高中数学第三章不等式3-1-2不等式的性质同步课件新人教A版必修5

第2课时不等式的性质

主题不等式的性质1.在解不等式x-3>2时,通过移项得x>5,其理论依据是什么?提示:不等式两边同加上一个数不等号方向不变.2.已知3>2,若两边同乘以2,不等式成立吗?若两边同乘以c(c为常数),不等式成立吗?提示:同乘以2,不等式成立.两边同乘以c,不等式不一定成立,当c=0时,3c=2c;当c>0时,3c>2c;当c<0时,3c<2c.3.已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N*)成立吗?提示:成立.函数y=xn在第一象限内为增函数,又3>2,故3n>2n.4.已知3>2,,那么(n∈N*)成立吗?提示:成立.因为函数y=为增函数,故.结论:别名性质内容注意性质1对称性a>b⇔b<a可逆性质2传递性a>b,b>c⇒a>c不可逆性质3可加性a>b⇔a+c>b+c可逆a+b>c⇔a>c-b性质4可乘性a>b,c>0⇒ac>bcc的符号a>b,c<0⇒ac<bc别名性质内容注意性质5同向可加性a>b,c>d⇒a+c>b+d同向性质6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒ac>bd同向同正性质7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)同正性质8可开方性a>b>0⇒(n∈N,n≥2)【对点训练】1.设a,b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是 (

)

A. B.C.a2<b2 D.ab2<a2b【对点训练】1.设a,b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是 (

)

A. B.C.a2<b2 D.ab2<a2b【解析】选B.对于A.,不能判断正负;对于B.<0,所以正确;C,D作差后也不能判断正负.2.若a>b>0,c<d<0,则一定有 (

)【解析】选D.方法一:因为c<d<0,所以-c>-d>0,因为a>b>0,所以-ac>-bd,所以所以方法二:不妨令a=3,b=1,c=-3,d=-1,则=-1,=-1,所以A,B不正确;=-3,所以C不正确,D正确.3.已知角α,β满足0<α<<β<π,则α-2β的取值范围是________.

【解析】因为<β<π,所以-π<-β<-,所以-2π<-2β<-π,又因为0<α<,所以-2π<α-2β<-.答案:

3.已知角α,β满足0<α<<β<π,则α-2β的取值范围是________.

【解析】因为<β<π,所以-π<-β<-,所以-2π<-2β<-π,又因为0<α<,所以-2π<α-2β<-.答案:

类型一不等式性质的理解【典例1】(1)若a>b,c∈R,则下列命题中成立的是 (

)

A.ac>bc B.>1 C.ac2≥bc2 D.(2)已知a,b,c为实数,判断以下各结论的对错.①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;④若c>a>b>0,则⑤若a>b,则a>0,b<0.【解题指南】(1)利用不等式的性质或特殊值法去判断.(2)判断结论的对错,应紧扣不等式的性质,同时要注意条件和结论之间的联系.【解析】(1)选C.A选项不正确,由于c的符号不知,当c<0时,此不等式不成立;B选项不正确,当b<0<a时,此不等式不成立;C选项是正确的,因为c2≥0,故ac2≥bc2;D选项不正确,当b<0<a时,此不等式不成立;(2)①c是正、负或为零未知,因而缺少判断ac与bc的大小依据,故该结论错误;②由ac2>bc2知c≠0,所以c2>0,所以a>b,故该结论正确;③⇒a2>ab;又⇒ab>b2,所以a2>ab>b2,故该结论正确;④因为a>b>0,所以-a<-b,所以c-a<c-b,又因为c>a>b>0,所以>0,在c-a<c-b两边同乘,得>0,又a>b>0,所以.故该结论正确;⑤由已知条件知a>b⇒a-b>0,又⇒>0⇒>0,因为a-b>0,所以b-a<0,所以ab<0.又a>b,所以a>0,b<0,故该结论正确.【方法总结】利用不等式性质判断正误的两种方法(1)直接法:对于说法正确的,要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明;对于说法错误的只需举出一个反例即可.(2)特殊值法:注意取值一定要遵循三个原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算;三是所取的值要有代表性.【跟踪训练】1.若a<b<0,则下列不等式错误的是 (

)A. B.a3>b3C.a2>b2 D.>2【解析】选B.不妨令a=-2,b=-1,则B错误.2.已知a,b,x,y都是正数,且,x>y,判断的大小关系.【解析】因为a,b,x,y都是正数,且,x>y,所以,所以故+1<+1,即0<所以【补偿训练】已知x,y∈R,且x>y>0,则 (

)A.>0 B.sinx-siny>0C.<0 D.lnx+lny>0【解析】选C.因为x>y>0,选项A,取x=1,y=则=1-2=-1<0,排除A;选项B,取x=π,y=,则sinx-siny=sinπ-sin=-1<0,排除B;选项D,取x=2,y=则lnx+lny=ln(xy)=ln1=0,排除D.类型二不等式性质的应用【典例2】(1)若1≤a≤5,-1≤b≤2,则a-b的取值范围为________.

(2)已知下列三个不等式:①ab>0;②③bc>ad,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,可组成几个正确命题?【解题指南】(1)利用不等式的性质“同向可加性”解决.(2)利用不等式的性质分别判断①③⇒②、①②⇒③及②③⇒①是否成立.【解析】(1)因为-1≤b≤2,所以-2≤-b≤1,又1≤a≤5,所以-1≤a-b≤6.答案:[-1,6](2)(Ⅰ)对②变形得>0,由ab>0,bc>ad得②成立,即①③⇒②.(Ⅱ)若ab>0,>0,则bc>ad,即①②⇒③.(Ⅲ)若bc>ad,>0,则ab>0,即②③⇒①.综上所述,可组成3个正确命题.【方法总结】1.利用性质证明不等式的注意点利用不等式的性质证明不等式,要注意应严格利用题中条件与性质定理、推论进行证明,不能随便引用一些简易结论作为论证依据,否则会造成论证不严谨.2.求含有字母的数(或式)的取值范围时应注意的两点(1)要注意题设中的条件.(2)要正确使用不等式的性质,尤其是两个同方向的不等式可加不可减,可乘不可除.【跟踪训练】(1)已知-6<a<8,2<b<3,则的取值范围是________.

(2)已知a>b>0,c>0,求证:【解题指南】(1)注意对a分0≤a<8和-6<a<0讨论.(2)根据不等式的可乘性证明.【解析】(1)当0≤a<8时,由2<b<3,所以所以0≤<4;当-6<a<0时,0<-a<6,又所以0<-<3,-3<<0.综上,得-3<<4.答案:(-3,4)(2)因为a>b>0,所以ab>0,>0,于是a×>b×,即又c>0,得即【补偿训练】1.已知-≤α<β≤,则的取值范围是________.

【解析】因为-≤α<β≤,所以所以所以又因为α<β,所以<0,所以<0.答案:

2.已知a>b,求证ab>0.【解析】因为所以<0,所以<0,又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏2.已知a>b,求证ab>0.【解析】因为所以<0,所以<0,又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.【解析】因为-≤α<β≤,所以所以所以3.已知3>2,32>22,那么3n>2n(n∈N*)成立吗?提示:成立.函数y=xn在第一象限内为增函数,又3>2,故3n>2n.结论:别名性质内容注意性质1对称性a>b⇔b<a可逆性质2传递性a>b,b>c⇒a>