n<p,所以1+2n-m=2p-m,左边为奇数,右面为偶数,上式不行能成立.故选BC.16.1设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,∴q=a3+3a17.2n+263由a4-a3=2知等差数列{an}的公差d=2,又a1+a2=2a1+d=10,故a1=4,则an=2n+2,所以b2=8,b3=16,得等比数列{bn}的公比q=2,b1=4.又b6=ak,故2k+2=4×25,解得k=63.18.4095初始一名感染者,经过一轮传染后,感染人数为1+R0=4人;经过二轮传染后,感染人数为4+4R0=16(人);经过三轮传染后,感染人数为16+16R0=64(人).每一轮传染后的感染人数构成以4为首项,以4为公比的等比数列,设为{an},到第n轮传染后,感染人数为an=4×4n-1=4n,∴由1个初始感染者经过六轮传染被感染(不含初始感染者)的总人数为46-1=4095.19.解由a52=a10=a5·q10-5,且a5≠0,得a5=q即a1q4=q5,又q≠0,∴a1=q.由2(an+an+2)=5an+1得,2an(1+q2)=5qan,∵an≠0,∴2(1+q2)=5q,解得q=12或q=2∵a1=q,且{an}为递增数列,∴a1=2,q=2,∴