高中数学第一章三角函数1-4-1正弦函数余弦函数的图象课件新人教A版必修4

1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象必备知识·自主学习1.正弦函数、余弦函数的图象应用:①解简单三角不等式;②比较三角函数值的大小.2.正弦曲线、余弦曲线(1)正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫_________.正弦曲线(2)余弦函数y=cosx,x∈R的图象叫余弦曲线.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)正弦函数y=sinx的图象向左右和上下无限伸展. (

)(2)函数y=sinx与y=sin(-x)的图象完全相同. (

)(3)函数y=cosx的图象关于(0,0)对称. (

)提示:(1)×,正弦函数y=sinx的图象向左右无限伸展,但上下限定在直线y=1和y=-1之间.(2)×,二者图象不同,而是关于y轴对称.(3)×,函数y=cosx的图象关于y轴对称.提示:(1)×,正弦函数y=sinx的图象向左右无限伸展,但上下限定在直线y=1和y=-1之间.(2)×,二者图象不同,而是关于y轴对称.(3)×,函数y=cosx的图象关于y轴对称.2.利用“五点法”作函数y=cosx,x∈[0,2π]的简图时,第三个点的坐标是 (

)

A. B.(π,1) C.(π,0) D.(π,-1)【解析】选D.根据五点法作图中起关键作用的五点的特征加以判断可得D选项符合题意.3.(教材二次开发:习题改编)下列图象中是y=-sinx在[0,2π]上的图象的是 (

)【解析】选D.y=-sinx的图象与y=sinx的图象关于x轴对称,故只有D符合.关键能力·合作学习类型一正弦函数、余弦函数图象的初步认识(直观想象)【题组训练】1.下列叙述正确的个数是 (

)①y=sinx,x∈[0,2π]的图象关于点P(π,0)成中心对称;②y=cosx,x∈[0,2π]的图象关于直线x=π成轴对称;③正、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=-1所夹的范围.A.0个B.1个C.2个D.3个2.函数y=cosx·的大致图象是(

)【解析】1.选D.分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x∈[0,2π]的图象,由图象(略)观察可知①②③均正确.2.选C.由题意得y=cosx·所以其图象的大体形状如选项C所示.【解析】1.选D.分别画出函数y=sinx,x∈[0,2π]和y=cosx,x∈[0,2π]的图象,由图象(略)观察可知①②③均正确.2.选C.由题意得y=cosx·所以其图象的大体形状如选项C所示.【解题策略】1.解决正、余弦函数的图象问题,关键是要正确地画出正、余弦曲线.2.正、余弦曲线的形状相同,只是在坐标系中的位置不同,可以通过相互平移得到.3.研究正、余弦曲线的对称性时,要仔细观察函数的图象.类型二用“五点法”作三角函数的图象(直观想象)【典例】用“五点法”作出函数y=1-cosx(0≤x≤2π)的简图.【思路导引】列出五点法作图中的五点,描点,然后用平滑的曲线连接起来.【解析】列表:x0

π

2πcosx10-1011-cosx01210描点并用光滑的曲线连接起来,如图.【解题策略】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)或y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤:(1)列表:x0

π

2πsinx或cosx0或11或00或-1-1或00或1yy1y2y3y4y5(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,y1),(π,y3),(2π,y5).(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来.【跟踪训练】利用“五点法”作出函数y=1-sinx(0≤x≤2π)的简图.【解析】取值列表:描点连线,如图所示.x0

π

2πsinx010-101-sinx10121类型三正弦函数、余弦函数图象的应用(逻辑推理)角度1解三角不等式

【典例】在[0,2π]内,不等式2sinx-1≥0的解集为 (

)

【思路导引】在[0,2π]上,作出y=sinx的图象,再在这个平面直角坐标系中作出直线y=观察图象,找到满足sinx≥的x的取值范围.【解析】选D.因为2sinx-1≥0,所以sinx≥.在同一坐标系下,作函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象以及直线y=.由函数的图象知,所以根据图象可知,sinx≥

的解集为

【变式探究】求不等式sinx≤的解集.【解析】在同一坐标系下,作函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象以及直线y=.由函数的图象知所以当0≤x≤2π时,sinx≤

的解集为0≤x≤

或≤x≤2π,所以不等式sinx≤

的解集为角度2比较三角函数值的大小

【典例】记a=sin1,b=sin2,c=sin3,则 (

)A.c<b<a B.c<a<bC.a<c<b D.a<b<c【思路导引】先画出函数f(x)=sinx的图象,然后作直线x=1,x=2,x=3,与函数f(x)=sinx图象交点的纵坐标即为a,b,c,从而判断其大小.【解析】选B.

画出f(x)=sinx的图象,如图,其中A(1,sin1),B(2,sin2),C(3,sin3),由图可知,sin3<sin1<sin2,即c<a<b.【解题策略】用三角函数的图象解sinx>m(或cosx>m)的方法(1)作出y=m,y=sinx(或y=cosx)的图象.(2)确定sinx=m(或cosx=m)的x值.(3)确定sinx>m(或cosx>m)的解集.【题组训练】

1.在(0,2π)上使cosx>sinx成立的x的取值范围是 (

)【解析】选A.以第一、三象限角平分线为分界线,终边在下方的角满足cosx>sinx.因为x∈(0,2π),所以cosx>sinx的x的范围不能用一个区间表示,必须是两个区间的并集.2.利用余弦曲线,写出满足cosx>0,x∈[0,2π]的x的区间是______.

【解析】画出函数y=cosx在[0,2π]上的图象,如图所示,由图象可知,cosx>0对应的x的取值范围为

答案:

3.函数y=的定义域为________.

【解析】由题意得sinx-cosx≥0,即sinx≥cosx,画出函数y=sinx与y=cosx在[0,2π]上的图象,如图所示,结合图象可知在[0,2π]上,满足条件的x的取值范围是.故函数y=的定义域为,k∈Z.

答案:,k∈Z

备选类型正、余弦函数图象与其他曲线的交点问题(直观想象)【典例】判断方程sinx=lgx的解的个数.【思路导引】在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=sinx与y=lgx的图象,观察图象判断.【解析】建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象,再依次向左、右连续平移,得到y=sinx的图象.在同一平面直角坐标系内描出,(1,0),(10,1)并用光滑曲线连接得到y=lgx的图象,如图,

由图象可知方程sinx=lgx的解有3个.【解题策略】函数图象在判断交点问题中的应用(1)确定方程解的个数问题,常借助函数图象用数形结合的方法求解.(2)三角函数的图象是研究函数的重要工具,通过图象可较简便地解决问题,这正是数形结合思想方法的应用.【跟踪训练】已知函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,求k的取值范围.【解析】由题意知f(x)=sinx+2|sinx|=

图象如图所示:若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).1.用“五点法”画函数y=2-3sinx的图象时,首先应描出五点的横坐标是 (

)

【解析】选B.所描出的五点的横坐标与函数y=sinx的五点的横坐标相同,即0,,2π.课堂检测·素养达标2.函数y=-cosx(x>0)的图象与y轴最近的最高点的坐标为 (

)A. B.(π,1)C.(0,1) D.(2π,1)【解析】选B.画出函数y=-cosx(x>0)的图象如图所示,由图可知,与y轴最近的最高点为(π,1).3.(教材二次开发:例题改编)函数y=sin|x|的图象是 (

)【解析】选B.y=sin|x|=作出y=sin|x|的简图知选B.4.点M在函数y=sinx的图象上,则m等于 (

)A.0

B.1

C.-1

D.2【解析】选C.由题意-m=sin,所以-m=1,所以m=-1.5.函数y=的定义域是________.

【解析】要使函数有意义,只需2cosx-≥0,即cosx≥.由余弦函数图象知(如图).所求定义域为,k∈Z.答案:,k∈ZThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏4.点M在函数y=sinx的图象上,则m等于 (

)A.0

B.1

C.-1

D.2【解析】选C.由题意-m=sin,所以-m=1,所以m=-1.3.(教材二次开发:例题改编