江西省抚州市金溪县2024-2025学年高二数学下学期入学考试理试卷

2024-2025年度高二下学期入学考试数学试卷（理）一、选择题（每小题5分，共12个小题，本题满分60分）1．已知命题对随意，有成立，则为（）A．存在，使成立B．存在，使成立C．对随意，有成立D．对随意，有成立2．已知椭圆的右焦点为，则（）A．B．C．D．3．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，其中网格纸的小正方形的边长是1，则该几何体的体积为（）A．64B．32C．16D．5．如图是计算的值的一个程序框图，其中推断框内应填的是（）A．B．C．D．6．正方形的边长为2，以为起点作射线交边于点，则的概率是A．B．C．D．7．已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A．B．C．D．8．以为斜边的中，，由类比推理，在三棱锥中，若两两垂直，，则（）A．B．C．D．9．围屋始建于唐宋，兴盛于明清．围屋结合了中原古朴遗风以及南方文化的地域特色，是中国五大民居特色建筑之一在形式上主要有方形围屋、半圆形围屋、圆形围屋，如图所示是墙体厚度为的圆形围屋（主要用泥土建筑而成，大部分是客家民居，又称客家土围楼），从地面测量内环直径是，外环直径是，墙体高，则该围屋全部房间的室内总体积（斜屋顶不计入室内体积及忽视房间之间的墙体厚度与楼板厚度）大约是（）A．B．C．D．10．已知定圆，定点，动圆满意与外切且与内切，则的最大值为（）A．B．C．D．11．如图，已知棱长为2的正方体中，点是的中点，点分别为的中点，平面平面，与平面相交于一条线段，则该线段的长度是（）A．B．C．D．12．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知抛物线，则其准线方程为____________．14．下面是两个变量的一组数据：12345678191625364964这两个变量之间的线性回来方程为，变量中缺失的数据是___________．在边长为的菱形中，对角线，将三角形沿折起，使得二面角的大小为，则三棱锥外接球的体积是______________．16．已知抛物线上一点到焦点F的距离为3，过焦点F的直线l与抛物线C相交于M、N两点，点P到直线l的距离为d，当d取得最大值时，的面积等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知方程表示双曲线，方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）若“且”为真命题，求实数的取值范围；（2）若“且”是假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．18．1971年，江西省赣州地区信丰县开拓脐橙种植试验基地，1975年11月，出自此基地的脐橙参与赣南农产品大比武大放异彩，1976年广交会上脐橙“一炮打响”，1977年脐橙销往香港市场，1980年中科院考察队认定赣南是得天独厚的柑橘生产地，时至今日赣南脐橙已享誉全球．据市场反馈“腰围”长是的脐橙最受消费者青睐，某种植户在甲、乙两块地种植脐橙，从两种植地采摘的脐橙中分别随机抽取100颗脐橙（“腰围”长均在），依据“腰围”长分类画出如下统计图表：（1）求乙种植地脐橙腰围长的中位数；（2）从甲种植地样本在两段中用分层抽样的方法抽出6颗脐橙，某同学随机的从6颗中拿走2颗，问拿到的2颗都是受消费者青睐的概率是多少？19．在三棱锥中，于点于点，且，若点在平面上的射影为点．（1）证明：；（2）若是正三角形，点分别为的中点．证明：四边形是矩形．20．已知动圆与直线相交于两点，且．（1）当动圆过定点时，求动圆圆心的轨迹方程；（2）过点的直线交（1）中动圆圆心的轨迹于两点，点为的中点，过点垂直于直线的直线交轴于点，求点的横坐标的取值范围．21．如图，已知三棱柱的全部棱长均为2，．（1）证明：平面；（2）若平面平面为的中点，求二面角的余弦值．22．已知椭圆的左右顶点分别为，椭圆上不同于的随意一点，直线和的斜率之积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆内一点，作一条不垂直于轴的直线交椭圆于两点，点和点关于轴对称，直线交轴于点，证明：为定值．高二下学期入学考试数学试卷（理）答案一、选择题题序123456789101112答案BCBDCBADDACB二、填空题13．；14．4；15．；16．54三、解答题17．解：（1）若是真命题，则1分解得2分而是真命题，所以3分解得4分因为“且”为真命题，所以6分（2）当真假时：有，即8分若假真时：，解得10分所以或12分18．（1）2分4分设乙种植地的中位数为，则6分（2）由频率分布直方图可知的脐橙个数为7分抽出个，假设为8分的脐橙个数，9分抽出个，假设为10分从这6颗中抽出2颗可能产生的结果为：共15种．2颗都是受消费者青睐的包括：共6种11分所以2颗都受消费者青睐的概率12分19．证明：（1）连接并延长交于点，因为，所以为的垂心1分所以2分又因为在平面的射影为，所以平面3分所以4分又因为，所以平面5分所以6分（2）分别连接因为为正三角形所以分别为的中点7分所以8分又由（1），所以9分因为分别为的中点，所以平行等于，又因为分别为的中点，所以平行等于10分所以平行等于，所以四边形为平行四边形11分又，所以，所以四边形为矩形12分20．解：（1）设，则2分即，所以圆心的轨迹方程为：4分（2）设过点直线，联立，消得：6分所以，即7分设，依据韦达定理得：9分所以的中点10分过点的垂线为11分令，则，所以点的横坐标的取值范围12分21．证明：（1）如图取中点，连接．因为四边形为菱形，所以1分又因为三棱柱的全部棱长均为2，，所以和是等边三角形，所以因为平面，所以平面3分所以，而，所以平面4分（2）因为平面平面，且交线为，由（Ⅰ）知5分所以平面．则两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．则，6分因为为的中点，所以7分所以，设平面的法向量为，则，取，得8分同理设平面的法向量为，则，取，得9分所以11分所以所求二面角的余弦值为12分22．