新高考数学一轮复习专题命题点4三角函数与解三角形练习含答案

命题点4三角函数与解三角形预测说明三角函数与解三角形在高考中各种题型都会涉及,大部分是考查基础知识和基本方法,主要考查运算求解、逻辑推理能力.命题方向:1.三角函数的图象与性质:常以两种形式出现:一是围绕三角函数的求值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等展开,以填空题、选择题的形式为主,考查数形结合思想与推理、运算能力.二是三角函数图象的变换问题,主要针对三角函数图象的平移、伸缩、对称、翻折等变换进行研究,考查化归与转化思想.2.三角恒等变换与解三角形:(1)利用同角三角函数基本关系及三角函数公式化简、求值(角)(给角求值、给值求值、给值求角);(2)解三角形(求边、角、最值、面积、证明问题等).以三角恒等变换为工具,利用正余弦定理、向量等知识进行求解,主要考查逻辑推理、直观想象等素养.预测探究识透高频考点1.(2024浙江绍兴4月适应性考试,6)已知x∈π6,2π3,sinx−π6=35,则tanA.-247B.-724C.7242.(多选)(2024安徽皖江名校联盟模拟,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2的部分图象如图,则(BD)A.A=3B.函数fx+π3C.函数fx+π3D.函数f(x)在(0,2π)上有4个极值点3.(多选)(2024江苏南京师大附中模拟,10)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AB·AC=2,a=2,则(BCD)A.bccosA=2aB.b2+c2=8C.角A的最大值为πD.△ABC面积的最大值为34.(2024湖南长沙雅礼中学月考六,15)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=bcosC-33csin(1)求角B;(2)过B作BD⊥BA,交线段AC于D,且AD=2DC,求角C.回归教材向量法解三角形(可参考人教A版教材必修第二册P63“数学探究:用向量法研究三角形的性质”)解析(1)由正弦定理及题意得sinA=cosCsinB-33sinCsin∵A=π-(B+C),∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB-33sinCsinB∴cosBsinC=-33sinCsinB又B,C∈(0,π),∴sinC≠0,∴tanB=-3,∴B=2π3(2)∵D在AC边上,且AD=2DC,∴BD=23BC+∵BD⊥BA,∴BD·BA=0,即13BA+23BC·BA=0,BA∴c2+2accosB=0,由(1)知cosB=cos2π3=-1∴c2=ac,c=a.∴A=C,又B=23π,∴C=π悟透新型考法1.(多选)(2024浙江嘉兴二模,10)已知角α的顶点与原点重合,它的始边与x轴的非负半轴重合,终边过点A(a,b)(ab≠0,a≠b),定义:Ti(α)=a+ba−b.对于函数f(x)=Ti(x),则(A.函数f(x)的图象关于点π4B.函数f(x)在区间π4C.将函数f(x)的图象向左平移π4D.方程f(x)=12在区间[0,π]2.(2024河北唐山二模,17)(1)证明:sin3x=3sinx-4sin3x;(2)若sin10°∈1n+1,1n,n∈N*,利用(1新型考法以三角函数为载体,考查零点存在定理及导数的应用解析(1)证明:sin3x=sin(2x+x)=sin2xcosx+cos2xsinx=2sinxcosx·cosx+(1-2sin2x)sinx=2sinx(1-sin2x)+sinx-2sin3x=3sinx-4sin3x.(2)由(1)可知,sin30°=3sin10°-4sin310°=12即sin10°是方程4x3-3x+12=0的一个实根令f(x)=4x3-3x+12,则f'(x)=12x2-3=3(2x+1)(2x-1),显然0<sin10°<sin30°=12,当0<x<12f'(x)<0,所以f(x)=4x3-3x+12在0,12上单调递减,又f16=4×163>0,f15-17250<0,所以sin10°∈1即n=5.3.(2024湖南娄底一模,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=13,A=2π3,b>c,△ABC的内切圆圆I的面积为3π(1)求b、c的值及cos∠ABC;(2)若点D在AC上,且B,I,D三点共线,试讨论在BC边上是否存在点M,使得BI·BM=CI·CM?若存在,求出点M的位置,并求出△DBM的面积;若不存在,请说明理由.新型考法三角形内切圆在解三角形中的应用解析(1)由△ABC内切圆圆I的面积为3π,可得圆I的半径为r=3,则S△ABC=12×3(13+b+c)=12bcsin∴bc=26+2(b+c),∴b+c=12bc-13,由余弦定理得b2+c2-2bccos2π3得(b+c)2-bc=169,将b+c=12bc-13代入整理得(bc)2-56bc=0解得bc=56,∴b+c=15,∵b>c,∴b=8,c=7.∴由余弦定理的推论得cos∠ABC=132+7(2)记圆I与BC边切于点E,根据切线长定理可求得BE=6,CE=7,若BI·BM=CI·CM,则|BE|·|BM|=|CE|·|CM|,即6|BM|=7(13-|BM|),解得|BM|=7,∴在BC边上存在点M,使得BI·BM=CI·CM.依题意可知I为△ABC的内心,则BD平分∠ABC,记∠ABD=∠DBC=θ,由(1)知cos∠ABC=cos2θ=1113故cosθ=1+cos2θ2=sinθ=1−cos2θ2=在△ABD中,∠ADB=π-2π3-θ=π3-由正弦定理得,BDsin2π3=AB又sinπ3−θ=32cosθ-12sinθ=∴BD=7395,(提示:还可利用角平分线定理求BD)S△DBM=12×|BM|×|BD|×sinθ=12×7×739故BC边上存在点M,使得BI·BM=CI·CM,此时BM=7,S△DBM=493参透创新情境(2024湖南长沙一中适应性演练(一),16)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题:已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos2B+cos2C-cos2A=1.(1)求A;(2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点,求PA·PB+PB·PC+PC·PA.新定义理解通过对“费马点”的理解和应用,综合考查解三角形与平面向量等知识解析(1)由已知△ABC中,cos2B+cos2C-cos2A=1,即1-2sin2B+1-2sin2C-1+2sin2A=1,sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理可得a2=b2+c2,故△ABC为直角三角形,且A=π2(2)由(1)知A=π2,所以△ABC的三个角都小于1