沪教版九年级上学期-相似三角形讲义设计（含解析）

（m相似三角形

知识结构

模块一：比例线段

知识精讲

一、比和比例

一般来说，两个数或两个同类的量。与6相除，叫做a与6的比，记作。力（或表示为W）；

b

如果=（或3=£）,那么就说。、b、c>d成比例.

bd

二、比例的性质

（1）基本性质:

如果@=那么ad=be；

bd

如果那么2=4abcd

bdaccdab

(2)合比性质:

如果那么a+bc+d

bdbd

如果那么a—bc—d

bdbd

(3)等比性质:

如果—=—=k，那么a+c=q=-=k.

bdb+dbd

三、比例线段的概念

对于四条线段〃、b>c>d,如果a:)=c:d(或表示为@=£),那么a、b、c、d

bd

叫做成比例线段，简称比例线段.

四、黄金分割

如果点P把线段AB分割成AP和尸5(AP>PB)两段(如下图)，其中AP是和Pfi

的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段钻的黄金分割点.其中,

AP布-1

«0.618,称为黄金分割数，简称黄金数.

AB2

APB

五、三角形一边的平行线性质定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.

4n4/7

如图，已知AABC,直线IIIBC,且与AB.AC所在直线交于点。和点那么丝=把

DBEC

A

ED

DE

BA

D

BB

六、三角形一边的平行线性质定理推论

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三

边对应成比例.

如图，点D、E分别在AABC的边钻、AC上,

如果。石〃BC,—.

BCABAC

七、三角形的重心

定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心.

性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍.

八、三角形一边的平行线判定定理

如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第

三边.

九、三角形一边的平行线判定定理推论

如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应

线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.

如图，在A45C中，直线/与钻、AC所在直线交于点D和点E,如果空=生，

DBEC

那么IHBC.

.AB/X;

D

BCBc

十、平行线分线段成比例定理

两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.

如图，直线4//4//Z3,直线M与直线”被直线4、右、4所截，那么竺=空.

FBGC

—DL----AF------/,

十一、平行线等分线段定理

两条直线被三条平行的直线所截,如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上

截得的线段也相等.

⑧）例题解析

【例1】如图，点。、E分别在AABC的边A8和8c上.下列所给的四个条件中，不一定

能得到DE//AC的条件是（）A

.BEBCnCEAD

BDBABEBD

CBDDE口BCCE——L-------\----------

BA~ACAB~ADFE

【难度】★

【答案】C.

【解析】如图，作DF=DE,则竺=匹，.••些=上不能判定。E〃AC,故选C.

ACACBAAC

【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选.

【例2】在比例尺为1:40000的一张地图上，量得A、8两地的距离是37cm,那么A、B

两地的实际距离是______km.

【难度】★

【答案】14.8.

【解析】设48两地的实际距离是xkm,则」—二37x10-5,解得：左二四用.

40000元

【总结】本题考查了比例尺的有关计算，注意单位的换算.

【例3】如图，已知/J//2///3，DE=4,DF=6,那么下列结论正确的是（）

A.BC:EF=1:1B.BC:AB=1:2

C.AD:EF=2:3D.BE:CF=2:3

【难度】★

【答案】B.

【解析】BC:AB=EF:DE=1:2,故B正确.

【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用.

【例4】如果线段。=4cm,b=9cm,那么它们的比例中项是cm.

【难度】★

【答案】6.

【解析】设它们的比例中项是xcm,则由题意得/=4x9,解得：x=6.

【总结】本题考查了比例中项的概念及计算.

【例5】四边形4BC。是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交边于点F,交

对角线于点G.

求证：CG是EG与尸G的比例中项.

【难度】★

【答案】详见解析.

【解析】：四边形ABCD是平行四边形,

AD//BC,AB//CD,.•.二=变EGBG

FGGD^G^GD

.CGEG

CG是EG与FG的比例中项.

"7U-CG

【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用.

【例6】已知线段A8=10,P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),则4尸=

【难度】★

【答案】5^5-5.

【解析】由题意得理=好匚，解得：AP=5A/5-5.

AB2

【总结】本题考查了黄金分割的有关计算.

【例7】已知幺=£=色=2,。=18—c—e,b+d+f^0,求6+d+f的值.

bdf3

【难度】★★

【答案】27.

2a+c+e2

【解析】：幺Z?+d+fw0,

bd3b+d+f~3

tz—18—c—c,・・a+c+e=18,••Z?+t/+f=27.

【总结】本题考查了等比性质的应用.

【例8】如果直角三角形的斜边长为18,那么这个三角形的重心到直角顶点的距离为

【难度】★★

【答案】6.

17

【解析】如图，易得CD=—A3=9,CG=—CD=6.

23

【总结】本题考查了重心的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

【例9】如图，已知ADHEFHBC,AE=3BE,

AD=2,EF=5,那么BC=.

【难度】★★

【答案】6.

B

【解析】作AN〃DC分别交£F、于点M、N,

FMAF

由题意得NC=MF=AD=2,——=—,

BNAB

33

即——=—,:.BN=4,：.AB=6.

BN4

【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用.

【例10]如图，点E、尸分别在正方形ABCD的边A8、8c上，与对角线8。交于点G,

如果BE=5,BF=3,那么PG:所的比值是

【难度】★★

【答案】

8

【解析】作于点H,易得GH=BH,

•:空=里,里=上，解得：GH著,

BFEB358

.FGBH3

**£F-*

【总结】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意比和比值的区别.

【例11]如图，BD是AABC的角平分线，点E、F分别在BC、AB上，且DE//AB,

ZDEF=ZA.

(1)求证：BE=AF；

(2)设3。与EF交于点联结AE,交BD于点、N,求证：BNMD=BDND.

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】(1),:DEIIAB,ZDEF=ZA,：.AD//EF,

・・・四边形AFED是平行四边形，

:・AF=DE,ZABD=ZEDB,

丁瓦)是AABC的角平分线，AZABD=ZEBD,

：.ZEDB=ZEBD,：.BE=DE,：.BE=AF；

.BNAB

：

(2),DEIIAB,」而一而

,BDAB

9：AD//EF,

%~MDAF

・：ED=AF,.•.吧=些，：.处=吧

MDEDNDMD

JBN・MD=BD・ND.

【总结】本题考查了平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理.

【例12]如图，在直角梯形A2CD中，mW=NABC=90。，E为CD的中点,

联结AE并延长交BC的延长线于F；

（1）联结8E,求证：BE=EF.

（2）联结8。交AE于当AO=1,AB=2,=时，求C。的长.

【难度】★★

A

【答案】（1）详见解析；（2）CD=6

【解析】（1）VAD//BC,DE=EC,易得AADE咨AFCE,

・・・E为Ab的中点，VZDAB=ZABC=90°,

：.BE=EF；

.AM_1.AD1

(2)VAM=EM,>•------=——

*MF-3BF3

9：AD=CF=1,：.BF=3,BC=2,

'：AB=2,JDC=4BC-AD)2+AB?二百.

【总结】本题考查了直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理及勾股定理等.

模块二：相似三角形

知识精讲

一、相似三角形的定义

如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成

比例，那么这两个三角形叫做相似三角形.

如图，DE是AABC的中位线，那么在A4DE与

AABC中，ZA=ZA,ZADE=ZB,ZAED=NC；

ADDEAf71

—由相似三角形的定义，可知这两

AB-BCAC2

个三角形相似.用符号来表示，记作AADESAABC,

其中点A与点A、点。与点3、点E与点C分别是对

应顶点；符号“s”读作“相似于”.

用符号表示两个相似三角形时,通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“A”后相应

的位置上.

根据相似三角形的定义，可以得出：

(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做

这两个三角形的相似比(或相似系数).

(2)如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

二、相似三角形的预备定理

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.

如图，已知直线/与AABC的两边AB、AC所在直线分别交于点。和点E,

则MDEsMBC.

三、相似三角形判定定理1

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似.

可简述为：两角对应相等，两个三角形相似.

如图，在AABC与A414cl中，如果NA=4、ZB=ZB,,那么AABCsM14G.

常见模型如下:

四、相似三角形判定定理2

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个

三角形相似.

可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

五、相似三角形判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似.

BC

乌，那么AA5CsA414c.

BgGA

BCBiC,

六、直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似.

可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.

ABBC

如图，在和MAA4G中，如果NC=/C]=90。，

4月B|G

那么AABC

七、相似三角形性质定理

相似三角形性质定理1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都

等于相似比.

相似三角形性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比.

相似三角形性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

例题解析

【例13】在下列4x4的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1,三角形的顶点都在

格点上，那么与图1中AABC相似的三角形所在的网格图是（）

【难度】★

【答案】B.

【解析】由图易得AABC为直角三角形，且BC:AB=1:2,故选B.

【总结】本题考查了相似三角形的判定.

【例14】已知AABCSAOEP,且相似比为3:4,=2cm2,贝U5®广=cm2.

【难度】★

【答案】—.

9

[解析】由题意得沁=£SSEF=必cn?.

S^DEF14J9

【总结】本题考查了相似三角形的性质.

【例15]如图，已知点。是AABC中的边BC上的一点，ZBAD=ZC,NABC的平分线

交边AC于点E,

A.\BAC^\BDA

C.NBDFNBECD.NBDF^AE

【难度】★

【答案】C.

【解析】VABADAC,ZABD=NCBA,：.SBACABDA；

'：ABAD=ZC,ZABF=Z.CBF,•*.^BFAsABEC；

VZBAE^ZBDF,ZABF^ZCBF,：.ABDFABAE；故C错误.

【总结】本题考查了相似三角形的判定.

【例16]如图，已知点。在AABC的边AB上，且NACD=NB,:S.Dlir=1:3.

求〜的值.

AB

【难度】★

【答案】--

2

【解析】•:ZACD=ZB,ZCAD=ZBAC,

22

：.ACADABAC,：.SACAD:S^AC=AC:AB,

.AC_1

SAACD-S^BC=1•3，・・SkCAD•^\BAC=1•4>•--

AB2

【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质.

【例17]如图，已知点及尸分别在矩形A5CD的边5C和C7）上，EFLAE,BE=3cm.

AB=6cm,矩形ABC。的周长为28cm,求C/的长.

\D

【难度】★\,

BC

E

【答案】CF=—cm.

2

【解析】VAB=6cm,矩形A8CD的周长为28cm,

ABC=8cm,：.EC=5cm,VEF±AE,

易证.CF,即g=二，解得：CF=-cm.

ECCF5CF2

【总结】本题考查了一线三等角基本模型的运用.

【例18]如图，已知点。、E分别在AABC边A3、AC上，DE〃BC,BD=2AD,那么

q

^ADEB:S^c等于（

A.1:2B.1:3C.1:4

【难度】★★

【答案】B.

【解析】-：BD=2AD,：.S^DE=IS^,

(

,DE//BC,..5AABC=^SMDE)..5ABsc=6sA

,,$ADEB•^AEBC=1：3

【总结】本题考查了相似三角形的性质及同底等高模型的综合运用.

【例19]如图，AABC中，如果AB=AC,4。_13。于点。，M为AC中点，AD与BM交

于点G,那么S.GDM:SAGAB的值为

【难度】★★

【答案】

4

【解析】"：AB=AC,AD1BC,

：.ZBAD^ZCAD,BD=DC,

为AC中点，

ADM=AM,：.ZBAD=ZMDA,

：.AGDMsAGAB,

:点G为AABC的重心，

【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质，同时考查了重心的性质.

【例20]如图，已知AABC中，AB=AC,CD是边AB上的高，5.CD=2,AD=l,四边

形是正方形.ACEF和ABDC相似吗？试证明你的结论..

A

【难度]★★D/\

【答案】相似，详见解析./\

【解析】由题意，可得：AC=AB=A/5,

BD=DE=EF=45-i,:.CE=3-卮

.BD1CE3-石君-1

"DC-2~EF~s/5-l~2

.BD_CE

ZBDC=/CEF,

*DC-£F

:.\CEFsMDC.

【总结】本题考查了相似三角形的判定.

【例21]已知:如图，点E是四边形A3CD的对角线5。上一点，且ZS4C=NBDC=miE.

(1)求证：AACD；

(2)求证：BCAD=DEAC.

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】(1)VZBAC=ZBDC=ZDAE,

：.ZBAE=ZCAD,

VZBEA=ZEDA+ZDAE,NCDA=ZEDA+ZBDC,

JZBEA=NCDA,

AAABE^AACD；

ARAE.ABAC

(2)由(1)知丝又：ZBAC=ZEAD,

ACAD*AE-AD

.BCAC

：.AABCsMED，・・

…访一耘•BCAD=DEAC.

【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的综合运用.

【例22]如图，已知：四边形A8C。是平行四边形，点E在边54的延长线上，CE交AD

于点RZECA=ZD.

(1)求证：AECAAECB；

(2)若DF=AF,求AC:BC的值.

【难度】★★

【答案】(1)详见解析；(2)交.

2

【解析】(1)•••四边形ABC。是平行四边形,

:.ZB=ZD,VZECA^ZD,：.ZECA=ZB,

XVZE=ZE,：.AECA\ECB；

(2)VDF=AF,易证DC=AE=A5,:.EB=2EA,

ACECEAECEA

由(1)得——，即nn----=—：.EC=亚EA,

HeEBEC2EAEC

.ACEA42

"~BC~^C~~2

【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质的应用.

【例23]如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若/DBC=45。，DELBC于E,

BFLCD于尸,OE与8尸相交于H,8月与的延长线相交于G.

求证：(1)CD=8H；(2)A8是AG和HE的比例中项.

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】(1)VZDBC=45°,DELBC,

：.ED=EB,VBFLCD,

ZEBH=Z.CDE,：.\EDCgAEBH,

CD=BH；

(2),・,四边形ABC。是平行四边形，・・・NC=NA,ZBHE=ZA,

4GAB

VZEBH=ZBGA,：.NEBH^^BGA,：.—=——，

HBHE

•:HB=CD=AB,

・・.42=四，.・.A5是AG和成的比例中项.

ABHE

【总结】本题考查了全等及相似三角形的判定.

【例24]如图，已知等腰AABC中，AB=AC,AD±BC,CELAB,垂足分别为。、E.

(1)求证：ZCAD=ZECB；

⑵点厂是AC的中点，联结DF,求证：BD2=FCBE.

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】(1)VAZ)±BC,CE±AB,：.ZBAD=ZECB,

9

：AB=ACf：.ZBAD=ZCAD,

：.ZCAD=ZECB；

(2)由题意得瓦＞=』5c=8。，:・ZDBE=ZDEB,

2

•・•点/是AC的中点，DF=-AC=FC,：.ZDCF=ZFDC,

2

VZDBE=ZDCF,：.NCDFIsBED,

.CDFC.BDFC

;CD=BD

・・・BD1=FCBE.

【总结】本题考查了直角三角形的性质及相似三角形的判定.

【例25]如图，已知在梯形ABC。中，AO〃8C,24=90。，A8=AO.点E在边AB上,

且£>E_LCD,DF平货NEDC,交BC于点F,联结CE、EF.

(1)求证：DE=DC；

(2)如果BE2=BFBC,求证：ZBEF=NCEF.

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】(1)作CH_LAD的延长线于点”,

■:ADUBC,ZA=90°,AB=AD,

:.CH=AD,'：DEVCD,：.ZADE=ZHCD,

：.AADE^AHCD,•*.DE=DC-,

(2)BE2=BFBC,ZB=ZB,：.ABEF^ABCE,：.ZBEF=ZBCE,

；DF平分ZEDC,DE=DC,

ADEF0ADCF,ZDEF=ZDCF,:ZDEC=ZDCE,

NCEF=ZBCE,ZBEF=ZCEF.

【总结】本题考查了一线三直角模型及相似和全等三角形的综合应用.

【例26]已知：如图，在AABC中，AB=AC,点。、£分别是边AC、A3的中点，。尸_LAC,

DF与CE相交于点F,AF的延长线与BD相交于点G.

(1)求证：AD°=DGBD；(2)联结CG,求证：ZECB=ZDCG.,

A

【难度】★★/\

【答案】详见解析.FI/

【解析】(1)=点。、E分别是边AC、4B的中点,

G

B

・•・MCE名AABD,

・•・ZABD=ZACE,

9

：DF.LACf

：.ZFAD=ZFCD,

：.ZABD=ZFAD,

：.ADAGsADS4,

.AD_DG

•.=，

BDAD

：.AD2=DGBD；

DCDG

(2)VAD=DC,A—

BDDC

ZCDG=ZBDC,

：.ACDGsABDC,

:.ZDBC=ZDCG,

,:ZABC=ZACB,

：.ZABD=NGCB,

：.ZACE=NGCB,

：.ZECB=ZDCG.

【总结】本题考查了相似三角形的判定及性质.

【例27]如图，直角梯形ABCD中，ZB=90°,AD//BC,8c=2AD,点E为边BC的中

点.

（1）求证：四边形AECC为平行四边形;

（2）在。£（边上取一点F,联结A尸、ACER设AC与EF交于点G,且/ff功

求证：AAECMDF；

（3）在（2）的条件下，当NEC4=45。时，求：EG:EG的比值.

【难度】★★

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）

5

【解析】（1）：BC=2A。，点E为边8c的中点，

/.AD^EC,'：AD//BC,

...四边形AECD为平行四边形；

(2)VZEAF^ZCAD,：.ZEAC=ZDAF,

:四边形AECD为平行四边形，...NAEC=",

:.AAECsA4DF；

(3)VZECA=45°,：.AB=BC,

设>10=1,贝l」3E=EC=l,AB=2,：.AE=M,

,••噂噜，解得吹邛，二。竽,

.FGFC4

，9~EG~^E~~5

【总结】本题考查了平行四边形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性质的综合运用,

综合性较强，解题时注意进行分析.

【例28]如图，已知在AABC中，尸是边BC上的一个动点，PQ//AC,与边AB相交

于点Q,AB=AC=10,BC=16,BP=x,AAPQ的面积为y.

（1）求y关于x的函数解析式;

（2）试探索：AAP。与即能否相似？如果能相似，请求出尤的值，如果不能相似,

请说明理由.

【难度】★★★

【答案】（1）y=3x——x2（0<x<16）；

（2）能相似，x=—.

4

【解析】（1）作AH,5c于点”,

9：AB=AC=10,BC=16,AAH=6,

A"=48，S^p=-BPAH=3x.

2

q2

°ABPQBP\x

U：PQ//AC,：.ABPQABC4,

qBC

a^BCA25616

3

322

SgpQ=^\ABP—SgpQ=3x-X,即y=3x——X（0<X<16）；

30

(2)能相似，止匕时％=工，详解如下:

4

■:帖PQsmCA,・,.些="，ABQ=-x,

BABC8

丁ZAQP>ZB,ZAQP=ZAPB,/.AAPQsAABP,

5

.APPQ即丝=晨，解得：AP=—,

••-，

ABBP10x4

s55

x—X”

..AQPQ10——

即、一=&-,解得：x=—,

・AP-BP?25x4

T

30

综上，AAP。与AAB产能相似，止匕时兀=子

【总结】本题考查了相似二角形的性质及相似三角形的存在性问题.

随堂检测

【习题1】如果两个相似三角形的面积的比为4:9,那么它们对应的角平分线的比是

【难度】★

【答案】2:3.

【解析】相似三角形面积比等于相似比的平方.

【总结】本题考查了相似三角形的性质.

【习题2】如图，AABC和AAMN都是等边三角形，点M是AA5c的重心，那么麋如的值

S.BC

为（）

A.2

3

【难度】★★

【答案】B.

【解析】：点M是AABC的重心，设4以=2,则可得48=2君,

【总结】本题考查了相似三角形及重心的性质的综合运用.

【习题3】如图，AB//DC,DE=2AE,CF=2BF,且。C=5,AB=8,则EF=

【难度】★★

【答案】7.

【解析】延长的＞、交于点

・：AB〃DC,：.哒=咚

DACB

；DE=2AE,CF=2BF,

：.EF//DC,

DECF

过点。作易求EF=7.

【总结】本题考查了本题考查了平行线分线段成比例定理的运用.

【习题4】已知，如图，D、E、F分别是AABC的边8C、AB.AC的中点，与EF相交

于点。线段CO的延长线交AB于点尸，求证：48=

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】E、厂分别是AABC的边8C、48、AC的中点,

/.EF//BC,BD=CD=2OE=2OF,

ppCF1

设PE=k,贝!J——:.PB=4k,BE=3k,:.AE=3k,

PBBC4

：.AP=2k,AB=6k,：.AB=3AP.

【总结】本题考查了三角形一边平行线的性质定理及中位线性质定理的运用.

【习题5】如图,在平行四边形ABCD中，AE_L3C于E,AF_LCD于?

(1)求证:CDDF=BCBE；

(2)若MN分别是A3、中点，且NB=60。,

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】(1):四边形ABC。是平行四边形，

ZB=ZD,

VA£±BC,AF±CD,

:.AABEsAADF,VAB^CD,AD^BC,

ADDF

:.CDDF=BCBE；

(2)延长EM、/M交于点G,

\"M,N分别是A3、A。中点，AE±BC,AF±CD,

：.EM=BM,FN=ND,

VZB=60°,：.^BME、AD/W为等边三角形，

，ZBEM=ZDNF=60°,:NG=Z.BEM,

:.ZG=NDNF,：.EM//FN.

【总结】本题考查了相似三角形的判定及直角三角形的有关性质.

【习题6】如图，HAABC中，ZACB=9Q°,。是边8C上一点，点E、F分别是线段AB、

AO中点，联结CE、CF、EF.

(1)求证：ACEF出AAEF；

(2)联结。E,当8。=2c。时，求证：DE=AF.

【难度】★★

AB

E

【答案】详见解析.

【解析】(1)•••4CB=90。，点E、尸分别是线段AB、AO中点，

/.CF^-AD=AF,CE^-AB=AE,VEF=EF,

22

/.ACEFgMEF；

(2):点E、尸分别是线段A3、AD中点，EF//BD,EF=-BD,

2

：8O=2C。，EF=CD,...四边形CFED是平行四边形，

/.DE=CF,VCF=AF,：.DE=AF.

【总结】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等及平行四边形的判定和性质的综合运用.

【习题7］已知正方形的对角线相交于点。，NC4B的平分线分别交8。、8c于点E、

F,作垂足为“，8H的延长线分别交AC、CO于点G、P.

(1)求证：AE=BG；

(2)求证：GOAG=CGAO.

【难度】★★

【答案】详见解析.

【解析】(1)；ABCD为正方形，

/.OA=OB,AC±BD,VBH1AF,

：.ZBGO=ZBEH,VZAEO^ZBEH,

：.ZBGO=ZAEO,：.AAEOABGO,AAE^BG；

(2)：AF为NC45的平分线，ZOAE=ZBAF,VZCBP=ZBAF,

QPpc1

：.AOAE^ACBP,：.——=——,VAB=BC,GO=OE,：.——=——

AOBCAOAB

.CGPC

PC//AB,

*AG-A6

.GOCG

：.GOAG=CGAO.

*AO-AG

【总结】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定.

课后作\||/

【作业1】若AABCs0用。］（其中点A和4、5和四、C和G分别对应），且A5=4,A{BX

=6,则AABC的周长和的与G的周长之比是（）

A.9:4B.4:9C.2:3D.3:2

【难度】★

【答案】C.

【解析】相似三角形的周长比等于相似比.

【总结】本题考查了相似三角形的性质.

【作业2】已知，如图，在MAABC中，ZACB=9Q°,点。为AB的中点，BE上CD,垂

足为点尸，BE交AC于点、E,CE=1cm,AE=3cm.

求证：（1）AECB^ABCA；（2）求斜边A5的长.

F

AB

D

【难度】★

【答案】详见解析.

【解析】(1)；BELCD,ZACB=90。，

:.ZACD=NCBE,:点。为AB的中点，

ACD=AD,：.ZACD^ZDAC,：.Z.CBE=ZA,

AECB^ABCA；

(2)由(1)得色=乌，解得：CB=2cm,

CACB

：.AB=^AC1+BC2=2退