初中奥林匹克数学竞赛题

精选试题

初中奥林匹克数学竞赛题

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2007年初中数学竟寒模拟试题（1）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.方程（,+X-1）/3=1的所有整数解的个数是（）个

（A）2（B）3（C）4（D）5

AD_1

2.设aABC的面积为1,D是边AB上一点，且工B3.若在边.AC上取一点E,

3CE_

使四边形DECB的面积为4,则拓的值为（）

112J

（A）2（B）3（c）4（D）5

3.如图所示，半图0的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其

余三边.BC,CD,DA相切，若BC=2,DA=3,则AB的长（）

（A）等于4（B）等于5（C）等于6（D）不能确定

4.在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点.设汇为整数，当直线歹=x+2

与直线丁二五-4的交点为整点时，发的值可以取（）个

（A）8个（B）9个（C）7个（D）6个

5.世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比寒，每场比赛胜队得3分，败队

得。分，平局时两队各得1分.小组寒完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛.如

果总积分相同，还有按净胜球数排序.一个队要保证出线，这个队至少要积（）分.

（A）5（B）6（C）7（D）8

二、填空题（每小题6分，共30分）

111111

6.当X分别等于2005,2004,2003,2002,2001,2000,2000,2001,2002,

X

2003,2004,2005时，计算代数式1+/的值，将所得的结果相加，其和等于.

5

7.关于x的不等式（2a-»x>a-25的解是x<5,则

关于X的不等式数+b<0的解为

8.方程/+科+0=°的两根都是非零整数，且

p+0=198,则衣=.

9.如图所示，四边形ADEF为正方形，ABCD为等腰直角三

角形,D在BC边上,AABC的面积等于98,BD：DC=2：5.则

正方形ADEF的面积等于.

10.设有"个数'I,叼，…，X*,它们每个数的值只能取0,1,一2三个数中的一个,

且勺+x?+…+4=-5,x；+W+…+x；=19,则x；+若+…+x；的值是

三、解答题（每小题15分，共60分）

11.如图，凸五边形ABCDE中，已知SZ\ABC=1,且EC〃AB,AD〃BC,BE〃CD,

CA/7DE,DB〃EA.试求五边形ABCDE的面积.

AB

x2+以+3

=3x+k

12.在正实数范围内，只存在一个数是关于”的方程x-1的解，求实数

上的取值范围.

13.如图，一次函数的图象过点P（2,3）,交x轴的正半轴与A,交y轴的正半轴与B,

求△AOB面积的最小值.

14.预计用1500元购买甲商品为个，乙商品、个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品

每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元.又若

甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品

支付的总金额是1563.5元.

（1）求X、y的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,

求“、的值.

初中奥数系列综合模拟试卷答案:

参考答案

一、选择题

1.C2.B3.B4.A5.C

二、填空题

6.67.X<-88.—2029.11610.—125

三、解答题

11.•/BE〃CD,CA〃DE,DB#EA,EC〃AB,AD#BC,

/.SABCD=SACDE=SADEA=SAEAB=SAACB=SAACF=I.

设SZ!\AEF=X,贝IJSZ^DEF=1-X,

又△AEF的边AF与△DEF的边DF上的高相等，

DE_1-x

所以，AFx,而△DEFS/IACF,则有

整理解得2

5+后

SABCDE=3SAABC+SAAEF=2.

12.原方程可化为2--3x+3)=0,①

_33__3

(1)当△=()时，一~8,与一的一［满足条件；

(2)若工=1是方程①的根，得2xl2-3xl-g+3)=0,上=_4.此时方程①的另

11

-X——

一个根为2,故原方程也只有一根2.

勺盯=------<U

（3）当方程①有异号实根时，2，得上>一3,此时原方程也只有一个

正实数根;

3

X=一

（4）当方程①有一个根为。时，上=一3,另一个根为2,此时原方程也只有一个

正实根.

k=_33

综上所述，满足条件的上的取值范围是一石或上=-4或江2-3.

13.解：设一次函数解析式为丁=奴+5,则3=2上+%得3=3-2加令尸二°得

bb

x=———

k,贝IJ0A=k.

令x=0得丁=&,则OA=3.

1(3-2左尸

=—x

2—k

+24]

所以，三角形AOB面积的最小值为12.

14.（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为。元和占元，则原计划是

ax+by=1500

由甲商品单侨上涨1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得

(a+1.5)(x-10)+(i+l)7=1529②

再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形,

得

(a+1)(*5)+恰+1»=1563.5,③

由①、②、③得

1.5x+1y-10a=44,④

x+y-5a=68.5.⑤

④一⑤X2并化洵，得

x+21y=186

55-

(2)依题意，有2O5〈2x+y<210及*+21y=186,54<^<3,

由是整数，得从而得尤=76.

答：(1)才、尸的关系工+2丁=186；

(2)预计购买甲商品76个，乙商品55个.

赛前模拟：初中奥数系列综合模拟试卷及答案

2007年初中数学竟赛模拟试题（2）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.已知&-小=4,点3+1+4=0,则a+8=（）

（A）4（B）0（C）2（D）—2

,,43|x|

2.方程xx的实根的个数为（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

3.已知梯形ABCD中，ADZ/BC,对角线AC、BD交于0,ZXA0D的面积为4,

△B0C的面积为9,则梯形ABCD的面积为（）

（A）21（B）22（C）25（D）26

4.已知G>01与©02是平面上相切的半径均为1的两个扇，则在这个平面上有（）

个半径为3的扇与它们都相切.

（A）2（B）4（C）5（D）6

5.一个商人用我元（活是正整数）买来了〃台（〃为质数）电视机，其中有两台以成

本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该

商人获得利润为5500元，则«的最小值是（）

（A）11（B）13（O17（D）19

二、埴空题（每小题6分，共30分）

6.已知等腰4ABC内接于半径为5cm的00,若底边BC=8cm,则aABC的面积

为.

7.aABC的三边长以、b、C满足A+C=8,8c=l-i2a+52,则^ABC的周长等

于

8.若卜〕表示不超过x的最大整数，且满足方程3x+5b]-49=0,则矛=.

9.若直线323x+4571y=1103与直线177x+543/=897的交点坐标是（许占），则

<?+2006/的值是

10.抛物线》=2/-4x-5向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线c,则

C关于丁轴对称的抛物线解析式是

三、解答题（每小题15分，共60分）

11.如图所示，在aAEC中，AC=7.BC=4.D为AB的中点，E为AC边上一点，且NAED

2

=90°+2NC,求CE的长.

12.某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后

每隔6分钟再开出一辆.第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆

车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车.问到几点时，停车场内第一次出现无

车辆？

13.已知一个两位数，其十位与个位数字分别为衣、工二次函数y=,+"+p的图

冢与X轴交于不同的两点A、B,顶点为C,且SaABCWl.

（1）求1-4P的取值范围；（2）求出所有这样的两位数

14.已知力是正整数，且*+1与%+1都是完全平方数.是否存在巴使得%+3是

质数？如果存在，请求出所有附的值；如果不存在，请说明理由.

初中奥数系列综合模拟答案:

参考答案

一、选择题

1.B2.A3.C4.D5.C

二、埴空题

19

6.8cm2或32cm27.148.39.201010.V=2,—+3

三、解答题

11.作BF〃DE交AC于F,作NACB的平分线交AB于G,交BF于H.

2

则NAED=NAFB=NCHF+2zc.

2

因为NAED=90。+2ZC,所以NCHF=90。=ZCHB.

又NFCH=NBCH,CH=CH.

AFCH^ABCH.

/.CF=CB=4,

AF=AC—CF=7—4=3...1,、/

AEFC

•/AD=DB,BF〃DE,

AE=EF=F5,

CE=5.5.

12.设从6时起x分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S辆，进场车y辆,

则

\=6(^-1)

<S=y+15

效>x-3

...83-15)>6公一1)-3,解得$>555.

S为正整数，...S=56,即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车

330

辆.此时"6(56-1)=330,6+而=□.5(时)

答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆.

13.⑴设AO),B(X2,o),(%*%),则勺、盯是方程

/+gx+p=°的两个不同的实根，所以

2

x1+x2=-qX[Xa=p,q-Ap>0_

又'―4('表示点C的纵坐标)，所以

J再一叼|•|又|=_4P4*丁<1

SAABC=，

从而(「-4M3M64,1-4pM4.

故0</-4pW4.

(2)由(1)知，--4P=1,2,3,4.

因为/被4除余数为0或1,故^一40被4除余数也是。或i,从而/

=1，或4.这

p=2fj>=6[p=3fp=8

<《<<

两个方程中符合题意的整数解有=3,〔尸=5,[p=4,[p=6.

故所有两位数为23,65,34,86.

14.设“+1=1,3万+1=徵2,其中小，w邰是正整数，则

5%+3=4（2万+1）—（3万+1）=4上2—冽2=Q上+溶）（2k-m）

若2上.演wl,则%+3不是质数.

若2元-冽=1,则5%+3=2上+加=2加+1,于是

（活一I）”=-2活+1=一（2冽+1）+2=（3n+1）—（5总+3）+2

=~2«<0,矛盾.

综上所述，不存在正整数附，使得勿+3是质数.

赛前模拟：初中奥数系列综合模拟试卷及答案3

日期：2008-08-11???来源：互联网??作者:佚名［打印］［评论］

初中奥数系列综合模拟试卷：

2007年初中数学竞褰模拟试题(3)

一、选择题(每小题6分，共30分)

L在一个凸万边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160。的多边形,

则万的值为()

(A)只能为12(B)只能为13(C)只能为14(D)以上都不对

2.已知关于x的方程/-6x+3-2)|x-3|+9-2a=°有两个不同的实数根，则实数

。的取值范围是()

(A)a=0(B)a三0(C)&=一2(D)或白=一2

3.若正实数。、3满足a»=a+A+3,则＞+/的最小值为()

(A)-7(B)0(C)9(D)18

4.如图，在aABC中，ZC=RtZ,CD±AB,下列结论：(1)DC-AB=AC-BC；

AC2_AD1[1_1

(2)BC，BD.(3)AC2BC2CD。.(4)AC+BC>CD+AB.

其中正确的个数是()

(A)4(B)3(C)2(D)1

5.设"是正整数，OVXwi,在aABC中，如果AB=%+x,BC=〃+2X,CA=n+3x,

BC边上的高AD=〃，那么，这样的三角形共有()

(A)10个(B)11个(C)12个(D)无穷多个

二、填空题(每小题6分，共30分)

6.实数X、ysZ满足：x=y+贬,2»+2、岳2+1=0,则x+y+z的值

为.

7.如果对于任意两个实数a、合,“*”为一种运算，定义为a*8=a+2»,则函数

y=x2*(2x)+2*4(_3W”W3)的最大值与最小值的和为

8.已知四个正数。、葭c、d满足av^vcvd,它们两两的和依从小到大的次序

分别是：23、26、29、93、跖V,则芯+沙的值为

9.已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1),0为坐标原点，ZQPO=150°,且P到

Q的距离为2,则Q的坐标为

10.在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12,设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R.则

R的最小值是

三、解答题(每小题15分，共60分)

X

II.实数X与y使得x+y,X-y，D,y四个数中的三个有相同的数值，求出所有

具有这样性质的数对(X,丁).

12.如图，^ABC的面积为S,作直线'〃BC,分别交AB、AC与点D、E,若ZiBED

2

的面积为K.求证：KW；S.

13.如图，在直角坐标系内有两个点A(—1,-1),B(2,3),若M为x轴上一点,

且使\IB-MA最大，求M点的坐标，并说明理由.

九

3--

2-

1■

—1—1---1-----L

-3.2.1：1X

L.---

A-1

14.在△川(：中，AB=40,AC=60,以A为圆心，AB长为半径作圆交BC与D,且D

在BC边上，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长.

初中奥数系列综合模拟试卷答案:

参考答案

一、选择题

1.D2.D3.D4.B5.C

填空题

6515

6.07.378.1959.（1,1+4），（-1,1+、回）10.8或2

解答题

H.显然，y=所以尤+^二3一九

xx

x+y=9=—x-y=xy=—

依题意，有V或V,于是

x+y=xyf

〈x

寸二一.

⑴〔y解得x=°或y=±L

当x=°时，V=°（舍去）；

当y=i时，矛+1=工，无解；

r1

x=一,

12

当丁二-1时，x-l=-x,,•12,.•.卜=一1・

X

x-y=一,f

y1

x=——,

X〈2

»=一・1

⑵ly解得卜=T

2_2

故数对(X,V)为(5,-1),(2,-1).

AD

-----=X

12.设,

ASAD

-----=-----=X

,//〃BC,二4CAB,

­-i-iA--B-S=--工--E-=X

AC

由s”3c,得

.二SiiABE=%.

BDAD

----==1--------=1-X

T又7SiUUiif工BAB

31,11

K=Q_x)0=_S(x2_x)=_S(x_js丐s

13.作点A关于x轴的对称点AJ作直线BA，交x轴于点M,由对称性知MA，=MA,

MB-MA=MB-MAf=A'B.

若N是*轴上异于M的点，则NA'=NA.这时NB-NA=NB-NA'<

A'B=XE—MA.

所以，点M就是使MB—MA的最大的点，的最大值为A'B.

设直线A，B的解析式为V=则

1=-兀+瓦25

.3=2无+瓦解得化=百，"=?

255

j;=-X+-0才=一一

即直线A'B的解析式为33,令丁=°,得2.

5

故M点的坐标为（2,o）.

14.设BD=a,CD=S,(%％为正整数)

a

作AE_LBD,垂足为E,则AB=AD=40,BE=DE=2.

且£2=402_0)2=602-(^+Z))

.402-9=602-(/)2

•.•(a+珈=2000=2”53，

20V以+小V100,

a+b=2x52,a+b=24x5,

只有1'=2陵5,或1=5?

故BC的长为50或80.

赛前模拟：初中奥数系列综合模拟试卷及答案4

日期：2008-08-11???来源:互联网??作者：佚名［打印］［评论］

初中奥数系列综合模拟试卷:

2007年初中数学竞赛模拟试题(4)

一、选择题(每小题6分，共30分)

1.若。、方都是质数，且/+8=2007,则4+5的值等于()

(A)2004(B)2007(C)2005(D)2008

2.一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是()

(A)5(B)6(C)7(D)8

3.已知丁=|x-l|-2|x|+|x+2|,且一2WXW1,则的最大值与最小值的和是

()

(A)-1(B)2(C)4(D)5

4.在AABC中，若NA=58。，AB>BC,则NB的取值范围是()

(A)0°<ZB<640(B)58°<ZB<64°

(C)580<ZB<122°(D)640<NB<122°

1,

y=—X+K

5.直线2与x轴的交点分别为A、B,如果SZ\AOBWL那么，k的取值范

围是()

(A)上W1(B)0<兀W1(C)-1W归W1(D)左W-1或上学1

二、填空题(每小题6分，共30分)

6.若实数。满足则不等式x+a>Lax的解集为

7.设X】、电是方程一一2(无+l)x+/+2=°的两个实根，且(演+1)(万+1)=8.则

上的值是

8.在直角坐标系中，x轴上的动点M(X,0)到定点p(5,5)、Q(2,1)的距离分

别为MP和MQ,那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标芯=

9.从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1,3,5.则这个等

边三角形的面积是

10.若正整数5、c满足aS+加=518,ab-ac=360,则a儿的最大值

是.

三、解答题(每小题15分，共60分)

11.甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C三个农贸市

ABC

场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A提供4%,向

甲1056

B提供乃t,向提供40t.甲基地可安排60t,乙基地可安

乙4S15

排100t.甲、乙与A、B、C的距离千米数如表1,设运

费为1元/(km・t).间如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值.

12.已知「为质数，使二次方程,-29工+92-5「一1二°的两根都是整数.求出P的

所有可能值.

13.已知CA=CB=CD,过A,C,D三点的圆交AB于点F.求证：CF为NDCB的平

分线.

14.预计用1500元购买甲商品个，乙商品个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨

价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元.又若甲商品每个

只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是

1563.5元.

(1)求、的关系式；

(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,

求、的值.

?

初中奥数系列综合模拟试卷答案：

参考答案

一、选择题

1.C2.B3.B4.A5.C

二、埴空题

x5

6.1+。7.18.万9.27J51011008,

三、解答题

11.设乙基地向A提供衣，向B提供加，向C提供"°°一(X+V)]"则甲基地向A提

供(45-初，向B提供W-加，向c提供[40-(100-L刈=[。+川-60).

依题意，总运费为

w=10(45-x)+5(75—y)4-6[(x+y)-60]+4x+8j/+15[100-(x+y)]

=1065-3[2(x+y)+3x]

•.・OW'+ywiOO,0WXW45,当且仅当工+^=10°,x=45时，”有最小值，则

w勒卜=1965-3(200+135)=960(元)

答：安排甲基地向A提供"，向B提供20Z,向C提供40々安排乙基地向A提供45人

向B提供55人向C提供可使总运费最便，最小的总运费为960元.

12.因为已知的整系数二次方程有整数根，所以

△=4/-4面-5p-l)=W+1)为完全平方数，

从而，5P+1为完全平方数.

设"+1=/,注意到°之2,故万之4,且融为整数.

于是，5P=5+1)(%-1),则%+1,1中至少有一个是5的倍数，即

花=5兀±1(化为正整数).

因此，50+1=25/±10化+1,p=k(5k±2)

由尸是质数，诙:±1>1,知上=1,P=3或7.

当「=3时，已知方程变为/_6x_7=0,解得占=7,%2=7.

当P=7时，已知方程变为/-14x+13=0,解得勺=1,x2=131

所以7=3或「=7.

13.连结DF,BD,

,/AC=CB=CD,

.'.ZA=Z2,NCDB=NCBD,

,/ZA=Z1,.*.Z1=Z2,/.ZFDB=ZFBD,/.DF=BF.

又N1=N2,CD=CB,/.ADCF^ABCF,/.ZDCF=ZBCF.

即CF为NDCB的平分线.

2--、

14.设考察队到生态区用了刀天，考察了V天，则

17x=25(60-x-7)-1,即42x+251y=1499

x=25f-3,

...)=65-42£(£为整数)

25z—3>0,35

由(65-4%>0,解得王所以£=1.

x=22,

于是,i―3.

答：科学考察队在生态区考察了23天.

赛碘拟：初中奥统列略模拟幡1改

日期:2008-08-11???来源：互联网??作者：佚名［打印H评论］

初中奥数系列综合模拟试卷

数学竞赛辅导练习题

选择题：

1、已知a、b、c都是实数，并且口>力〉*那么下列式子中正确的是（）

ab

—>一

（A）ab>bc（B）a+b>b+c（c）a-b>b-c（D）cc

2、如果方程-+PX+1=O8>0）的两根之差是i,那么p的值为（）

（A）2（B）4（C）石（D）石

3、在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD_LCE,BD=4,CE=6,那么△

ABC的面积等于（）（A）12（B）14（C）16（D）18

a+bb+cc+a

4、已知a加wO,并且c一a一b一，那么直线歹=衣才+"一定通过第（）

象限

（A）-、二（B）二、三（C）三、四（D）一、四

9x-a>0

5、如果不等式组［8x_S<°的整数解仅为1,2）3,那么适合这个不等式组的整数a、

b的有序数对（a、b）共有（）（A）17个（B）64个（C）72个（D）81个

1+1+2

6、计售1-a1+S1+6的值是（）.（A）1（B）-1（C）2（D）—2.

7、△ABC的周长是24,M是AB的中点，MC=MA=5,则△ABC的面积是（）.

（A）12；（B）16；（C）24；（D）30.

8、设与>a,将一次函数/二—+。与？=公+右的图象画在同一平面直角坐

标系内，则有一组6的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）.

9、如图，在等膊梯形ABCD中，AB/7DC,AB=998,DC=1001,AD=1999,点P在线段AD

上，则满足条件NBPC=90°的点P的个数为（）.

AB

D1--------*C

题一5图

（A）0；（B）1；（C）2；（D）不小于3的整数。

10、有下列三个命题：（甲）若a，£是不相等的无理数，则a%+a一0是无理数;

a

（乙）若巴£是不相等的无理数，则a+0是无理数；（丙）若出月是不相等的

无理数，则而十的是无理数.其中正确命题的个数是（）.

（A）0；（B）1；（C）2；（D）3.

二、埴空题：

6、在矩形ABCD中，已知两邻边,AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点，PE±BD,PF±AC,

E、F分别是垂足，那么PE+PA.

9、已知方程//一（31-8。卜+242-1弘+15=°（其中@是非负整数），至少有一个

整数根，那么a=.

10、B船在A船的西偏北450处，两船相距100km,若A船向西航行，B船同时向南航

行，且B船的速度为A船速度的2倍，那么A、B两船的最近距离是km.

w+_l_

1.设演=^+1,那么“短的整数部分是

2.在直角三角形ABC中，两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分

线的长度等于厘米.

3.已知r-x-1=0,那么代数式r-2x+1的值是

4.已知M，%是有理数，并且方程/+演x+万=0有一个根是右一2,那么我+"的值

是

5.如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EX3厘米,那么FG=

厘米.

6.满足19982+.2=]9972+万2（0<.<附<1998）的

整数对（做〃），共有个.

7.设平方数/是I1个相继整数的平方和，则歹的最小值是

8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P,已知MP1BCZMF

的面积等于四边形MPCA的面积的一半，BP=2厘米，PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面

积是__________平方厘米.

9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米，

E,F分别为边AB,BC上的点，AF,CE相交于

点G,并且*BF的面积为5平方厘米，A8C£的

面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积

是____________平方厘米.

~(b-c)2=(a-b)(c-a)

10、已知4且

b+c

则a

11

11、已知%A为整数，且满足a'ba~ba2b2，则

12、在正方形ABCD中，N是DC的中点,M是AD上异于D的点，且NNME=NMBC,则tg

ZABM=

题二4图

三、解答题

1、如图，在等腰三角形ABC中，AB=1,ZA=900,

点E为腰AC中点，点F在底边BC上，且FE-LBE,

求^CEF的面积.

2、某班参加一次智力竟寒，共区瓦。三题,

每题或者得满分或者得。分.其中题&满分20分,题

“、题C满分分别为25分.竟赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1

人，答对其中两道题的有15人，答对题0的人数与答对题A的人数之和为29,答对题

a的人数与答对题’的人数之和为25,答对题3的人数与答对题’的人数之和为20,

间这个班的平均成绩是多少分？

初中奥数系列综合模拟试卷答案：

数学竞赛辅导练习题参考答案

1.根据不等式性质，选B.

2.由△=p2-4>0及p>。设xl,x2为方程两根，那么有xl+x2=-p,xlx2=l.又由

(xl-x2)2=(xl+x2)2-4xlx2,

得F=(-p)2-4,所以p?=5,p=有3〉2).故选D.

图3-271

S=_LRD♦(7P=10

3.如图3—271,连ED,则朝BCDE?

S，s=ixi2=16

又因为DE是/\瓯两边中点连线，所以33四…E3

故选C.

a+b=pc,

<b+c=pa,

4.由条件得l+c=pb.

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c),所以有p==2或a+b+c=0.

当p=2时，y=2x+2,则直线通过第一、二、三冢限.

a+卜

当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c,于是p=-----l(c卉0),所以

y=-x-l,则直线通过第二、三、四象限.综合上述两种情况，直线一定通过第二、

三象限.故选B.，

5.由原不等式组可得;在数轴上画出这个不等式组解

98的可以区间,

如图3—272.

•LIiI占••

oD345

a12b

--

98

图3-272

不难看出3<^<4.由得0<a49,所以a=l,

So9

2,3,…，9,共9个.由3<&44得3X8<b<4X8,所以b=3X8

O

+1,3X8+2,3X8+3,...3X8+8,共8个，9X8=72(个).故选C.

2+2=_4_=_2

6、原式=1-61+51-3.

7、解：,."MA=MB=MC=5,ZACB=90°，已知周长是24,贝UAC+BC=14,AC2+BC2

=102./.2ACXBC=(AC+BC)2~(AC2+BC2)=142—102=4X24./.

SAABC=-2AC-BC=24

o

ry=bx+a

8、解：由方程组〔？二公+"的解知两直线的交点为(1，°+“),而图A中交点横

坐标是负数:，故图A不对；图C中交点横坐标是2#1,故图C不对；图D中交点纵坐标

是大于小于6的数，不等于a+》，故图D不对；故选瓦

9、解：AD的中点M对BC张成90°角，又在AD上取点N使AN=998,则ND=100L由4

ABN和都为等腹三角形推知NBNC=90°,注意到以BC为直径的圆与AD至多有两

个交点，可知所求点的个数为2.

10、解：---a^+a-=a/^+a-^-1+1=+1）+1只要

令a=l+JI,S=T+也,则a£+a-£为有理数，故（甲）不对；又

a-/3

若令a=2j5,"收,则a+P为有理数，故（乙）不对；又若令

a=啦，尸=-亚，贝|j6+遮二°为有理数，故（丙）不对；故正确命题

个数是o,应选（A）.

二、埴空题

6.如图3—273,过A作AGJ_BD于G.因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的

和等于腰上的高，所以PE+PF=AG.因为AD=12,AB=5,所以BD=13,所

AP,

5。工

以AG=13=13，所以^E+PF=-

13'图3-273

2a-3c3a-5,5

Xi_-2-；

9.因为aWO,解得往aaa故a可取1,3或；5.

C：Ai]A东

图3-276

10.如图3—276,设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1,

B],设AA1=x,于是BB】=2x.由AB=10、E,得AC=BC=10,所以

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以AR】=7|10-X|2+|10-2X|2=j5(x-6)2+20,

当x=6时，A]B]=2而最小.

1_1_75-1

3tn=芯+l,m有4,

15-3[上1

m+—=—J5+——3

...m44,L冽」.

逑

2.r如图，AD为直角A的平分线，过B作交CA的延长线于点E.N£BA=

ZBAD=45°,

AE=AB=1,EB=V2又LCDAsNCBE,

AD=-EB=^-

33.

3.2

——2x+1-—x)+(彳？—x-1)4-2

=x(x2-x-l)+(x?-x-1)+2=2

4.3

因为n、n为有理数，方程一根为右一2,那么另一个根为一石-2,由韦达定理.

得冽=4,«=-1,e\m^n=3

16AE_BE_EG_EF+FG

5.3由原图~EF~^D~~AE~~AE

FG=^--EF=--3=—

EF33（厘米）.

6.16«2-1w2=3995=5x17x47

（甩-痴）。i+w）=5x17x47

显然，对3995的任意整数分拆均可得到（叫n）,故满足条件的整数对（叫n）共

2x2x2x2=16（个）.

7.1111个相继整数的平方和为