第07讲 二次函数与一元二次方程、不等式（学生版）-2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）

第07讲二次函数与一元二次方程、不等式【学习目标】1.会结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根个数，了解函数的零点与方程根的关系．2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系【基础知识】一、一元二次不等式一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.二、二次函数的零点1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标．3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．(2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．四、解一元二次不等式的一般步骤1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零；2.计算对应方程的判别式；3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．【解读】(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．五、解含参数的一元二次不等式1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．六、简单分数不等式的解法1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．七、不等式恒成立问题1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【考点剖析】考点一：一元二次不等式的解法例1．(2022学年新疆喀什市普通高中高一上学期期末)解下列不等式：(1)；(2).考点二：三个二次关系的应用例2．(2020-2021学年安徽省滁州市定远中学高一上学期考试)已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是(

)A．或 B．C．或 D．考点三：含参数的一元二次不等式的解法例3．解关于x的不等式考点四：简单分数不等式的解法例4．(多选)(2022学年湖南省怀化市高一上学期期末)集合也可以写成(

)A． B．C．或 D．考点五：一元二次不等式恒成立问题例5．(2020-2021学年广东省江门市新会陈经纶中学高一上学期期中)已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是(

)A． B． C．或 D．或【真题演练】1．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)不等式的解集是(

)A． B．C．或 D．2.(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月检测)一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是(

)A． B． C． D．3.(2022学年重庆市石柱中学校高一上学期第一次月考)已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(

)A． B．C． D．4.(多选)(2022学年江苏省盐城市大丰区新丰中学高一上学期期中)下列不等式的解集为R的有(

)A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<15.(多选)(2022学年江苏省南京市第一中学高一上学期10月月考)对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是(

)A． B． C． D．6.(2022学年湖南省衡阳市田家炳实验中学高一上学期月考)已知二次函数图象如图所示.则不等式的解集为_________.7.(2020-2021学年浙江省衢州五校高一上学期11月期中联考)(1)若不等式的解集为，求的值.(2)不等式的解集为A，求集合A.8.(2022学年广东省江门市广雅中学高一上学期月考)求下列不等式的解集．(1)；(2)【过关检测】1.(2022学年安徽省亳州市利辛县第一中学高一下学期4月联考)不等式的解集为(

)A． B．或C． D．或2.(2022学年陕西省西安市长安区高一下学期月考)若不等式对一切实数均成立，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．3.(2022学年广东省化州市第三中学高一下学期3月考试)已知不等式的解集是，则的值为(

)．A．1 B． C．0 D．4.(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(

)A． B． C． D．5.(多选)(2022学年福建省晋江市第一中学高一上学期月考)已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是(

)A． B．不等式的解集为C．不等式的解集为或 D．6.(多选)(2022学年安徽省皖西地区高一下学期期中大联考)若不等式的解集为，则下列说法正确的是(

)A． B．C．关于的不等式解集为 D．关于的不等式解集为7.(2022学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期月考)若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________．8.(2022学年湖北省黄石市有色第一中学高一上学期期