天津市滨海新区2024-2025学年高三数学上学期第一次月考试题含解析

天津市滨海新区2024-2025学年高三数学上学期第一次月考试题一､单选题（共60分）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据补集、交集的定义计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以.故选：B2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】先解出两个不等式的解集，再依据两个解集的关系结合充分条件和必要条件的定义推断即可【详解】由，得或，由，得或，因为集合或是集合或的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A3.函数的部分图象可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据函数的奇偶性解除AB，再依据趋近于时的值推断即可【详解】因为，故为奇函数，解除AB，又当趋近于时，远远大于，全部函数渐渐趋近于0，解除D故选：C4.某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.依据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】B【解析】【分析】由直方图，依据各组样本量等于总体容量乘以各组对应频率，即可求结果.【详解】由直方图知：若200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为，∴人.故选：B5.已知，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】运用中间量比较，运用中间量比较【详解】则．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．实行中间变量法，利用转化与化归思想解题．6.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对边，，，△ABC的面积为，则的周长为（）A.6 B.8 C. D.【答案】C【解析】【分析】依据三角形面积可得，结合余弦定理求得，继而求得，可得答案.【详解】因为△ABC的面积为，，故，即，由于，故，故，所以，所以的周长为，故选：C7.如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面对量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：C8.已知正实数满意，则的最小值为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.【详解】因为，且为正实数所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.9.已知，则角所在的区间可能是A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】令，则，又由，得，解得，舍去，则，在其次或第四象限，解除A和D，又而，当时，解除B，只有C答案满意，故选C.点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及解除法在选择题中的应用，具有肯定难度；令，可将已知等式转化为关于的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得，即和的符号相反，可解除A和D，当时，可求出与所求冲突，解除B.10.已知函数，且，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推断出函数的奇偶性和单调性，则可将化为，依据对数函数的单调性解不等式，可得答案.【详解】依据题意，，则，故为偶函数；且当时，为单调增函数，故即，则，所以或，解得或，故实数的取值范围为，故选：D11.已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种状况，数形结合探讨即可得到答案.【详解】留意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满意题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满意题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.12.已知函数．则关于说法错误的是()A.的图象向右平移个单位长度后所得的函数为B.的图象与的图象关于y轴对称C.的单调递减区间为D.在上有3个零点，则实数a的取值范围是【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换公式化简f(x)解析式.依据图象平移对解析式的影响即可推断A，依据正弦函数对称性即可推断B，依据正弦函数单调性即可推断C，依据正弦函数图象的性质可推断D．【详解】﹒对于选项A，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，∴选项A正确；对于选项B，∵，∴与图象关于y轴对称，∴选项B正确；对于C，由得，即的单调递减区间为，∴选项C正确；对于D，如图为的图象，由图可知，在上有3个零点，则，解得，∴选项D错误．故选：D．二､填空题（共40分）13.已知(i为虚数单位)，则___________.【答案】【解析】【分析】依据复数的除法运算化简复数，再由复数的模的运算得答案.【详解】因为，所以，所以，故答案为：.14.在的绽开式中，各项系数和是___________；的系数是___________.【答案】①.1②.【解析】【分析】利用赋值法可得各项系数和，依据二项式绽开式通项可得的系数.【详解】令，可得各项系数和是1，由题设，绽开式通项，令，则，,∴的系数是.故答案为：1；.15.______．（用数字作答）【答案】1【解析】【分析】利用对数换底公式及性质计算作答.【详解】.故答案为：116.已知甲、乙两名篮球运动员投篮投中的概率分别为0.5和0.8，且甲、乙两人投篮的结果互不影响．若甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中的概率为_____．【答案】0.9【解析】【分析】依据对立事务的概率公式即可求出．【详解】设“甲、乙两人各投篮一次，则至少有一人投中”，则．故答案为：0.9．17.在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________．【答案】①.②.【解析】【分析】易得四边形为平行四边形，设，再将用表示，依据共线，求得，再将用表示，依据数量积的运算律即可求出；依据求得，以点为原点建立平面直角坐标系，设，再依据数量积的坐标表示即可求出答案.【详解】解：因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以且，则可设，故，因为共线，所以，解得，所以，因为，所以，所以；因为，所以，所以，又，所以，因为，所以，如图以点为原点建立平面直角坐标系，则，设，故，则，当时，取得最小值.故答案为：；.18.已知函数定义城为，恒有，时；若函数有4个零点，则t的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先化简函数的解析式，再转化为两函数图象的交点去推断函数有4个零点时t的取值范围.【详解】设，则，则，设，则，则，则，则，函数图象如下：由，可得，或，由，可得，或，或，则仅有一根，又，，则，解之得，故答案为：.三､解答题（共50分）19.在中,分别是角的对边，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数之间的关系，整理求出的值，进而求出的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简即可；（Ⅱ）利用余弦定理表示出,利用完全平方公式变形后，求出，代入三角形面积公式即可.【详解】（Ⅰ）由得：，又（Ⅱ）由余弦定理得：.又，，【点睛】此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，属于中档题.20已知，，.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若将图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的对称轴及其对称中心.【答案】（1），递减区间为.（2）对称轴为，对称中心为.【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及二倍角、和角正弦公式可得，由正弦函数的性质求最小正周期、单调减区间.（2）依据图象平移可得，依据正弦函数性质求对称轴及其对称中心.【小问1详解】由题设，，∴最小正周期，令，可得，∴单调递减区间为.【小问2详解】，令，则，故对称轴为.令，则，故对称中心为.21.某课外活动小组共10位同学，利用假期参与义工活动，其中有3位同学参与一次义工活动，有3人参与两次义工活动，剩下4位同学参与三次义工活动，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参与座谈会．（1）设A为事务“选出的2人参与义工活动次数之和为4”，求事务A发生的概率；（2）设X为选出的2人参与义工活动次数之差的肯定值，求随机变量X的分布列．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用已知条件转化求解事务A发生的概率即可；（2）依据题意知随机变量x的全部可能取值，计算对应的概率值，写出分布列即可.【小问1详解】由题意得，．所以事务A发生的概率为．【小问2详解】随机变量X的全部可能取值为0，1，2．，，．所以随机变量X的分布列为X012P22.已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．（1）求函数的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）递减区间是；递增区间是，（2）【解析】【分析】（1）依据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；（2）由题意得到，利用导数求得函数的单调性与极值，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：由题意，函数，可得，因为函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值，可得，即，解得，所以，可得，令，解得或．当改变时，，的改变状况如下：－1＋0－0＋2所以函数的单调递减区间是；单调递增区间是，．【小问2详解】解：由函数，，则，函数在处取得极大值，在处取得微小值，要使得有三个零点，则满意，即，解得，所以的取值范围为．23.已知函数，（1）若函数在处的切线也是函数图像的一条切线，求实数a的值；（2）若函数的图像恒在直线的下方，求实数a的取值范围；（3）若，且，证明：>【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）首先求出切线的方程，然后设与相切时的切点为，然后可建立方程组求解；（2）由题可得对于恒成立，然后