基于学习路径的“分数加减法”单元整体教学

【摘

要】数的运算着重于理解算理和掌握算法，数和运算之间具有密切关联。数的结构和数的运算在本质上具有一致性，引导学生感悟数的运算的一致性对发展其运算能力具有重要意义。“分数加减法”单元是小学阶段数的加减法学习的终结阶段，分数和整数、小数在数的意义和运算本质上是一致的。基于这样的思考，教师根据学生的学习起点，对“分数加减法”单元进行了整体教学设计，帮助学生整体感悟运算的一致性。【关键词】学习路径；分数加减法；算理理解；运算的一致性《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）在“核心素养的主要表现及其内涵”中指出：“运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力。能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题。”［1］数的运算着重于理解算理和掌握算法，数和运算之间具有密切关联。数的结构和数的运算在本质上具有一致性，引导学生感悟数的运算的一致性对发展其运算能力具有重要意义。“分数加减法”是北师大版教材五年级下册第一单元的教学内容。学生在三年级下册已初步认识了分数，并掌握了同分母分数的加减法，这对学习异分母分数加减法具有重要的迁移作用。本单元内容分为三个部分：首先，学习异分母分数加减法，引入转化思想，即利用直观模型将异分母分数转化为同分母分数进行计算，形成基本的分数加减法运算能力。其次，学习分数加减混合运算，将整数加法运算律推广到分数，提高分数运算的合理性和灵活性。最后，学习分数和小数的互化，这不仅为分数和小数的大小比较提供了方法，也为异分母分数加减法的问题提供了一种解决途径。更重要的是，它从运算角度揭示了小数和分数之间的联系。本单元是小学阶段数的基本加减法学习的终结阶段。学生的学习要承载哪些内容上的一致性？整数、小数和分数加减法之间存在哪些本质上的联系？下面，笔者将基于学情分析，对“分数加减法”单元展开整体教学研究。一、理解单元学习目标（一）单元教学内容概述人教版教材五年级下册“分数的加法和减法”单元的教学目标主要包括：（1）理解分数加减法的含义和算理，掌握分数加减法的计算方法，并能正确地计算出结果。（2）理解整数加法运算律对于分数加法仍然适用，并会运用这些运算律进行一些分数加法的简便运算，进一步提高运算能力。（3）能用分数加减法解决简单的实际问题，体会数学知识的应用价值。北师大版教材五年级下册“分数加减法”单元的学习目标主要包括：（1）经历探索异分母分数加减计算方法的过程，理解计算的道理，体会数学知识之间的内在联系，发展主动探索精神和科学探索态度。（2）经历探索把异分母分数加减法转化为同分母分数加减法的过程，体验直观模型与转化思想的运用，发展动手操作能力和抽象思维能力，感受数学思想方法的魅力。（3）能正确地进行异分母分数加减法的计算和分数与小数的互化，并能结合不同情境，解决分数加减法的应用问题。在解决问题的过程中，发展数学应用意识，形成独立思考的习惯。通过对比分析，两个版本的教材在以下方面存在共同点：（1）都提出了能正确计算分数加减法和借助直观模型理解算理。两个版本的教材都是通过通分，将异分母分数加减法转化为同分母分数加减法，即转化为相同计数单位进行加减法运算，教学算理的理念相通，算法相同。（2）都运用了整数加减混合运算顺序和运算律，学习分数加减混合运算，解决和分数加减法相关的实际问题。两个版本的教材在内容编排上存在以下不同点：（1）关于“同分母分数加减法”内容的删减有所不同。尽管人教版教材在三年级上册已经编排过简单的同分母分数加减法，但在五年级下册“分数的加法和减法”中仍安排了同分母分数加减的学习，旨在激活学生原有的学习经验。相较之下，北师大版教材则直接进入异分母分数加减法的学习。（2）在新知识探究过程中对学生的要求有所不同。尽管两个版本教材都注重运用数形结合渗透算理，但相较于人教版教材直接出示直观图，北师大版教材更强调让学生运用画图策略自主探索理解算理，并借助图形解释算理，总结计算方法。（3）在“分数与小数的互化”内容的编排上存在差异。北师大版教材在本单元增加了“分数和小数的互化”的学习内容，而这部分内容人教版教材在之前的“分数的意义和性质”中已提前教学。因此，本单元的教学内容主要涵盖以下三个方面：（1）理解分数加减法的算理，掌握计算方法。（2）了解整数加减法的混合运算，以及运算律在分数加减法中的适用性。（3）运用直观模型，熟练掌握并体会分数和小数互化的方法。（二）确定单元核心目标2022年版课标在“数与代数”领域第三学段的教学提示中强调：数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，让学生进一步感悟运算的一致性。鉴于“分数加减法”在打通整数、小数和分数加减法算理方面的关键作用，教师在教学过程中需着重强调三者算理上的相通性。因此，本单元的核心目标是“理解分数加减法的算理，掌握算法，发展运算能力”。（三）核心目标具体化基于上述整体分析，将核心目标具体化为：（1）理解分数加减法的算理。明晰数的结构，能用自己的方法正确计算异分母分数加减法，具备比较和理解不同方法的能力，并能够提炼出分数加减法的计算方法。（2）发展运算能力。具体表现为将整数加减法的混合运算顺序与运算律推广到分数加减法的混合运算中，熟练掌握分数加减混合运算的简便计算方法，并形成多元化的运算策略。二、确定学生起点为了了解学生的学习起点，对31名五年级学生进行了关于分数加减法算理、算法的理解程度及运算策略的前测分析。（一）学生对算理、算法的理解情况分析笔者基于对核心目标具体化的分析，设计相应的评价任务，构建分数加减法掌握水平的表现性评价框架［2］（如表1），以此展开关于“分数加减法的算理理解”的前测。表1分数加减法掌握水平的表现性评价框架[层次

内容要素

具体描述

赋分/分

水平0

无

无法对与算理理解相关的任何问题作出回应

0

水平1

认识数的结构

知道分数是相同计数单位的累加

1

水平2

表征计算过程

能用自己的方法正确计算异分母分数加减法

2

水平3

概括计算过程

能比较并看懂不同的方法

3

水平4

提炼基本算法

能用语言描述异分母分数加减法的计算方法

4

]具体前测题如下。1.正确计算并说明理由。[34]+[24]

[35]-[15]【设计意图】考查学生是否达到水平1，能否正确计算同分母分数加减法，并理解算理。2.请你任选一题，用自己喜欢的方式算出结果，并说明理由。[12]+[14]

[25]-[310]【设计意图】考查学生是否达到水平2，能否正确计算异分母分数加减法，并理解算理。同时通过访谈，了解学生能否看懂不同的方法，考查其是否到达水平3。3.请你说一说如何计算异分母分数加减法。【设计意图】考查学生是否达到水平4，能否提炼出异分母分数加减法的计算方法。根据分数加减法掌握水平的表现性评价框架，结合学生的答题情况，对其水平层次进行统计、分析和划分，完成“分数加减法的算理理解”水平前测结果的归类分析。前测结果如表2所示，课前访谈如表3所示。分析前测数据可以发现，约87.1%的学生在数的结构方面掌握较好。在学习“分数的基本性质”和“通分”之后，约67.7%的学生能够通过通分将异分母分数加减法转化为同分母分数加减法进行计算；但有1名学生选择将分数转化为小数进行计算，反映出他对分数加减法算法的认识较为模糊。对前测第2题的21名正确作答者进行访谈，发现：大部分学生仅意识到异分母分数加减法可以利用通分求出结果，但无法解释“为什么分母不同就不能直接相加减”。这些学生了解算法，但对通分背后所蕴含的数学道理不甚明了，即知道算法，却不理解算理。约58.1%的学生能说明使用通分的方法计算异分母分数加减法的算理，而41.9%的学生无法对算法作出合理的解释，说明这部分学生未能认识到异分母分数加减法需先将不同的分数单位统一为相同的分数单位后才能进行计算。因此，在分数加减法的教学中，教师应有意识地引导学生理解算理，使学生认识到“先通分”的本质是在不改变分数大小的前提下统一分数单位，进而转化为同分母分数的加减法。（二）学生对运算策略的迁移情况分析笔者基于对核心目标具体化的分析设计相应的评价任务，展开“分数加减法的运算策略迁移”的前测。具体前测题目如下。简便计算：[37]+[14]+[47]。学生解答方法与情况统计如表4所示。分析前测数据可以发现，有7名学生无法将整数、小数加减法的运算策略迁移到异分母分数加减法中，而24名学生能够将整数、小数加减法的运算律运用到异分母分数加减法的计算过程中。笔者针对这24名学生进行进一步访谈，发现大多数人仅通过模仿进行简便计算，其实并未真正理解算理。因此，教师有必要让学生认识到分数加减混合运算的顺序和运算律与整数、小数加减混合运算方法的一致性，从而强化整数、小数和分数之间的联系，助力学生构建算法模型。三、分析学习路径基于上述分析，笔者对“分数加减法”单元的学习路径进行了相应的调整与优化。首先，学生需理解异分母分数加减法的算理，即通过通分将异分母分数转化为同分母分数，再进行加减，其目的是统一分数单位，明确分数加减法本质上是相同分数单位个数的加减，从而建立起同分母分数加减法与异分母分数加减法的关联。其次，引导学生学习分数加减法的混合运算，让学生认识到整数加减法混合运算的运算顺序和运算律对分数加减法同样适用，从而在混合运算方面建立起整数加减法和分数加减法的一致性。接着，利用直观模型，让学生掌握并体会分数和小数互化的方法，进一步建立起分数和小数之间的联系。最后，从整体上阐述整数加减法、小数加减法和分数加减法的一致性，强调它们的本质都是相同计数