新高考数学复习真题分类1-3不等式练习含答案

1.3不等式考点1不等式性质与解法1.(2022全国甲理,12,5分)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14,则(A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b答案A解法一:当x∈0,π2时,sinx<x<tanx,又14∈0,π2,所以tan14>14.由cb=4tan14>4×14=1,可得c>b.当x∈R时,|x|≥|sinx|,即x2≥sin2x,所以x22≥sin2x2,所以x22≥2sin2x2=1-cosx解法二:当x∈0,π2时,sinx<x①比较a与b.b=cos14=cos2×18=1−2sin218,故b-a=132②比较b与c.当x∈0,π2时,由x<tanx可知∴cos14<4sin14综上可知,c>b>a.故选A.2.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组x(xA.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.3.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤6C.6<c≤9D.c>9答案C由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,由①②,解得a=6,b=11,∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故选C.4.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=()A.52B.72C.15答案A解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的两根.由根与系数的关系知x∴x2-x1=(x1+又∵a>0,∴a=52,故选解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a),又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x1,x2),∴x1=-2a,x2=4a.∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得a=52,故选5.(2019课标Ⅰ理,4,5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5−125−12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5−12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm答案B本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思想;考查的核心素养为数学抽象、数学建模以及数学运算.由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于260.618≈42cm,可得到此人的身高应小于26+42+26+420.618≈178同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170cm,结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B.一题多解用线段代替人,如图.已知ab=cd=5−12≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为hcm,则由c<26,c所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,由a<68.07,a整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,即169.89<h<178.22(单位:cm).故选B.6.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz答案B用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.7.(2015北京文,10,5分)2-3,312,log25三个数中最大的数是答案log25解析∵2-3=18<1,1<312<2,log2∴这三个数中最大的数为log25.8.(2015江苏,7,5分)不等式2x2−x答案{x|-1<x<2}解析不等式2x2−x<4可转化为2x2−x<22,利用指数函数y=2x5.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为.(用区间表示)

答案(-4,1)解析不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.10.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为x-53<x<13,则a=.

答案-3解析依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为−1从而有5a=13,−1a=−53,11.(2013广东理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为.

答案{x|-2<x<1}解析x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.考点2基本不等式1.(2015陕西,理9,5分)设f(x)=lnx,0<a<b,若p=f(ab),q=fa+b2,r=1A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q答案C由题意得p=lnab,q=lna+b2,r=12(lna+lnb)=lnab=p,∵0<a<b,∴a+b22.(2015福建理,5,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+bA.2B.3C.4D.5答案C因为直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以1a+1b=1.所以a+b=(a+b)·1a+1b=2+ab+ba≥2+23.(2015湖南文,7,5分)若实数a,b满足1a+2b=ab,则abA.2B.2C.22D.4答案C依题意知a>0,b>0,则1a+2b≥22ab=22ab,当且仅当1a=2b,即b=2a时,“=”成立.因为1a+2b=ab,所以ab≥22ab,即ab≥4.(2014重庆文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2ab,则a+b的最小值是()A.6+23B.7+23C.6+43D.7+43答案D由log4(3a+4b)=log2ab,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=4bb−3,∴a+b=b+4bb−3=b+4(b−3)+12b−3=(b-3)+12b−35.(2014福建,9,5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是()A.80元B.120元C.160元D.240元答案C设底面矩形的长和宽分别为am、bm,则ab=4.容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40ab=160(当且仅当a=b时等号成立).故选C.6.(多选)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y满足x2+y2-xy=1,则()A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2≥1答案BC因为x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤(x+y)24,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-34(x+y)2=14(x+y)2,故(x+y)2≤4,当且仅当x=y时等号成立,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确.由xy≤x2+y22得1=x2+y2-xy≥x2+y2-x2+y22,即x2+y27.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥12C.log2a+log2b≥-2D.a答案ABD∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.ab≤a+对于A选项,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2a−122+12≥12,当且仅当a=对于B选项,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴12<22a-1<2,∴2a-b>12成立,B对于C选项,∵0<ab≤14,a>0,b>0∴log2a+log2b=log2(ab)≤log214=-2,C不正确对于D选项,∵(a+b)2=a+b+2ab=1+2ab≤1+a+b=2,∴a+8.(2019天津文,13,5分)设x>0,y>0,x+2y=4,则(x+1)(2y答案9解析本题主要考查基本不等式的运用.考查学生对基本不等式及其简单变形使用条件的掌握程度,以及学生的推理、运算能力.(x+1)(2y+1)xy=2∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2x·2y,解得0<xy≤2,当且仅当x=2y=2,即x=2且y=1时“=”成立.此时1xy≥12,∴2+5xy≥2+52=思路分析首先将分子展开,并把已知条件x+2y=4代入,则原式化简为2+5xy,注意到x与2y的和为定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最终得到原式的最小值,在此应特别注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”,注意等号是否成立9.(2018江苏,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

答案9解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即12csin60°+12asin60°=12∴a+c=ac,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+c当且仅当ca=4ac,即a=32,c=3一题多解1作DE∥CB交AB于E,∵BD为∠ABC的平分线,∴BABC=ADDC=∵DE∥CB,∴ADAC=AEAB=DEBC∴BE=aa+cBA,∴BD=aa+c∴BD2=a∴1=aa+cBA2+ca+cBC2+2·aa∴1=(ac)2(a∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,当且仅当ca=4a一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴Ac2,3∵A,D,C三点共线,∴AD∥DC,∴1−c2−3∴ac=a+c,∴1a+1∴4a+c=(4a+c)1a+1c=5+ca+4ac≥9,当且仅当ca=4a10.(2017山东,12,5分)若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为答案8解析由题设可得1a+2∴2a+b=(2a+b)1a+2b=2+ba