2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 直线与平面平行 作业

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册直线与平面平行

作业

一、选择题

1、下列命题中正确的是（）

A.若a,b是两条直线，且2〃1）,那么a平行于经过b的任何平面

B.若直线a和平面a满足a〃a,那么a与a内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线a,b和平面a满足a〃b,a//a,b不在平面a内，贝！Jb〃a

2、如果底面是菱形的直棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）一44G2的所有

棱长都相等，乙钻0=60°,E,M,N分别为A氏8CCG的中点，现有下列四个

结论：①CE，平面0G4。②2MN③AD//平面A\MN④异面真线℃与

2

MN所成的角的余弦值为I,其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

3、设也〃是两条不同的直线，％分是两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

Amlla,nuanmlITIRmlla.mlI/3^a///3

Qm±cr,Hcz^z=>m±n口根J-七〃ua=>m_L夕

4、如图所示，在棱长为。的正方体.8一4耳£2中，E是棱。2的中点，F

是侧面CDDG上的动点，且4尸//面&BE,则F在侧面C叩G上的轨迹的长度

是（）

a41a

A.aB.2c.BD.2

5、已知私”表示两条不同的直线，a表示一个平面，给出下列四个命题:

m±am.\.a

<=^>m\\n=n\\a

①gomX.n

m\\am±a

<=>m\\n〈=^>m±n

③〔却。;④〔洲。

其中正确命题的序号是（）

A.①②B.②③C.②④D.①④

6、已知正方体AB。-44G2的棱长为%点E为°C的中点，点厂为线段

上靠近4的四等分点，平面5石方交于点G,则AG的长为（）

2

A.1B.2C.2D.3

7、若直线a不平行于平面%则下列结论成立的是（）

A.日内的所有直线都与直线a异面

B.&内不存在与a平行的直线

C.）内的直线都与a相交

D.直线a与平面日有公共点

8、一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，E、尸分别为

PB、PC的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有（）

A.直线AE与直线8尸异面B.直线AE与直线。尸异面

C.直线。〃平面FADD.直线所〃平面AB。

9、已知四棱锥S-ABCD所有的棱都相等,过瓦）与SC平行的平面与SA交于点E,

则助与8所成角的大小是（）

A.30。B.45。c.60。D.90。

io、如图，在正方体.8一4耳£°1中，MN,P分别是GmCAR的中点,

有下列四个结论：

①A尸与CM是异面直线；

②AP，CM,”相交于一点；

③MN11BD1.

（4）MN//平面BB]D[D.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①④B.②④C.①④D.②③④

11、如果直线m〃直线n,且m〃平面a,那么n与a的位置关系是（）

A.相交B.n//aC.ncaD.n〃a或nca

12、如图直三棱柱A'C—A4a中，点、M,N分别为AB和耳G的中点，则三棱

锥A-"NC体积与三棱柱ABC-A4G体积之比为（）

A.1:4B.1:5c.1:6D.1:7

二、填空题

13、正四棱柱—中，AB^AD=1,E为鸟片中点，若点尸满足

AP=APD,且成〃平面AE2,贝豚=.

14、在长方体A'。。—44GA中，E,尸分别为棱C「，A01的中点，平面跳支

AG__

与侧棱441的交点为G,则4G.

15、考查下列两个命题，在“”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其

构成真命题（其中。、6为不同的直线，a、月为不重合的平面），则此条件为

b（^a\allb

allb}=>o//ablIa}=>o//a

.①----）；②-----，

16、已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F,M分别是线段AB、AD,AAi的

中点，又P、Q分别在线段AB、AD上，且AF=AiQ=x（（Kx<D.设平面MEFA平面

MPQ

=1,现有下列结论：

①1〃平面ABCD；

②1_LAC；

③直线1与平面BCCB不垂直；

④当x变化时，1不是定直线.

其中不成立的结论是.（写出所有不成立结论的序号）

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，AB为半圆的

直径，D在半圆上，平面ABCD,且是PC的中点.

（1）求证：丛〃平面BDE;

（2）求点C到平面BDE的距离

18、（本小题满分12分）如图，在四棱柱.8一44£口中，底面ABC。为正方

形，明，平面A5CO,0为AG的中点，且45=2.

（1）证明：8〃平面A4c.

1

（2）若异面直线OD与A片所成角的正切值为求三棱柱AB。—4瓦G的体积.

19、（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，E为DDI

的中点.

（1）求证：'2〃平面ACE；

(2)求三棱锥少-ACE的体积.

参考答案

1、答案D

解析由线面平行的判定定理，可以判断A的真假；根据线面平行的定义及几何特征，可

以判断3与C的真假；根据线面平行的判定定理，可以判断。的真假；进而得到答案.

详解

解：如果。，万是两条直线，且那么。平行于经过6但不经过。的任何平面，故

A错误；

如果直线。和平面。满足。//。，那么。与。内的任何直线平行或异面，故3错误；

如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异

面，故0错误；

。选项：过直线。作平面月，设。八分二。，

又,：aI/a

又lb

又a且cua

・•・blla.因此。正确.

故选：D.

点睛

本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间中线线、线面、

面面各种关系的定义、判定、性质及几何特征是解答本题的关键.

2、答案C

解析根据线面垂直的性质可判断①正确；由可知43与MN为异面直线，故

②错误；根据线面平行的性质可判断③正确；根据异面直线℃与MN所成的角即为

NA'G,可求出其余弦值.

详解

如图，①连接A。，CE,因为NABC=60°,AB=BC,所以AA3C为等边三角形，

又E为的中点，所以CE,AB,因为AB。。-44GR为底面是菱形的直棱柱，

所以A8〃CD,所以CEJ_CD,因为°C,底面A3CD,又CEu底面A3CD,所以

CC'1CE,又因为CGnCD=c,所以CE_L平面CC1RD,故①正确；

②连接4%MN,C]B因为M,N分别为3C,eq的中点，所以又

ABcBQ=B,所以A8与MN为异面直线，故②错误；

③连接A',所以A2"BQ，又"N||BC,，所以MN//A",又因为肱vu平面A"N,

ARN平面AMN,…，所以AD]〃平面AMN,故③正确；

④连接48,所以又"N||BC],所以异面真线℃与呱所成的角即为

幺蛇，设筋"-44GA的所有棱长都为1,则42=g=仅AG=1,由

cos=2；1=2

余弦定理可知2xV2xV24,故④正确.所以正确的有①③④.

故选：C

点睛

本题主要考查空间几何体中线面关系，要重点考查线面垂直、线面平行的性质，以及异

面直线所成角的求法.

3、答案C

解析山//。,"<=。=机//〃或根,〃异面；

mlla,mll/3^a,分位置关系不定；

ml.a,n(^a=>m±nt

m上上nuanm,0位置关系不定；所以选。

4、答案D

解析设"，/分别为CC、G2边上的中点，由面面平行的性质可得尸落在线段印上,

再求印的长度即可.

详解：解：设G,”，/分别为CD、ca、G°边上的中点，

则ABEG四点共面，

且平面A3GE//平面4印

又.•小//面人四，

二厂落在线段印上,

正方体"CD—中的棱长为a,

:,HI=-CD.=—a

22,

6

----d

即尸在侧面coqc上的轨迹的长度是2.

故选，

点睛

本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.

5、答案D

m-La

<

解析①〔〃工。？m〃n,根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故

①正确.

mLa

<

②[m_L〃？n〃a,由m_La,m±n得n〃a或n?a,故②不正确.

m\\a

<

③由m〃a,n〃a,贝l|m,n可能平行、可能相交、可能异面.故③不

正确.

mLa

<nn

④[""二，则m,n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m，n.故

④正确.

故选D.

6、答案A

解析作的中点"，连接A”,EH,由题意得四边形AH尸G为平行四边形，由此

能求出结果.

详解

作的中点H,连接A8,EH,易用AH//BE,又GF//BE,所以GF//AH,

由于AA//DD]，所以四边形AHFG为平行四边形，

所以AG=HF=2—1=1.

故选：A

点睛

本题考查正方体中截面截得的线段长的求法，考查空间中线线平行的证明与应用，考查

推理论证能力，是中档题.

7、答案D

解析直线a不平行于a,包括两种情况：aua或aDa=尸，当aua时，a内的所

有直线都与直线a共面，A错；当aua时，a内必然有直线与直线a平行，B错；从

而C也错；当aua,直线和平面有无数个公共点，当aPla=尸，直线a与平面a有

唯一公共点，D正确.

考点：直线和平面的位置关系.

8、答案ACD

解析可将展开图还原成几何体，再由位置关系进一步确定线线与线面关系即可

详解

由题可知，该几何体为正四棱锥

对A,可假设与8/共面，由图可知，点/不在平面ABE中，故矛盾，A正确；

对玛因E，E为BP,CP中点，故班7/3。，又四边形ABC。为正方形，所以AD〃3C,

故

EF//AD,ARE,广四点共面，B错;

对°,由3的证明可知，EF//AD,又ADu平面故直线EF〃平面PAO,

°正确；

对。，同理由3的证明可知，EF//BC,又30匚平面ABCD,故直线EF〃平面

ABC。，。正确

故选：ACD

点睛

本题考查正四棱锥的特征，异面直线的判断，线面平行的判定，属于中档题

9、答案A

解析要求异面直线班:与8所成角，又AB//CD,根据异面直线所成的角的定义可知

就是此与CD所成角，而SC//平面瓦汨，由线面平行的性质定理可得

SCHOE,再结合。是3。的中点，可得E是SA的中点，在正ASAB中即可求出

的大小.

详解：设连接0E,

由SC//平面瓦汨，SCu平面&4C,平面SACPl平面=,

所以SC〃°E,由。是3D的中点，得E是SA的中点，

因为AB//CD,所以就是3E与8所成角，

因为AS"为正三角形，所以NAB£=30°.

故选：A.

点睛

本题主要考查求异面直线所成的角，同时考查线面平行的性质定理，属于中档题.

10、答案B

解析利用异面直线的概念，以及线面平行的判定定理，逐项判定，即可求解.

A

详解：B

■.-MP//AC,MPAC，4尸，*是相交直线，设APcQl/=G,

则Ge平面AD2A且Ge平面GCD。，又平面AO。Ac平面，

所以AP,CM,即相交于一点，故①不正确，②正确；

设4?「3£)=0,连ON,OD;则有@\^//。1知,@'/=。1知，所以四边形OM0°i为

平行四边形，则“N//O2,所以③不正确；

又ACVa平面叫2°,ORu平面网DQ,所以肱y//平面§42。，则④正确.

故选：B

点睛

本题主要考查了空间中的点，线，面的位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力与

逻辑推理能力.

11、答案D

解析利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可.

详解：・••直线m//直线n,且m〃平面a,

当n不在平面a内时，平面a内存在直线m'//m=n//iri,

符合线面平行的判定定理可得n〃平面a,

当n在平面a内时，也符合条件，

n与a的位置关系是n//a或nua,故选D.

点睛

本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟

练程度，属于基础题.

12、答案C

解析根据中点以及直三棱柱的特点将三棱锥4—"NO的体积等价转换为容易计算的

三棱锥的体积，从而可得两几何体的体积之比.

详解

因为M是A/的中点，所以4A2⑸2a,

又因为"A"平面BCCiBi,所以VA,-CBN=VA-CBN,

又因为3G〃平面A3。，所以匕m=%-ABC=kBC=]Kw,

所以4'G-施所以体积比为1：6

故选：C.

点睛

本题考查空间几何体体积的计算与几何体体积之间的关系，难度一般.求解几何体体积

之比时，注意转换几何体的顶点简化计算.

13、答案g

解析先猜想点P为的中点，取A"的中点尸，连接跖、PF,再证明3P//平面

AED'.结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形比牙石为平行四边形，从而

BP//EF,然后由线面平行的判定定理可证得3P//平面A皿.

详解：如图所示，分别取入2、AO的中点尸、P,连接跖、PF,此点P即为所求.

证明如下：

,；F、P分别为A'、的中点，

:.FP//D}DFP=]D[D

・•・石为8瓦中点，

:.BE=^BB1

▽DD//BB

乂il，

:.FP//BE,FP=BE,

•••四边形石为平行四边形，

：.BP//EF

BP<Z平面A"',五户u平面BPFE,

二8尸//平面4£。1.

由于P为AZ）的中点，

故答案为：2.

点睛

本题考主要查空间中线与面的平行关系，对于找点问题，一般可采用先猜后证的思想，

熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，

属于中档题.

14、答案3

解析如图，分别取棱。A,A4的中点N,M,连接AN,IM根据线面平行的性

质可得

BE//FG,可判断G是A4的三等分点.

详解：如图，分别取棱AA的中点N,M,连接AN,RM

则D,M//AN//BE；所以//BE

BE//平面ADRA,则BE//FG.

.二3

因为歹为棱A2的中点，所以G为4”的中点，所以4G.

故答案为：3.

点睛

本题考查线面平行的性质，属于基础题.

15、答案aacif

解析根据线面平行的判定定理可知，判断线面平行需要三个条件：面内一线，面外一线,

线线平行，分析已知中的条件，即可得到答案.

详解：①体现的是线面平行的判定定理，缺少的条件是：为平面a外的直线”，

②同样缺少平面外直线.

故答案为：aBa

点睛

本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，熟练掌握直线与平面平行判定的方法以及

必要的条件是解答本题的关键，属于基础题.

16、答案④

解析详解：连接BD,BD,•；AiP=AQ=x,；.PQ〃BD〃BD〃EF,则PQ〃平面MEF,

又平面MEFC平面MPQ=L：.PQ//1,1〃EF,

；.1〃平面ABCD,故①成立；

又EFJ_AC,故②成立；

..T〃EF〃BD,故直线1与平面BCCB不垂直，故③成立；

当x变化时，1是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立.

即不成立的结论是④.

17、答案（1）见解析；（2）也

2

（2）利用等体积法％_BDE=4-B»C，求点到面的距离，分别求出需要的底面积和高即

可。

详解

（1）连接AC,交BD于0,连接0E,则点。为AC的中点，又E为PC的中点，所以有

E0//PA,又EOu面BDE,PA<Z面BDE,所以PA//平面BDE；

（2）设点C到平面BDE的距离为h,•.•。8,6。,。6，尸。，又3。口。£>=。,

C8,面P£>6,:.CBLPB,即NP8C=90°，

：.BE=DE=^PC=—，又BD=6，

A/6

'''S«BDE=3义6

一丁

•••E是PC的中点，

E至U面BCD的距离是P至IJ面BCD距离的一半，即E至!］面BCD的距离为1,

••^C-BDE=VE-BDC

点睛

本题考查线面平行的证明以及点到面