热点10图形相似(原卷版+解析)

热点10图形相似安徽中考数学中图形的相似常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，选择题时常与函数结合，难度中等，简答题难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。考点一：相似与函数的综合【例1】．(2023·安徽宣城·统考二模）如图，P是矩形ABCD的一边BA延长线上一点，M是AD上一动点，连接PM与矩形ABCD的边交于点N，连接BM，BN，若AB＝6，AD＝2AP＝4，△BMN的面积为S，设DM＝x，则下列图象能反映S与x之间函数关系的是（

）A． B． C． D．【例2】．(2023·安徽芜湖）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则kA．3 B．2 C．52 考点二：与几何的综合【例3】．(2023·安徽滁州·一模）如图，在△ABC和△AED中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC、AE＝AD，连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F、G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论：①DE＝GE；②CD∥AB；③∠ADC＝∠AEB；④BF＝CF•AC．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【例4】．(2023·安徽·二模）如图，点E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF，BE相交于G，则AGGFA． B．35 C．22 D．【例5】．(2023·安徽合肥·统考二模）如图，矩形纸片ABCD中，，．点E、G分别在AD，DC上，将△ABE、△EDG分别沿、EG翻折，点A的对称点为点F，点D的对称点为点H，当E、F、H、C四点在同一直线上时，连接DH，则线段DH长为（

）A．4510 B．4310 C．【例6】．(2023·安徽合肥）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，点E在线段AC上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时．（1）EG：AC______；（2）AF______．【例7】．（2023·安徽）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P为y轴上一点，且满足条件PQ⊥AP，∠QAP＝30°．（1）当OP＝时，OQ＝_______________；（2）若点P在y轴上运动，则OQ的最小值为_____________________．【例8】．(2023·安徽合肥·统考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线分别交CD，AC于点F，E．(1)求证：△CBF∼△ABE；(2)若AB=10，BC=6，求△CBF的面积，(3)若，请直接写出CEAE的值为______．【例9】．(2023·安徽·三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC延长线上，，连接、、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．(1)求证：∠BEF=45°；(2)若平分∠ABD，求证：BE2(3)若，则EN:NM:MF=__________（直接写答案）．【例10】．(2023·安徽安庆）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，点E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．(1)求证：△ADE≌△FCD；(2)如图（2），连接DB交AE于点G．

①若AG＝DC，求证：BC平分∠DBF；

②若DB∥CF，求CFBD考点三：相似与动点综合【例11】．(2023秋·安徽池州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？【例12】．(2023秋·安徽安庆）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA=8，OC=6，连接OB，点D为OB的中点，点E从点A出发以1个单位长度运动到点B停止，设运动时间为t0<t<6，连接DE，作DF⊥DE交OA于F，连接EF(1)如图一，当四边形DFAE为矩形时，求t的值．(2)如图二，试证明在运动过程中，△DFE∽△ABO．(3)当t为何值时，△AEF面积最大？最大值为多少？考点四：相似压轴【例13】．(2023秋·安徽滁州）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC．(1)若P在线段CB上，求证：；(2)设BP=x、CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)如图2，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ=90°，当CQ=1时，直接写出BP的长．【例14】．(2023·安徽淮南·统考一模）如图1，在△ABC中，BM是中线，AH是高，HD⊥BM于D，BH=CM．(1)求证：D为BM的中点；(2)如图2，连接AD并延长交BC于E，若AB=BM，EA=EC．①求证：△BDE∽△ABE；②求的值．【例15】．(2023·安徽合肥·统考三模）如图1，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，连接CE．过点E作PE⊥CE分别交AC、AD于点F，点P、过点B作BH⊥AC，垂足为点H．分别交CE，CD于点G，点Q，∠BAC=α．(1)求证：△AFP∽△QGC；(2)如图2，若tanα=1且点E为AB中点，求证：EF=EG；(3)如图3，若EF=EG，tanα=45，求的值．1．(2023秋·安徽安庆）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则BCACA．35 B．58 C．532．(2023秋·安徽蚌埠）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．ADAB=AE3．（2023秋·安徽六安）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④4．(2023秋·安徽合肥）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是（

）A．∠CAB=∠D B．AB：AC=AD：DE C．AD//BC D．BC：AC=AD：AE5．(2023秋·安徽安庆）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④6．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在Rt△OAB中，OC平分∠BOA交AB于点C，BD平分∠OBA交OA于点D，交OC于点E，反比例函数y=kx，经过点E，若OB=2，CEOE=1A． B．89 C．43 D．7．(2023秋·安徽蚌埠）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM，下列结论中不正确的是（

）A．△AMN是等边三角形 B．MN的最小值是2C．当MN最小时，S△CMN=18S菱形ABCD8．(2023秋·安徽蚌埠）黄金分割在我们生活中应用广泛，如主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体．已知线段AB长为6，C是AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，则AC的值为______．9．(2023秋·安徽合肥）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____．10．(2023秋·安徽合肥）如图，在△ABC中，点D是AB边上的点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，∠ACD=∠BED=45°，CD=6（1）∠A+∠EBD=__________；

（2）AB=_________cm11．（2023秋·安徽合肥）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE=CF，CE交于M．（1）若E为AB中点，则＝_____；（2）若∠CMF=60°，则＝_____．12．(2023秋·安徽六安）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设CEEB（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．13．(2023秋·安徽亳州）如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC的三个顶点的坐标分别为A−4,3（1）将ΔABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到ΔA1B1C（2）以点A为位似中心将ΔABC放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．14．(2023秋·安徽蚌埠）如图，将矩形纸片ABCDAD>DC沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E(1)求证：△EFB∼△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求的长；15．(2023秋·安徽合肥）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为(1)请用含t的代数式表示：BP=______，BQ=______；(2)求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？16．(2023·安徽·模拟预测）如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A，D重合），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．(1)当E为AB的中点，且AP﹥AE时，求证：PE=PC；(2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．17．(2023秋·安徽合肥）如图①，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边AB上，点F在BD的延长线上，BE＝DF，EF与AD相交于点G，连接CE，CF．(1)求证：CE＝CF；(2)求证：△DFG∽△DCF；(3)如图②，连接CG，若AB＝4，点E是AB的中点，求CG长．18．(2023·安徽·统考三模）已知：在△EFG中，∠EFG=90°，EF=FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．(1)如图1，当点G在CD上时，求证：△AEF≌△DFG；(2)如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：EN=AE+DN；(3)如图3，若AE=AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：热点10图形相似安徽中考数学中图形的相似常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，选择题时常与函数结合，难度中等，简答题难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。考点一：相似与函数的综合【例1】．(2023·安徽宣城·统考二模）如图，P是矩形ABCD的一边BA延长线上一点，M是AD上一动点，连接PM与矩形ABCD的边交于点N，连接BM，BN，若AB＝6，AD＝2AP＝4，△BMN的面积为S，设DM＝x，则下列图象能反映S与x之间函数关系的是（

）A． B． C． D．答案:B分析：当点N在CD边上时，即0≤x≤3时，证明△APM∽△DNM，得到DNAP=DMAM，即DN2=x4−x，求出DN，根据面积和差关系求出S；当点N在BC边上时，即3<x≤4时，证明△APM∽△【解答】解：当点N在CD边上时，即0≤x≤3时，∵AB∥DC，∴△APM∽△DNM∴DNAP=DM解得DN=2x∴S==4×6−12×6当点N在BC边上时，即3<x≤4时，∵AD∥BC，∴△APM∽△BPN，∴AMBN∴BN=4AM=4(4-x)=16-4x，∴S===−12x+48，∴当0≤x≤3，3<x≤4时，S与x的函数关系均为一次函数关系，故选：B．【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，一次函数解析式，一次函数图象，正确掌握相似三角形的判定及性质求出对应的线段计算面积是解题的关键．【例2】．(2023·安徽芜湖）如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝15OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则kA．3 B．2 C．52 答案:A分析：作AE⊥BC于E，连接OA，根据等腰三角形的性质以及OC=15OB得出OC=12CE，根据相似三角形的性质求得S△CEA=1，进而根据题意求得S△AOE=32，根据反比例函数系数k【解答】解：作AE⊥BC于E，连接OA，∵AB=AC，∴CE=BE，∵OC=15OB∴OC=14BC=14×2CE=12∵AE∥OD，∴△COD∽△CEA，∴S△CEA∵△BCD的面积等于1，OC=15OB∴S△COD=14S△BCD=1∴S△CEA=4×14∵OC=12CE∴S△AOC=12S△CEA=1∴S△AOE=12+1=3∵S△AOE=12k（k∴k=3，故选A．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质与判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．考点二：与几何的综合【例3】．(2023·安徽滁州·一模）如图，在△ABC和△AED中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC、AE＝AD，连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F、G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论：①DE＝GE；②CD∥AB；③∠ADC＝∠AEB；④BF＝CF•AC．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案:C分析：利用SAS证明△DAC≌△EAB可得∠ADC＝∠AEB，可判断③正确；由全等三角形的性质，三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠ACB的度数，利用角平分线的定义求得∠ACD＝∠ABE＝36°，即可得∠ACD＝∠CAB，进而可证明CD∥AB，即可判断②正确；根据已知条件可求出∠BCF=∠BFC=72°，从而可以得出BC=BF，证明△ABC∽△BFC，即可证明BF2=CF⋅AC，可判断④正确，无法证明DE【解答】∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB−∠CAE＝∠DAE−∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，∵在△DAC和△EAB中AD＝AE∠DAC＝∠EAB∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，AC=AB，∠ACD＝∠ABE，故③正确；∴∠ACB＝∠ABC，∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°−36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，∴∠ACD＝∠ABE＝36°，∵∠DCA＝∠CAB＝36°，∴CD∥AB，故②正确；∵∠BFC=180°−∠ACB−∠CBE=180°−72°−36°=72°，∴∠BFC=∠BCF=72°，∴BF=BC，∵∠BAC=∠CBF=36°，，∴△ACB∽△BCF，∴ACBC∴BC即BF2=CF根据题目中的已知条件无法证明DE=GE，故①错误；综上分析可知，正确的个数为3个，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质，证明△DAC≌△EAB是解题的关键．【例4】．(2023·安徽·二模）如图，点E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF，BE相交于G，则AGGFA． B．35 C．22 D．答案:A分析：设正方形的边长为2a，则BF=BE=AE=a，AF=5a然后说明△ABF≌△DAE得到∠BFA=∠AED,进一步证明△AEG∽△AFB，然后求得AG和GF的长，最后求AG【解答】解：设正方形的边长为2a，则BF=BE=AE=a，AF=5∵正方形ABCD，∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB在△ABF和△DAE中AD=AB∠ABC=∠DAE∴△ABF≌△DAE（SAS）∴∠BFA=∠AED在△AEG和△AFB中，∠AED=∠AFB,∠BAF=∠BAF,∴△AEG∽△AFB∴AEAF=AGAB,即a5∴GF=AF-AG=∴AGGF故选A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判断与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．【例5】．(2023·安徽合肥·统考二模）如图，矩形纸片ABCD中，，．点E、G分别在AD，DC上，将△ABE、△EDG分别沿、EG翻折，点A的对称点为点F，点D的对称点为点H，当E、F、H、C四点在同一直线上时，连接DH，则线段DH长为（

）A．4510 B．4310 C．答案:A分析：由翻折可以得到：AB=BF=3，，求得FC=4，证明出ΔBFC≌ΔCDE，过点H作HM⊥DC于点M，ΔHMC∽ΔEDC，进而进行求解．【解答】由翻折可知：AB=BF=3，，在中：BF2∴FC=4，如图所示：，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵∠BFC=∠ADC，BF=DC，∴ΔBFC≌ΔCDE，∴FC=ED=4，EC=BC=5，∴EH=DE=4，HC=EC−EH=1，过点H作HM⊥DC于点M，如图所示：则HM//AD，∴ΔHMC∽ΔEDC，∴HCEC解得：MC=35，则DM=12在RtΔDHM中，DH=D故选：A．【点睛】本题主要考查了矩形的相关性质，全等三角形，正确读懂题意是解题的关键．【例6】．(2023·安徽合肥）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，AC=6，点E在线段AC上，且AE=1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时．（1）EG：AC______；（2）AF______．答案:

12

分析：过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=AB=22,∠EFG=∠BAC=90°,EF=AE=1，再证明△FME∼△GFE，得【解答】过点F作FM⊥AC于点M，∵四边形ABCD沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，点G恰好落在线段AC上，∴FG=AB=22∴EG=1∵AC=6，∴EG:AC=3∵∠FEM=∠GEF,∠FME=∠GFE=90°，∴△FME∼△GFE，

∴EM∴EM=1∴AM=AE+EM=4∴AF=A故答案为：12，2【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．【例7】．（2023·安徽）如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P为y轴上一点，且满足条件PQ⊥AP，∠QAP＝30°．（1）当OP＝时，OQ＝_______________；（2）若点P在y轴上运动，则OQ的最小值为_____________________．答案:

2339分析：（1）如图，过Q作QH⊥y轴于Q,证明△HQP∽△OPA,可得HQOP=HP（2）设P0,a,过Q作QH⊥y轴于Q,同理：△HQP∽△OPA,HQOP【解答】解：（1）如图，过Q作QH⊥y轴于Q,则∠QHP=∠POA=90°,∠HPQ+∠HQP=90°,∵AP⊥PQ,∴∠HPQ+∠OPA=90°,∴∠HQP=∠OPA,∴△HQP∽△OPA,∴HQ∵∠PAQ=30°,AP⊥PQ,∴tan∵OP=3∴HQ∴HP=4∴OQ=H故答案为：239（2）设P0,a,过Q作QH⊥y轴于同理：△HQP∽△OPA,∴HQ∴HQ=3∴OQ=4当a=−8332×4∴OQ的最小值为：43故答案为：2【点睛】本题考查的是坐标与图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建相似三角形与二次函数的模型是解本题的关键.【例8】．(2023·安徽合肥·统考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线分别交CD，AC于点F，E．(1)求证：△CBF∼△ABE；(2)若AB=10，BC=6，求△CBF的面积，(3)若，请直接写出CEAE的值为______．答案:(1)证明见解析；(2)275；(3)分析：（1）利用同角的余角相等可得∠BCF=∠A，再由角平分线的定义可得∠CBF=∠ABE，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据HL定理可证△BEC≅△BEG，推出BG=BC=6，设CE=EG=x，则AE=8−x，在Rt△AEG中，利用勾股定理（3）由sinA=EGAE=BCAB【解答】（1）证明：，CD为AB边上的高，∴∠BCF+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，，是∠ABC的平分线，∴∠CBF=∠ABE，在△CBF和△ABE中，∠BCF=∠A∠CBF=∠ABE∴△CBF∼△ABE．（2）解：在Rt△ABC中，如图，过点E作于G，是∠ABC的平分线，∠ACB=90°，∴CE=GE，在Rt△BEC和Rt△∴△BEC≅△∴BG=BC=6，∴AG=10−6=4，设CE=EG=x，则AE=8−x，在Rt△AEG中，AE解得x=3，∴S∵△CBF∼△ABE，∴S△CBFS△ABE解得S△CBF即△CBF的面积为275（3）解：如上图，在Rt△AEG和Rt△∴CEAE在Rt△ACD和Rt△∴AC∴AB2−B解得BCAB=5∴CEAE故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、解直角三角形的应用、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．【例9】．(2023·安徽·三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上的一点（不与A、D重合），点F在边DC延长线上，，连接、、EF，EF交BC于点M，交对角线BD于N．(1)求证：∠BEF=45°；(2)若平分∠ABD，求证：BE2(3)若，则EN:NM:MF=__________（直接写答案）．答案:(1)见解析；(2)见解析；(3)21∶29∶20分析：（1）通过证明得到△BEF是等腰直角三角形，即可求证；（2）由（1）得∠BFE=45°,BE=BF，通过证明△EBD∽△MBF得到EBMB（3）设AE=CF=2x，则DE=3x，BC=CD=AD=5x，利用平行线分线段成比例的性质求解即可．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°=∠BCF，又∵AE=CF，∴（SAS），∴BE=BF,∠ABE=∠CBF，∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=∠EBC+∠ABE=90°∴，∴△BEF是等腰直角三角形，则∠BEF=45°；(2)证明：由（1）可知∠BFE=45°,BE=BF，由正方形的性质可知∠EDB=∠ABD=45°,∠ABC=90°,BD=2∵平分∠ABD，∴∠ABE=∠EBD,∠CBF=90°−∠EBC=∠ABE=∠EBD．在△EBD和△MBF中：∠EDB=∠BFE,∠EBD=∠CBF，∴△EBD∽△MBF，∴EBMB=BD∴BE(3)解：∵，设AE=CF=2x，则DE=3x，BC=CD=AD=5x，DF=7x，由题意可得DE∥BC，∴CFDF=CMDE=∴CM=67x∴ENMN设EN=21y，则MN=29y，ME=50y，∵FMEM=25∴EN:NM:MF=21:29:20．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．【例10】．(2023·安徽安庆）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DCB，点E为BC上一点，且DE∥AB，过点B作BF∥AD交DE的延长线于点F，连接CF，CF＝BF．(1)求证：△ADE≌△FCD；(2)如图（2），连接DB交AE于点G．

①若AG＝DC，求证：BC平分∠DBF；

②若DB∥CF，求CFBD答案:(1)见解析(2)①见解析；②分析：（1）利用平行线的性质证得∠DEC＝∠ABC，继而由等量代换证得∠DEC＝∠DCE，继而推导出DE＝DC，根据平行四边形判定证得四边形ABFD为平行四边形，继而可得AD＝CF，∠ADE＝∠DCF，进而即可求证结论；（2）①连接CG，根据全等三角形的性质可得∠AED＝∠CDF，AE＝DF，继而可证四边形AGCD为平行四边形；继而得GE＝EF，根据“SSS”证得△CGE≌△CFE，根据全等三角形的性质可得∠BCG＝∠BCF，利用“SAS”证得△BCG≌△BCF，继而可得∠GBC＝∠FBC，即可求证结论；②由题意易证△ABE~△DCE；且△ABE和△DCE均是等于等腰三角形，进而得ABCD=AEDE=BECE，设CD=DE=AG=a，ABCD=AEDE=BECE=x进而求得x的值即可求解．【解答】（1）∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC，∵∠ABC＝∠DCB，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC，∵DE∥AB，BF∥AD，∴四边形ABFD为平行四边形，∴∠ABF＝∠ADE，BF＝AD，∵CF＝BF，∴AD＝CF，∵∠ABC＋∠FBC＝∠DCB＋∠FCB，即∠ABF＝∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（SAS）；（2）①如图所示，连接CG，∵△ADE≌△FCD，∴∠AED＝∠CDF，AE＝DF，∴AE//CD，∵AG＝DC，∴四边形AGCD为平行四边形；∴AD＝CG＝CF，∵AG＝CD＝DE，∴AE-AG=DF-DE，即GE＝EF，∵CE＝CE，∴△CGE≌△CFE（SSS），∴∠BCG＝∠BCF，∵BC＝BC，∴△BCG≌△BCF（SAS），∴∠GBC＝∠FBC，∴BC平分∠DBF；②∵DE∥AB，AE//CD，∴∠BAE＝∠DEA＝∠CDE，∵∠ABC＝∠DCB，∴∠AEB＝∠DEC，∴△ABE~△DCE；且△ABE和△DCE均是等于等腰三角形，∴AB设CD=DE=AG=a，ABCD∴AE=ax，∵DB∥CF，∴∠DBE＝∠FCE，∠BDE＝∠CFA，又∠BED＝∠CEF，∴△BDE~△CFE；∴DEEF∵DE=a，∴EF=又GE=EF，∴AE=AG+EF=a+a则ax=a+ax，整理得：解得：x=1+52∴CFBD=【点睛】本题考查等腰三角形的判定及其性质，全等三角形的判定及其性质，相似三角形的判定及其性质，平行四边形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及其性质，相似三角形的判定及其性质，正确作辅助线．考点三：相似与动点综合【例11】．(2023秋·安徽池州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为(1)求出y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，△BDE的面积有最大值，最大值为多少？答案:(1)，(2)当时，S有最大值6分析：（1）先证明△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应线段成比例列式计算即可；（2）先找出△BDE中BD边上的高，再根据三角形面积公式列出函数解析式，最后根据二次函数的图像和性质作答即可．【解答】（1）解：由题可知，BD=2x，，∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴∴y=−32x+6（2）∵∠A=90°∴AE是△BDE中BD边上的高，

∴S∴S=1∴当时，S有最大值，且最大值为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，熟练掌握相似三角形对应线段成比例和求二次函数的最值是解题的关键．【例12】．(2023秋·安徽安庆）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA=8，OC=6，连接OB，点D为OB的中点，点E从点A出发以1个单位长度运动到点B停止，设运动时间为t0<t<6，连接DE，作DF⊥DE交OA于F，连接EF(1)如图一，当四边形DFAE为矩形时，求t的值．(2)如图二，试证明在运动过程中，△DFE∽△ABO．(3)当t为何值时，△AEF面积最大？最大值为多少？答案:(1)t=3(2)见解析(3)当t=256时，△AEF分析：（1）先判断出DE∥OA，进而判断出点E是AB的中点，即可得出结论；（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，证明四边形DMAN是矩形，得出∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，由平行线得出比例式BDDO=BNNA,DOBD（3）由（2）得出△DMF∽△DNE，进而得出再分两种情况得出，最后用面积公式计算，得出函数关系式，即可得出结论．【解答】（1）解：(1)∵四边形OABC是矩形，∴AB=OC=6，∠OAB=90°，∵四边形DFAE是矩形，∴∠BED=90°=∠OAB，∴DE∥OA，∴DBDO∴AE=1由运动知，AE=t，∴t=3；（2）如图2所示：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴BDDO∵点D为OB的中点，∴M、N分别是OA、AB的中点，∴DM=1∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴DFDE∵OA=8，AB=6，∴，∴，∵∠FDE=∠BAO=90°，∴△DFE∽△ABO；（3）如图2，由(2)知，△DMF∽△DNE，∴由运动知，AE=t，当0<t≤3时，NE=3−t，∴，∴，∴AF=AM+MF=，当3<t<6时，NE=t−3，∴，∴AF=AM−MF=4−3∴，当t=256时，△AEF面积最大，最大值为【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，分两种情况得出是解本题的关键．考点四：相似压轴【例13】．(2023秋·安徽滁州）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ=∠ABC．(1)若P在线段CB上，求证：；(2)设BP=x、CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)如图2，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与C，B重合），且保持∠APQ=90°，当CQ=1时，直接写出BP的长．答案:(1)见解析(2)y=−15(3)2或22−2分析：(1)根据∠APQ+∠CPQ=∠ABC+∠BAP，证明∠CPQ=∠BAP即可．(2)根据∆ABP∼∆PCQ，结合AB=AC=5，BC=6，分P在线段CB和CB的延长线上两种情况计算．(3)分点P在线段CB、CB的延长线上，BC的延长线上；点Q在直线BC的上方和下方计算即可．【解答】（1）如图，∵∠APQ+∠CPQ=∠ABC+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠CPQ=∠BAP，∵AB=AC=5，∴∠B=∠C，∴∆ABP∼∆PCQ．（2）当点P在线段CB上时，∵∆ABP∼∆PCQ，AB=AC=5，BC=6，BP=x、CQ=y，∴ABPC=BP∴56−x解得y=−1当点P在CB的延长线上时，如图2，∵∆ABP∼∆PCQ，AB=AC=5，BC=6，BP=x、CQ=y，∴ABPC=BP∴56+x解得y=1（3）如图3，设BP=x，∵正方形ABCD的边长为4，∠APQ=90°，CQ=1，∴∠ABP=∠PCQ=90°,∠BAP=90°−∠BPA=∠CPQ，AB=BC=CD=4，∴∆ABP∼∆PCQ．∴ABPC∴44−x解得；如图4，设BP=x，∵正方形ABCD的边长为4，∠APQ=90°，CQ=1，∴∠ABP=∠PCQ=90°,∠BAP=90°−∠BPA=∠CPQ，AB=BC=CD=4，∴∆ABP∼∆PCQ．∴ABPC∴4x−4解得x=2+22如图5，设BP=x，∵正方形ABCD的边长为4，∠APQ=90°，CQ=1，∴∠ABP=∠PCQ=90°,∠BAP=90°−∠BPA=∠CPQ，AB=BC=CD=4，∴∆ABP∼∆PCQ．∴ABPC∴4x+4解得x=22综上所述，BP的长为2或22−2或【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，列二次函数关系式，分类讨论是解题的关键．【例14】．(2023·安徽淮南·统考一模）如图1，在△ABC中，BM是中线，AH是高，HD⊥BM于D，BH=CM．(1)求证：D为BM的中点；(2)如图2，连接AD并延长交BC于E，若AB=BM，EA=EC．①求证：△BDE∽△ABE；②求的值．答案:(1)见解析(2)①见解析；②BE分析：（1）连接MH，由BM是中线，AH是高，可得MH=12AC=MC，由BH=CM，可得BH=MH，由HD⊥BM，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出D（2）①连接MH，由AB=BM，得出∠BAM=∠BMA，由EA=EC，得出∠EAC=∠C，由∠BAM=∠BAE+∠EAC，∠BMA=∠MBC+∠C，得出∠BAE=∠MBC，再由公共角，即可证明△BDE∽△ABE；②由BA=BM，D是BM的中点，得出BDAB=BDBM=12，由△BDE∽△ABE【解答】（1）证明：如图1，连接MH，∵BM是中线，AH是高，∴MH是Rt△AHC斜边上的中线，∴MH=1∵BH=CM，∴BH=MH，∵HD⊥BM，∴D为BM的中点；（2）①证明：如图2，连接MH，∵AB=BM，∴∠BAM=∠BMA，∵EA=EC，∴∠EAC=∠C，∵∠BAM=∠BAE+∠EAC，∠BMA=∠MBC+∠C，∴∠BAE+∠EAC=∠MBC+∠C，∴∠BAE=∠MBC，∵∠BED=∠AEB，∴△BDE∽△ABE；②解：∵BA=BM，D是BM的中点，∴BDAB∵△BDE∽△ABE，∴BEAE∵AE=EC，∴BEEC【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等腰三角形“三线合一”的性质及相似三角形的判定方法是解题的关键．【例15】．(2023·安徽合肥·统考三模）如图1，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，连接CE．过点E作PE⊥CE分别交AC、AD于点F，点P、过点B作BH⊥AC，垂足为点H．分别交CE，CD于点G，点Q，∠BAC=α．(1)求证：△AFP∽△QGC；(2)如图2，若tanα=1且点E为AB中点，求证：EF=EG；(3)如图3，若EF=EG，tanα=45，求的值．答案:(1)见解析(2)见解析(3)AEBE=5分析：（1）利用等角的余角相等，得到∠PAF=∠GQC和∠QGC=∠AFP，即可证明△AFP∽△QGC；（2）证得四边形ABCD是正方形，再设法证明△AFE≌△HGE，即可得证；（3）设BC=4a，则AB=5a，证明∠BAC=∠CBQ，利用三角函数关系求得CQ=165a，证明△EGB∽△CGQ，推出EGCG=BECQ，证明△EFA∽△CGB，推出EF【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC=∠DCA，∠EAP=90°，∵BH⊥AC，∴∠CHQ=90°，∴∠BAC+∠PAF=90°，∠DCA+∠GQC=90°，∴∠PAF=∠GQC；∵PE⊥CE，∴∠CHG=∠CEF=90°，∴∠QGC+∠GCH=90°，∠EFC+∠GCH=90°，又∵∠EFC=∠AFP，∴∠QGC=∠AFP，∴△AFP∽△QGC；(2)解：连接EH，∵tanα=1，∴AB=BC，∴四边形ABCD是正方形，∵点E为AB中点，∴AE=EB=EH，∴∠EAH=∠EHA=∠EHG=45°，∵∠CHG=∠CEF=90°，∴∠EFH+∠EGH=180°，又∠AFE+∠EGH=90°，∴∠AFE=∠EGH，∴△AFE≌△HGE，∴EF=EG；(3)解：∵∠ABC=∠AHB=90°，∴∠BAC=∠CBQ，∵tanα=45，即BC∴设BC=4a，则AB=5a，∵tan∠CBQ=tan∠BAC=tanα=45∴CQBC∴CQ=165a∵四边形ABCD是矩形，∴BE∥CQ，∴△EGB∽△CGQ，∴EGCG∵∠BAC=∠CBQ，即∠EAF=∠CBG，同（2）得∠EFA=∠CGB，∴△EFA∽△CGB，∴EFGC∵EF=EG，∴BECQ=AEBC，即AEBE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数，正方形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．1．(2023秋·安徽安庆）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则BCACA．35 B．58 C．53答案:B分析：根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴EFDF∵DE＝3，DF＝8，∴，即BCAC＝5故选：B．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．2．(2023秋·安徽蚌埠）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（）A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C．ADAB=AE答案:D分析：利用相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、由∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；B、由∠A＝∠A，∠C＝∠AED，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C、由∠A＝∠A，ADAB=AEAC可以推出，△D、由ADAB=DEBC，推不出，△故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．3．（2023秋·安徽六安）如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（

）A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④答案:A分析：两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则①△ABC的各边长分别为1、2、5．②△ACD的各边长分别为1、5、2

2；③△ADE的各边长分别为2、2

2、2

5；④△AEF的各边长分别为22、25、6；⑤△AGH的各边长分别为2、2、10；∴△ABC∽△AGH，△ADE∽△AGH，故选A．【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．4．(2023秋·安徽合肥）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍然不能判定△ABC与△DAE相似的是（

）A．∠CAB=∠D B．AB：AC=AD：DE C．AD//BC D．BC：AC=AD：AE答案:D分析：根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【解答】A．由∠C=∠AED=90°，∠CAB=∠D，可知△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；B．设ABAC=ADDE=k，则AB=kAC，AD=∴ACBC∵∠C=∠AED=90°，∴△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；C．由BC//AD，可得∠B=∠DAE，由∠C=∠AED=90°，可得△ACB∽△DEA，本选项不符合题意；D．由BCAC故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．5．(2023秋·安徽安庆）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=6DF；④OC=22OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④答案:B分析：由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=2a，然后利用勾股定理再求得DF=FO=a【解答】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE，∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=12(∠DGO+∠AGO同理∠GEC=90°，∴∠FGE+∠GEC=180°∴GF∥EC；故①正确；根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO，∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点，同理可得点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b，∴GC=3a，在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2，即(3a)2=a2+(2b)2，∴b=2a∴AB=22a=2AD，故②设DF=FO=x，则FC=2b-x，在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2，即(2b-x)2=x2+(2a)2，∴x=b2−a2b=a2，即GE=a，∴GEDF∴GE=6DF；故③正确；∴OCOF∴OC=22OF；故④正确；∵∠FCO与∠GCE不一定相等，∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确；综上，正确的有①③④，故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．6．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，在Rt△OAB中，OC平分∠BOA交AB于点C，BD平分∠OBA交OA于点D，交OC于点E，反比例函数y=kx，经过点E，若OB=2，CEOE=1A． B．89 C．43 D．答案:B分析：过点E作EF⊥OA于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥OB于点N．易证明四边形是正方形，得到△CEM∽△COB，由CEOE=12，进一步求得EM=23，则EF=EN=BN=【解答】解：如图，过点E作EF⊥OA于点F，EM⊥AB于点M，EN⊥OB于点N．∵OC平分∠BOA，BD平分∠OBA，∴EM=EN=EF，∵∠OBA=∠ENB=∠EMB=90°，∴四边形是正方形，∴EM∥OB，∴△CEM∽△COB，∴EMOB∵CEOE∴EMOB∴EM=2∴EF=EN=BN=2∴ON=OF=OB−BN=4∴S△OEF∴k=8故选：B【点睛】此题考查了反比例函数、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解题的关键．7．(2023秋·安徽蚌埠）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN，OM，下列结论中不正确的是（

）A．△AMN是等边三角形 B．MN的最小值是2C．当MN最小时，S△CMN=18S菱形ABCD答案:B分析：根据菱形的性质，证明△ADN≌△ACM，得到AM=AN，进而得到△AMN是等边三角形，利用等边三角形的性质和垂线段最短，得到当AM⊥BC时，MN最小，此时：AN⊥CD，得到MN是△BCD的中位线，即可得到S△CMN=18S菱形ABCD，当OM⊥BC时，【解答】解：A、∵菱形ABCD的边长为2，，∴AB=BC=CD=DA=2，∠ADC=60°,∠BCD=∠BAD=120°，∴∠BAC=∠CAD=∠BCA=∠DCA=60°，∴△ABC,△ADC为等边三角形，∴AC=AD，∵∠MAN=60°，∴∠MAC+∠CAN=∠NAD+∠CAN=60°，∴∠MAC=∠NAD，又∵∠ADN=∠ACM=60°，∴△ADN≌△ACMASA∴AM=AN，∴△AMN是等边三角形；选项正确，不符合题意；B、∵△AMN是等边三角形，∴MN=AM=AN，∵垂线段最短，∴当AM⊥BC时，AM最小，即：MN最小，∵△ABC为等边三角形，∴BM=CM=1∴AM=A∴MN的最小值为：，选项错误，符合题意；C、当MN最小时，M为BC的中点，同理N为CD的中点，∴MN∥BD,MN=1∴△CMN∽△CBD，∴S△CMN∴S△CMN∵S△CBD∴S△CMND、当OM⊥BC时，∵菱形ABCD，∴BO⊥CO，∴∠BOC=∠OMC=90°，∴∠OCM+∠COM=∠OCM+∠CBO=90°，∴∠COM=∠CBO，∴△OMC∽△BOC，∴OCBC∵△ADN≌△ACMASA∴，∵BC=AB，∴OCAB∴OA故选B．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键．8．(2023秋·安徽蚌埠）黄金分割在我们生活中应用广泛，如主持人站在舞台的黄点分割位置会更自然得体．已知线段AB长为6，C是AB上的一个黄金分割点，且AC>BC，则AC的值为______．答案:##−3+35分析：由黄金分割的定义得AC=5【解答】解：为AB的一个黄金分割点，AB=6，且AC>BC，∴AC=5故答案为：．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，比值叫做黄金比．9．(2023秋·安徽合肥）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝_____．答案:310##分析：由EH∥CF，得出△DEH∽△DCF，可求出EH=32，则AE=△AOE∽△BOC，然后利用相似比可得到AO：OB的值．【解答】解：如图，∵EH∥CF，∴△DEH∽△DCF，∴EH3∴EH=3∴∵AE∥BC∴△AOE∽△BOC∴AO故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．(2023秋·安徽合肥）如图，在△ABC中，点D是AB边上的点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，∠ACD=∠BED=45°，CD=6（1）∠A+∠EBD=__________；

（2）AB=_________cm答案:

90°

413分析：（1）取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，由三角形中位线定理可得DF＝32a，EF∥AC，DE＝32，证出∠EFB+∠EBF（2）通过证明四边形DGEH是正方形，可得DE＝2DG＝32，DH∥EF，通过证明△BDH∽△DFG，可得，可求BH的长，在Rt△DHB中，利用勾股定理可求BD的长，即可求解．【解答】解：（1）如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝62，∴DF＝32a，EF∥AC，DE＝32∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∴∠EFB+∠EBF＝90°，∵EF∥AC，∴∠A＝∠EFB，∴∠A+∠EBD＝90°；故答案为：90°；（2）∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，∵DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝2DG＝32，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴∠BDH＝∠DFG，∴△BDH∽△DFG，∴，∴，∴BH＝2，∴BD＝BH∴AB＝413，故答案为：413．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的定理，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．11．（2023秋·安徽合肥）正方形纸片ABCD中，E，F分别是AB、CB上的点，且AE=CF，CE交于M．（1）若E为AB中点，则＝_____；（2）若∠CMF=60°，则＝_____．答案:

2

2+分析：（1）过点F作FG∥AB，构造相似三角形，得△AEM∽△FGM，由相似三角形的性质以及中位线定理得出结论；（2）把60°的角放到直角三角形中，所以过点C作CN⊥AM所在的直线，利用角平分线的性质即可求解．【解答】（1）解：过点F作FG∥AB，∴∠BAF=∠GFA，∠AEG=∠EGF又∠1=∠2∴△AEM∽△FGM∴AE∵E为AB中点∴AE=EB在正方形ABCD中AB=BC，又AE=CF∴F为CB中点∵FG∥AB∴△CGF≅△∴CGCE∴G是的中点，∴AE设，则EM=2a，∴EG=CG=EM+MG=3a∴CM=CG+MG=4a∴CM故答案为：2；（2）解：过点C作CN⊥AF，交的延长线于点N在Rt△CMN中，∠CMF=60°，∵sin6∴CNCM即CM=2MNAE=CF，BA=BC∴BA−AE=BC−CF，即BE=BF∴Rt△ABF≌Rt△CBE（SAS）∴∠FAB=∠ECB∵∠AME=∠CMF，AE=CF∴△AME≌△CMF（AAS）∴EM=FM∵∠AFB=∠CFN，∠B=∠N=90°∴∠FAB=∠FCN∴∠MCF=∠NCF∴CNCM=∴∵∵MF=EMCMEM故答案为：2+【点睛】本题主要考查正方形的综合题，相似三角形，平行线分线段成比例，利用辅助线解决本题是关键．12．(2023秋·安徽六安）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设CEEB（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为________；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为_______．答案:

5−1

分析：（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）证明△ADG≌△FGC，得出点G为CD边的中点，根据三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，∴BE＝EC＝1，∴AE＝AB2+B∴EF＝5，∴CF＝EF﹣EC＝5﹣1；故答案为：5﹣1；（2）证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，在△ADG和△FCG中∠D=∠GCF∠AGD=∠FGC∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴，∵GC＝a，FC＝2a，∴，∴，∴EC＝12a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣12a＝3∴λ＝；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，熟练运用相关性质进行推理解答．13．(2023秋·安徽亳州）如图，在平面直角坐标系中，已知ΔABC的三个顶点的坐标分别为A−4,3（1）将ΔABC先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，得到ΔA1B1C（2）以点A为位似中心将ΔABC放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．答案:（1）见解析，B11,−4分析：根据平移的定义“把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的大小和形状完全相同”即可得；根据位似图形的定义“一般得，如果一个图形上的点A1，B1，…，P1和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足①直线AA1，，…，都经过同一点O；【解答】（1）根据题意可得：∴B1（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；分别在射线上取C2，B2，使，连接，CB2，AB∴．【点睛】本题考查了作图—平移变换，作图—位似变换，解题的关键是掌握平移作图方法和图形位似的作图方法．14．(2023秋·安徽蚌埠）如图，将矩形纸片ABCDAD>DC沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E(1)求证：△EFB∼△DEC；(2)若AD=10,CD=6，求的长；答案:(1)见解析；(2)2分析：（1）根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠C=90°，从而得到∠CDE+∠CED=90°，再由根据折叠的性质可得∠DEF=∠A=90°，从而得到，即可求证；（2）根据折叠的性质可得DE=AD=10，再由勾股定理可得CE=8，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°，根据折叠的性质得：∠DEF=∠A=90°，∴∠BEF+∠CED=90°，∴，∴△EFB∼△DEC；（2）解：根据折叠的性质得：DE=AD=10，∵CD=6，∴CE=D∵四边形ABCD是矩形，∴，∴BE=2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键．15．(2023秋·安徽合肥）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为(1)请用含t的代数式表示：BP=______，BQ=______；(2)求当t为何值时，△BPQ与△ABC相似？答案:(1)5tcm，(2)t=1或t=分析：（1）根据题意列式即可；（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP:BA=BQ:BC；当△BPQ∽△BCA时，BP:BC=BQ:BA，再根据BP=5t,QC=4t,AB=10cm【解答】（1）解：根据题意知：BP=5tcm，BQ=(8−4t)故答案为：5tcm，(8−4t)（2）∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8∴AB=A分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，BPBA∵BP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8，∴5t10解得，t=1，②当△BPQ∽△BCA时，BPBC∴5t8解得，t=32∴t=1或t=3241时，【点睛】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．16．(2023·安徽·模拟预测）如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，P是线段AD边上的一动点（不与端点A，D重合），连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．(1)当E为AB的中点，且AP﹥AE时，求证：PE=PC；(2)当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求整个运动过程中BE的取值范围．答案:(1)证明见解析(2)7分析：（1）根据题意易证∠APE=∠DCP，结合∠AEP=∠DPC=90°，即证明△AEP∼△DPC，得出AEDP=APCD．设AP=x，则DP=3−x．则可列出13−x=x2，解出x，结合AP﹥（2