新高考Ⅰ专用2025届高考数学一轮复习收官卷三含解析

Page12024届高考数学一轮复习收官卷（三）（新高考版）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2024·广东肇庆·高三阶段练习）同时满意以下三个条件的一个复数是（

）①复数在复平面内对应的点位于第三象限；②复数的模为5；③复数的实部大于虚部.A． B． C． D．【答案】C【详解】∵复数在复平面内对应的点位于第三象限，∴实部、虚部都小于0，故解除A选项；∵复数的模为5，而，故解除B选项；∵复数的实部大于虚部，又-3>-4，∴C选项正确，故选:C.2．（2024·江苏南京·高一阶段练习）已知集合，，，则中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【详解】，，0，，，，，，，，．故选：A3．（2024·全国·高一课时练习）在平面内和这个平面的斜线垂直的直线（

）A．只有一条 B．可能一条也没有 C．可能有一条也可能有两条 D．有多数多条【答案】D【详解】因为一条线垂直于另一条线，则垂直于另一条线的平行线，即，而在平面内过斜线的斜足必定可作出一条线，使其垂直于，即，又在平面内明显可作多数多条直线，使得，故，因此与垂直的直线有多数多条.故选：D.4．（2024·广东珠海·高三阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，故，故，即，解得或.因为，则，故.故选：A5．（2024·江苏南通·高三期中）过双曲线的右顶点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【详解】解：双曲线的渐近线为，令，解得，不妨取，，左焦点为，又为正三角形，∴，即，即，所以，∴；故选：B．6．（2024·河南·安阳一中高三阶段练习（文））如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（

）A．这16日空气重度污染的频率为0.5B．该市出现过连续4天空气重度污染C．这16日的空气质量指数的中位数为203D．这16日的空气质量指数的平均值大于200【答案】D【详解】解：这16日空气重度污染的频率为，故A中说法正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B中说法正确：中位数为，故C中说法正确；.故D中说法不正确．故选：D7．（2024·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣扬和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，伞沿是一个半径为2的圆，故椭圆的短半轴长，圆心到伞柄底端距离，阳光与地面夹角，直径，，则，由正弦定理得，得，故故选：B8．（2024·上海市进才中学高三期中）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前项和分别为，假如关于的实系数方程有实数解，那么以下2024个方程中，有实数解的方程至少有（

）个A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】D【详解】由题意得：，其中，，代入上式得：，要想方程无实数解，则，明显第1012个方程有解，设方程与方程的判别式分别为和，则，等号成立的条件是.所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，综上，在所给的2024个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.故选：D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2024·广东清远·高二期中）若且，则实数m的值可以为（

）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1【答案】AD【详解】因为，令，则，令，则，则，故即或.故选：AD．10．（2024·广东·福田外国语中学高三阶段练习）已知平面对量，，则下列说法正确的是（

）A． B．C．向量与的夹角为 D．向量在上的投影向量为【答案】BD【详解】，所以，故A错误；，故B正确；，，，，故C错误；向量在上的投影向量为，故D正确．故选：BD11．（2024·湖北·宜城市第一中学高二期中）已知与圆有四条公切线，则实数a的取值可能是（

）A． B． C．2 D．3．【答案】AD【详解】圆心，半径，圆心，半径．因为两圆有四条公切线，所以两圆外离．又两圆圆心距，所以，解得或．故选：AD．12．（2024·重庆·西南高校附中高三阶段练习）已知正方体的棱长为2，为线段的中点，，其中，，则下列选项正确的是（

）A．时，B．时，的最小值为C．时，直线与面的交点轨迹长度为D．时，与平面所成的角不行能为【答案】ABD【详解】对于A，取的中点，中点，连接，，，则，因为，，，所以，即点在线段上，因为为线段的中点，则，故，所以，由于，所以，又因为平面，平面，所以，因为，所以平面，平面所以，故A正确；对于B，在上取点，使得，在上取点，使得，因为，，，所以点在线段上，将平面与平面沿着绽开到同一平面内，如图，连接交于点，即三点共线时，取得最小值，其中由勾股定理得：，所以，所以，故B正确；对于C，，，，由向量共线定理的推论可得：点在线段上，连接，交于点，，交于点，连接，则线段即为直线与平面的交点轨迹，其中为等边三角形，，由三角形相像可知：，而，所以，同理可得：，所以为等边三角形，所以，直线与平面的交点轨迹长度为，故C错误；对于D，由C可知：点在线段上，连接，过点作交于点，连接，，则平面，即为直线与平面所成的角，在中，，，由，则，故D正确；故选：ABD.三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，其次空3分．）13．（2024·上海高校附属南翔高级中学高三期中）若，则的取值范围是_____________．【答案】【详解】由可得：，当且仅当时，即时取等，故答案为：.14．（2024·福建省福州格致中学高三期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______.①；②当时，；③是奇函数.【答案】（答案不唯一）【详解】①由，即满意；②对于，在上要使导函数恒成立，故，所以；③由②知：，留意定义域要关于原点对称，满意是奇函数；综上，且，满意上述要求.故答案为：（答案不唯一）15．（2024·广东·广州高校附属中学高三阶段练习）数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就．在探讨一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术探讨》中首次引入了二次剩余的概念．二次剩余理论在嗓音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用．已知对于正整数a，，若存在一个整数x，使得n整除，则称a是n的一个二次剩余，否则为二次非剩余．从1到20这20个整数中机抽取一个整数a，记事务“a与12互质”，“a是12的二次非剩余”，则______．【答案】【详解】在1到20中与12互质的有1,5,7,11,13,17,19，即；由二次剩余的定义，假设a是12的二次非剩余，则存在一个，使得，，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；依据这个一规律，则12的二次剩余有1,4,9,0，即，由事务中有7中状况，事务有6种状况，则.故答案为：.16．（2024·辽宁·东北育才学校二模）已知函数，若在定义域内为单调递减函数，则实数的最小值为___________；若，，使得成立，则实数的取值范围为___________.【答案】

【详解】，则∵在定义域内为单调递减函数，则当时恒成立则可得：∵，当且仅当时等号成立，则∴，即实数的最小值为；∵，即当时，整理得：构建，则∵当时，则当时恒成立∴在上单调递减，则则，即当时，，即在时不满意原式综上所述：实数的取值范围为故答案为：；．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．（2024·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列满意：,数列的前n项和(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）解:由题知,是以2为公比的等比数列,,的前n项和,时,当时,,故,综上:;（2）由(1)知,,,①,②②-①可得:故.18．（2024·甘肃·模拟预料）如图,在三棱台DEF－ABC中,AB＝2DE,G,H分别为AC,BC的中点．(1)求证：平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF＝DE,∠BAC＝45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．【答案】(1)证明见解析(2)60°【详解】（1）证明:连接DG,CD,设,连接OH,在三棱台DEF－ABC中,AB＝2DE,G为AC的中点,可得,,所以四边形DFCG为平行四边形．则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以,又平面FGH,平面FGH,所以平面FGH．（2）由题知,不妨设设AB＝2,则CF＝1．在三棱台DEF－ABC中,G为AC的中点,由,可得四边形DGCF为平行四边形,因此,又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC．在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC＝45°,G是AC中点．所以AB＝BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直．以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G－xyz．所以,,,．可得,,故,．设是平面FGH的一个法向量,则由,可得,可得平面FGH的一个法向量．因为是平面ACFD的一个法向量,．所以．所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为60°．19．（2024·四川省泸县其次中学模拟预料（理））共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，某站点6天的运用单车用户的数据如下，用两种模型①；②分别进行拟合，得到相应的回来方程，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：（残差=真实值-预料值）日期x（天）123456用户y（人）132243455568模型①的残差值-1.1-2.8m-1.2-1.90.4模型②的残差值0.3-5.44.3n-1.63.8(1)（ⅰ）求表格中m，n的值；（ⅱ）残差值的肯定值之和越小说明模型拟合效果越好．依据表中数据，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；(2)残差肯定值大于3的数据认为是异样数据，须要剔除，剔除异样数据后，重新求出（1）中所选模型的回来方程．（参考公式：）【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）应当选模型①，理由见解析；(2).(1)（ⅰ），故；，故.（ⅱ）应当选择模型①，理由如下：模型①的残差值的肯定值之和为，模型②的残差值的肯定值之和为．由14.9<18.6，则模型①的拟合效果较好，应当选模型①．(2)剔除异样数据，即剔除第3天的数据后，得，，∴，．∴y关于x的回来方程为．20．（2024·四川·盐亭中学模拟预料（文））在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满意，，且．(1)求角A；(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．【答案】(1)或(2)（1）因为，，且，所以，即．在中，由正弦定理得，而，所以，又，所以或．（2）因为是锐角三角形，所以，所以，又，且，所以．由及正弦定理得，则，，所以，而，则，故，所以的取值范围．21．（2024·浙江·模拟预料）如图，抛物线：，过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，满意，过抛物线准线上一点，作抛物线的切线，，且与抛物线交于点.(1)求抛物线的方程；(2)记的面积为，的面积为.求的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设，，则，联立，，（2）设，联立，，，可得，