2024-2025学年高考数学一轮复习解题技巧方法第一章第15节泰勒公式教师版

泰勒公式学问与方法用简洁函数靠近困难函数是数学中的一种基本思想方法，泰勒公式就是利用多项式函数来靠近其他函数所得到的一个基本定理.1.泰勒公式：设函数在处存在n阶导数，则，其中，是函数在处的n阶导数值，是皮亚诺余项，它表示时，的高阶无穷小.2.麦克劳林公式：当时，泰勒公式变成，这个公式叫做麦克劳林公式，它是泰勒公式的特例.下面列出几个常见的麦克劳林公式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）.3.泰勒公式在中学数学中的应用：（1）构造不等式用于放缩：例如，我们在上面的麦克劳林公式（1）中将右侧保留到一次项，其余全部丢掉，就可以得到一个常用的切线放缩不等式，若保留到二次项，则可以得到；类似地，还可以得到，，，，，等不等式.（2）近似计算：泰勒公式绽开的阶数越高，计算的精度越高，但计算困难度也随之上升，我们可以通过选择恰当的绽开阶数，来达到我们须要的计算精度.4.提示：在高考数学中，我们放缩时运用的以泰勒公式为背景的不等式，绝大多数都是一阶的，也就是切线放缩；典型例题【例1】已知函数.（1）探讨函数的单调性；（2）若，证明：.【解析】，设，则，，，留意到，所以有端点效应，而，所以，故，此时，，设，则，，，所以在上，又，所以，从而在上，因为，所以，故在上，易求得，所以恒成立，因为，所以，即，满意题意，故实数的取值范围是.【例2】若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】依据泰勒展式，，，所以当时，，从而要使，只需，故，所以.【答案】【例3】（2024·新课标Ⅰ卷）设，，，则（）A. B. C. D.【解析】解法1：依据泰勒绽开式，，所以，，设，则，，，所以，，，，从而故，比较a、b、c的近似表达式简洁发觉.解法2：，所以选项A、D错误，此时视察选项B、C知只需比较a和c的大小即可，设，则，，所以在上，所以，即，故，选B.解法3：，所以选项A、D错误，此时视察选项B、C知只需比较a和c的大小即可，留意到，设，，则，当时，，所以，从而，故，当且仅当时取等号，从而在上，所以，即，所以，选B.解法4：设，，，则明显、、在上都，且，，，，易证当时，，所以，即三个函数在上的增长速率是最大，居中，最小，而，，，所以必定有.【答案】B强化训练1.（★★★★）若关于x的不等式恒成立，则正实数a的取值范围是________.【解析】解法1：,两端同时加x得：，即①，设，则不等式①即为，明显在R上，所以，从而，留意到，当且仅当时取等号，所以，即，因为，所以，从而.解法2：，首先取得到，从而，其次，当时，因为，所以，又，所以，故a的取值范围是.【答案】2.（★★★★）若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】解法1：，设，则恒成立，，设，则，，所以在上，又，所以，故在上，因为，所以恒成立，从而，故在上，由洛必达法则，，所以.解法2：，由泰勒绽开式，，所以当时，，故，从而要使，只需，所以.【答案】3.（★★★★★）若当时，恒成立，则实数a的取值范围是________.【解析】解法1：明显当时，不等式对随意的实数a都成立，当时，，设，则，设，则，所以在