江西省吉安市吉州区2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试卷 (含答案)

2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（3分）“共圆冰雪梦，一起向未来2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在中国北

京和张家口举行.以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是

()

2.（3分）在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了

有效控制.研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为213纳米，I纳米=l.（）X10"米，

若用科学记数法表示213纳米，则正确的结果是（）

A.2.13X106米B.0.213X106米

C.2.13X10-7米D.21.3X10-7米

3.（3分）小明将一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示

正面朝上这一事件，则下列说法正确的是（）

A.4的概率是0.6B.A的频率是0.6

C.A的频率是6D.A的频率接近0.6

4.（3分）如图是一款手推车的平面示意图，其中A8平行CQ,则下列结论正确的是（

B.Z3=Z2+2Z1

C.Z2+Z3-Zl=180°D.Nl+/2+/3=180°

5.（3分）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据

邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父

子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用X轴表示父亲离家的

时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（）

A.B.

C.D.

6.(3分)如图，在△A8Q中，AD=AB,ND4B=90°,在△ACE中，AC=AE,ZEAC

=90°,CD,BE相交于点F,有下列四个结论：①。C=BE；②NBDC=NBEC；③。C

XBE；④必平分NOfE.其中，正确的结论有（）

C.2个D.1个

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（3分）如图，为了防止门板变形，小明分钉共一根加固木条，请用数学知识说明这样做

的依据_______

8.（3分）若/-2（a+1）肛+9）2是完全平方式，则实数a的值是

9.(3分)已知1：(a-2)2+\2h-1|=0,则型21..022的值为

10.（3分）如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若/AOQ=125°,则NBOC=

11.(3分)如图，用每张长6cm的纸片，重叠1cm粘贴成一条纸带，纸带的长度y(c〃?)

与纸片的张数x之间的关系式是.

6cm—►

12.(3分)如图，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=6,BC=8,点C在直线/上.点P从

点4出发，在三角形边上沿A-C-B的路径向终点8运动；点。从8点出发，在三角

形边上沿B-C-A的路径向终点A运动.点尸和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度

同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继

续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻，分别过P和。作

PEL于点E,QFLI于点F,则点P的运动时间等于秒时，APEC与△CFQ

三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.(6分)计算：

(1)22-(n-1)°+3'X(-6)：

(2)(-2?)2+"3+工

14.(6分)已知：如图，C,。是直线AB上两点，Zl+Z2=180°,DE平分NCDF,EF

//AB,

(1)求证：CE//DF-,

(2)若NOCE=130°,求/DEF的度数.

EF

1工

AD-B

15.(6分)从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果

选得男生的概率为2.

3

(1)求该班级男女生数各多少？

(2)若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？

16.(6分)作图题：

在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺.

①经过点P,画线段PQ平行于48所在直线.

②过点C,画线段CN垂直于CB所在直线.

17.(6分)若x满足(30-x)(%-10)=160,求(30-x)2+(%-10)2的值.

四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.(8分)如图，大小两个正方形边长分别为“、b.

(1)用含a、6的代数式阴影部分的面积S：

(2)如果8=7,ah=5,求阴影部分的面积.

19.(8分)小南一家到某度假村度假.小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同

的道路后出发.爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到

东西后又马上驾车前往度假村(取东西的时间忽略不计).如图是他们离家的距离s(h")

与小南离家的时间f(/?)的关系图.请根据图回答下列问题：

(1)小南家到该度假村的距离是km.

(2)爸爸驾车的平均速度为km/h,图中点A表示.

(3)小南从家到度假村的路途中，求当他与爸爸相遇时，离家的距离.

距离km

70

20.(8分)如图①，△ABC中，AB=AC,NB、NC的平分线交于。点，过O点作E尸〃

BC交AB、AC于E、F.

(1)图①中有儿个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系.

(2)如图②，若4BWAC,其他条件不变，在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存

在吗？

(3)如图③，若△ABC中的平分线8。与NACG平分线CO交于。，过。点作OE

〃BC交AB于E,交AC于F.EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由.

①

五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.(9分)点。为直线AB上一点，过点。作射线。C,使NAOC=120°,一直角三角板

的直角顶点放在点。处.

(1)如图1,将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则NCOD=NCOE；

(2)如图2,将图1中的三角板。OE绕点。逆时针旋转一定角度，当OC恰好是/80E

的角平分线时，求/COD的度数；

(3)将图1中的三角尺OOE绕点。逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为a度，在旋

转的过程中，能否使NAOE=3NC。。？若能，求出a的度数；若不能，说明理由.

22.(9分)已知点P在/MON内.

(1)如图1,点P关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,连接

OG、OH、OP.

①若NMON=50。，则NGOH=；

②若尸。=5,连接GH,请说明当/MON为多少度时，GH=10；

(2)如图2,若NMON=60。，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△南8的

周长最小时，求NAPB的度数.

六、解答题(本大题共1小题，共12分)

23.(12分)问题提出：

(1)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”.如图1,△4BC中，

4c=7,BC=9,48=10,P为AC上一点，当AP=时，ZVIBP与aCBP是偏等

积三角形；

问题探究：

(2)如图2,△A3。与△ACO是偏等积三角形，AB=2,AC=6,且线段4。的长度为

正整数，过点C作CE〃AB交AO的延长线于点E,求AE的长度；

问题解决：

(3)如图3,四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△OCE是等腰直角三角形，ZACB

=NOCE=90°(0<ZBCE<90°).

①△ACO与ABCE是偏等积三角形吗？请说明理由；

②已知BE=60,",△AC。的面积为2100,/.如图%计划修建一条经过点C的笔直的小

路CF,尸在BE边上，尸C的延长线经过AO中点G.若小路每米造价600元，请计算修

建小路的总造价.

图1图2图3图4

2021-2022学年江西省吉安市吉州区七年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1.（3分）“共圆冰雪梦，一起向未来2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在中国北

京和张家口举行.以下选取了四届冬奥会会标图案的一部分，其中是轴对称图形的是

（）

A.

C.

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A,B,。选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形.

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，所以是轴对称图形.

故选：C.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

2.（3分）在党中央的坚强领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了

有效控制.研究发现，某种新型冠状病毒的直径约为213纳米，I纳米=1.（）*10一9米，

若用科学记数法表示213纳米，则正确的结果是（）

A.2.13X10-6米B.0.213X1（/6米

C.2.13X107米D.21.3X10〃米

【分析】首先根据：1纳米=10X10-9米，把213纳米化成以米为单位的量；然后根据:

绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为“XI。-",与较大数的科学记

数法不同的是其所使用的是负整数指数幕，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定，用科学记数法表示213纳米即可.

【解答】解：..T纳米=1.0X109米,

.*.213纳米=213X10"米=0.000000213米=2.13X10〃米.

故选：C.

【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axio",其中iwia

<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

3.（3分）小明将一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，若用A表示

正面朝上这一事件，则下列说法正确的是（）

A.A的概率是0.6B.A的频率是0.6

C.A的频率是6D.A的频率接近0.6

【分析】根据频率公式即可求解.

【解答】解：•••小明将一枚均匀的硬币抛掷了10次，正面朝上的情况出现了6次，用A

表示正面朝上这一事件，

的频率是g=0.6.

10

故选：B.

【点评】本题考查了频率公式.用到的知识点为：频率=频数与总情况数之比.

4.（3分）如图是一款手推车的平面示意图，其中A8平行CZ）,则下列结论正确的是（）

A.Z3=Z1+Z2B.Z3=Z2+2ZI

C.Z2+Z3-Zl=180°D./l+N2+/3=180°

【分析】根据三角形外角和平行线性质得出三个角的关系即可.

【解答】解：如下图：

\'AB//CD,

.'.Z\=ZA,

：/2=/A+/4,

.•.Z2=Z1+Z4,

即N4=/2-Zl,

VZ3+Z4=180°,

AZ2+Z3-Zl=180°,

故选：C.

【点评】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

5.（3分）小明观看了《中国诗词大会》第三期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据

邻居家的故事写了一首小诗：''儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父

子高兴把家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的

时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（）

【分析】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人

出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家

时间的关系相同.

【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在

两人出发点之间，而父亲早到，故A,B,C不符合题意；两人停一段时间以后，两人一

起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项。符合题意.

故选：D.

【点评】主要考查了函数图象的读图能力.要能根据函数图象的性质和图象上的数据分

析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.

6.(3分)如图，在中，AD=AB,ND4B=90°,在△ACE中，AC=AE,NEAC

=90°,CD,BE■相交于点F,有下列四个结论：①OC=BE：②NBDC=NBEC；③DC

±B£；④以平分/OFE.其中，正确的结论有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】先证明△ADC丝△ABE得到QC=BE,则可对①进行判断；利用全等三角形的

性质得到/A£)C=NA8E,由于AB与AE不确定相等，所以NABE与NAEB不确定相等,

加上NBZ)C=45°-ZADC,NBEC=45°-NAEB,则可对②进行判断；利用三角形内

角和证明NBFQ=ND4B=90°,则可对③进行判断；过A点作AM_LQC于M,AML

BE于N,如图，利用全等三角形对应边上的高相等得到AM=AN,则根据角平分线的性

质定理的逆定理可对④进行判断.

【解答】解：,：ZDAB^ZEAC=90°,

：.ADAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,即ZDAC=ABAE,

在△ACC和△ABE中，

，AD=AB

<ZDAC=ZBAE>

AC=AE

：./\ADC^/\ABE(SAS),

:.DC=BE,所以①正确；

/AZ)C=NABE,

而AB与4E不确定相等，

NABE与NAEB不确定相等，

：△A3。和△ACE都是等腰直角三角形,

AZADB=ZAEC=45",

ZBDC=ZADB-ZADC=45°-ZADC,

NBEC=NAEC-NAEB=45°-ZAEB,

.../B£)C与NBEC不确定相等，所以②错误；

ZADC+Z}+ZDAB=NABE+N2+NBFD,

而NA£>C=/ABE,Z1=Z2,

：.ZBFD^ZDAB^90°,

：.DC±BE,所以③正确；

过A点作AM_LQC于M,ANLBE于N,如图,

/\ADC^/\ABE,

：.AM=AN,

尸平分NDFE,所以④正确.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的

性质证明线段和角相等的重要工具.证明△AQC丝△ABE是解决问题的关键.也考查了

等腰直角三角形的性质.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.（3分）如图，为了防止门板变形，小明分钉共一根加固木条，请用数学知识说明这样做

的依据三角形的稳定性.

【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性.

【解答】解：为了防止门板变形，小明在门板上钉了一根加固木条，形成三角形的结构,

这样做的理由是利用了三角形的稳定性.

故答案为：三角形的稳定性.

【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的

应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助

线转化为三角形而获得.

8.(3分)若/-2(a+1)孙+9/是完全平方式，则实数。的值是2或-4.

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a

的值.

【解答】解：V?-2(a+1)孙+9/是完全平方式，?-2(a+1)xy+9y2=x2-2(a+1)

xy+(3y)2,

-2(«+l)孙=±2XxX3y,

解得a+\=±3,

.,.a=2或a=-4.

故答案为：2或-4.

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是

难点，熟记完全平方公式对解题非常重要.

9.(3分)已知：(a-2)2+126-1|=0,则於⑶•/22的值为1_.

-2一

【分析】根据偶次方的非负性以及绝对值的非负性求得〃与从再代入/。21.产22求值.

【解答】解：：(a-2)2e0,\2b-1|^0,

.•.当(a-2)2+\2b-1|=0,则a-2=0,2b-1=0.

•*.a=2,b=—.

2

...“2()21.产22=22021入(工)2022=工.

故答案为：1.

2

【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方的非负性、

绝对值的非负性是解决本题的关键.

10.(3分)如图，两个直角三角形的直角顶点重合，若NAO£>=125°,则/BOC=55°.

【分析】根据题意得到/A08=/C00=90°,再计算N30£>=NAO。-90°=35°,

然后根据NBOC=/CO£>-NBOO进行计算即可.

【解答】解：•••/AO8=NCOO=90°,

而NAOQ=125°,

：.ZBOD^ZAOD-90°=35°,

：.ZBOC=NCOD-NBOD=90°-35°=55°.

故答案为：55.

【点评】本题考查了余角和补角，熟练掌握角的和差关系是解题的关键.

11.（3分）如图，用每张长6cm的纸片，重叠la*粘贴成一条纸带，纸带的长度y（c〃?）

与纸片的张数x之间的关系式是y=5x+l.

1c次、

6cm—►

【分析】根据纸带的长度y随着纸片的张数x的变化规律，得出相应的函数关系式.

【解答】解：根据纸带的长度），随着纸片的张数x的变化规律得，

y—6x-（x-1）=5x+l,

故答案为：y=5x+l.

【点评】本题考查列函数关系式的方法，理解题目中的数量关系是得出函数关系式的前

提.

12.（3分）如图，在△A8C中，ZACB=90Q,AC=6,BC=8,点C在直线/上.点尸从

点4出发，在三角形边上沿A-C-8的路径向终点8运动；点。从B点出发，在三角

形边上沿B-CfA的路径向终点A运动.点尸和0分别以I单位/秒和2单位/秒的速度

同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继

续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止.在某时刻，分别过P和。作

PE，/于点E,QF，/于点凡则点P的运动时间等于2或21或12秒时,△PEC与

3

△CFQ全等.

B

/

CI

【分析】分四种情况，点P在AC上，点。在8c上：点P、Q都在AC上；点尸到BC

上，点。在AC上；点。到A点，点尸在BC上.

【解答】解：与△CFQ全等，

二斜边26=斜边CQ,

分四种情况：

当点P在AC上，点。在8c上，如图：

\'CP=CQ,

：.6-r=8-2t,

•*-t=2.

当点P、。都在AC上时，此时P、Q重合,如图:

・：CP=CQ,

•:CP=CQ,

Ar-6=2r-8,

：.t=2,不符合题意,

当点。到A点，点P在BC上时，如图:

：.6=t-6,

.”12,

综上所述：点P的运动时间等于2或工殳或12秒时，△PEC与△CFQ全等，

3

故答案为：2或1生或12.

3

【点评】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论是解题的关键.

三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.(6分)计算：

(1)22-(TT-1)0+3'X(-6)；

(2)(-2X2)2+4・工-金+x.

【分析】(1)先分别化简有理数的乘方，零指数累，负整数指数基，然后再计算；

(2)基的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减.

【解答】解：(1)原式=4-1-工X6

3

=4-1-2

=1;

(2)原式=4/+/-》4

=4x4.

【点评】本题考查零指数第，负整数指数累，基的混合运算，掌握运算法则准确计算是

解题关键.

14.(6分)已知：如图，C,。是直线AB上两点，Zl+Z2=180°,DE平分NCDF,EF

//AB,

(1)求证：CEIIDF：

(2)若/£>CE=130°,求/OEF的度数.

【分析】（1）由/1+N£）CE=18O°,Nl+N2=180°,可得N2=NQCE,即可证明CE

//DF；

（2）由平行线的性质，可得/CD尸=50°,又•：DE平分NC。凡则/。。£=工/。。F

2

=25°,根据平行线的性质，即可得到NDE尸的度数.

【解答】（1）证明：：Nl+N2=180°,C,。是直线AB上两点，

.\Zl+ZDC£=180°,

.•./2=/£>CE,

：.CE//DF-,

(2)解：'JCE//DF,ZDCE=130°,

AZCDF=180°-/£)CE=180°-130°=50°,

■:DE平分NCDF,

AZCDE=AzCDF=25°,

2

'JEF//AB,

:.NDEF=NCDE=25°.

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质和角平分线的性质，注意平行线的性质和

判定定理的综合运用.

15.（6分）从男女学生共36人的班级中，选一名班长，任何人都有同样的当选机会，如果

选得男生的概率为2.

3

（1）求该班级男女生数各多少？

（2）若该班转入女生6人，那么选得女生为班长的概率？

【分析】（1）根据男生概率公式可求得男生人数，让学生总数减去男生人数即为女生人

数;

（2）根据概率公式即可得到答案.

【解答】解：（1）设有男生x人，

•.•男生的概率为2,即1=2,

3363

解得x=24（人）；

二女生36-24=12（人），

答：该班级男女生数各有24人，12人；

（2）女生12+6=18（人），全班36+6=42（人），

选得女生为班长的概率为旭=3.

427

【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键.

16.（6分）作图题：

在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺.

①经过点P,画线段PQ平行于A8所在直线.

②过点C,画线段CN垂直于CB所在直线.

【解答】解：①如图，线段尸。即为所求（答案不唯一）;

②如图，线段CN即为所求.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，平行线，垂线等知识，解题关键是学会利用

数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

17.(6分)若x满足(30-x)(%-10)=160,求(30-x)2+(%-10)2的值.

【分析】利用引入新参数简化运算过程，再采用完全平方公式进行求解，

【解答】解：设：30-x="，x-10=Z>,

则浦=160,a+h=20,

贝I」a2+b2=Ca+b)2-2ab=202-2X160=80.

所以(30-x)2+(x-10)2=80.

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，牢记公式的变形是解题的关键.

四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.(8分)如图，大小两个正方形边长分别为a、b.

(1)用含〃、6的代数式阴影部分的面积S；

(2)如果”+b=7,ab=5,求阴影部分的面积.

【分析】(1)利用整体面积减去空白面积得出阴影部分面积求出即可；

(2)利用完全平方公式结合已知条件求出即可.

【解答】解：(1)•••大小两个正方形边长分别为a、b,

:.阴影部分的面积为：S—c^+kr--^«2--(“+b)b—^-c^+^b1-

22222

(2)'：a+b=l,ab=5,

；.12+工2_%口(a+b)2-纥b=_lx72-gX5=17.

2222222

【点评】此题主要考查了整式的混合运算以及化简求值，正确利用整体面积减去空白面

积得出阴影部分面积是解题关键.

19.(8分)小南一家到某度假村度假.小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同

的道路后出发.爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到

东西后又马上驾车前往度假村(取东西的时间忽略不计).如图是他们离家的距离s(hw)

与小南离家的时间，(人)的关系图.请根据图回答下列问题：

(1)小南家到该度假村的距离是60km.

(2)爸爸驾车的平均速度为60km/h,图中点A表示A点离家50千米，离度假

村10千米.

(3)小南从家到度假村的路途中，求当他与爸爸相遇时，离家的距离.

【分析】(1)从图象中直接得出结论；

(2)利用函数图象求出爸爸的速度以及点A表示的实际意义；

(3)根据图象可以直接得出小南和爸爸第一次相遇时距家的距离；再用待定系数法求出

线段BC和。。的解析式,联立方程组解方程组即可得出小南和爸爸第二次相遇时距家的

距离.

【解答】解：(1)由图象可知小南家到该度假村的距离是60h",

故答案为：60；

(2)爸爸驾车的平均速度为：迎£3=60如油；

4-1

图中点4表示A点离家50千米，离度假村10千米；

故答案为：60,A点离家50千米，离度假村10千米；

(3)从图象可知，小南从家去度假村途中第一次和爸爸相遇时离家距离为30hw；

距离km

则12k+b=60,

l3k+b=0

解得：”=-60,

Ib=180

线段BC的解析式为y=-60x+180；

线段OD的解析式为y=mx,

则3m=60,

解得w=20,

线段OD的解析式为y=20x,

联立方程组y-60X+180,

]y=20x

解得：x=7,

y=45

小南从家去度假村途中第二次和爸爸相遇时离家距离为45km；

综上，小南从家去度假村途中和爸爸相遇时离家距离为30km或45km.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用，利用函数图象获取正确信息是解题关键.

20.（8分）如图①，ZiABC中，AB=AC,NB、NC的平分线交于。点，过。点作E/〃

BC交AB、AC于E、F.

（1）图①中有几个等腰三角形？猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系.

（2）如图②，若ABW4C,其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、C尸间的关系还存

在吗？

（3）如图③，若AABC中N8的平分线8。与NACG平分线CO交于。，过。点作OE

//BC交AB于E,交AC于F.EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由.

A

A

A

【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论；

（2）利用（1）的方法解答即可；

（3）利用角平分线的定义和平行线的性质可以判定ABE。和△CR9为等腰三角形，利

用线段和差的关系可得结论.

【解答】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEA△OE8、△OFC、△OBC、△ABC,

共5个等腰三角形；

EF、BE、FC的关系是防=BE+FC.理由如下：

T05平分NABC,0C平分NAC3,

・・・ZABO=ZOBC,ZACO=/OCB,

VEF//BC,

：./EOB=ZOBC=NEBO,ZFOC=/OCB=NFCO；

即EO=EB,FO=FC,

：.EF=EO+OF=BE+CF；

（2）当ABW4C时，（1）的结论仍然成立.

YOB平分NABC,0c平分NAC8,

AZAB0=Z0BCfZAC0=Z0CBf

,:EF〃BC,

：./E0B=/OBC=NEBO,ZFOC=ZOCB=/FCO,

即E0=EB,F0=FC；

：.EF=E0+0F=BE+CF；

（3）EF=BE-FC.理由如下：

•・•OB平分NABC,

.・・NABO=NOBC,

，：EO〃BC,

：.ZFOC=NOCG,NEOB=40BC,

ZABO=ZEOB,

；.BE=OE,

'：OC^^ZACG,

，/ACO=NFOC=ZOCG,

：.FO=FC,

：.EF=EO-FO=BE-FC.

【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性

质，平行线的性质，利用角平分线与平行线的组合模型得出等腰三角形是解题的关键.

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21.（9分）点。为直线AB上一点，过点。作射线0C,使NAOC=120°,一直角三角板

的直角顶点放在点。处.

（1）如图1,将三角板。0E的一边0。与射线08重合时，则/C0£）=2NC0E：

（2）如图2,将图1中的三角板。0E绕点。逆时针旋转一定角度，当0C恰好是NB0E

的角平分线时，求/C0。的度数；

（3）将图1中的三角尺。0E绕点。逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为a度，在旋

转的过程中，能否使/A0E=3NC。。？若能，求出a的度数；若不能，说明理由.

【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；

（2）由角平分线的定义可得/COE=/8OC=60°,再根据/COE=90°,从而可求解;

（3）分5种情况讨论：①0Wa<60；②60Wa<90；③90Wa<240；④240Wa<270；

⑤270WaW360.分析清楚角关系求解即可.

【解答】解：（1）；/AOC=120°,。。与射线0B重合，

.../COL>=180°-ZAOC=60°,

VZDOE=90°,

：.ZCOE=90°-60°=30°,

:.乙COD=2乙COE,

故答案为：2；

(2)由(1)得，ZBOC=60",

；0(?是/8。后的角平分线，

；./COE=/BOC=60°,

VZD(?E=90°,

：.ZCOD=90°-60°=30°；

⑶能，

①当0Wa<60时，有：

NCOD=60°-a,乙4OE=180°-ZDOE-a=90°-a,

则90。-a=3(60°-a),

解得：a=45°；

②60WaV90时，有：

ZCOD=a-60°,ZAOE=90°-a,

贝|J9O°-a=3(a-60°),

解得：a=67.5°；

③90Wa<240时，有:

ZCOD=a-60°,ZAOE=a-90°,

则a-90°=3(a-60°),

解得：a=45°(舍去)；

④240WaV270时，有：

NCOO=420°-a,ZAOE=a-90°,

则a-90°=3(420°-a),

解得：a=337.5°(舍去)；

⑤270WaW360时，有：

ZCOD=420°-a,ZAOE=450°-a,

则450。-a=3(420°-a),

解得：a=465°(舍去).

综上所述，a的度数为45°或67.5°.

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解答的关键是结合图形分析

清楚角与角之间的关系.

22.(9分)已知点P在NMON内.

(1)如图1,点P关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,连接

OG、OH、OP.

①若NMON=50：则/GOH=100°；

②若尸。=5,连接G”，请说明当NMON为多少度时，G”=10；

(2)如图2,若NMON=60。，A、8分别是射线OM、ON上的任意一点，当的

周长最小时，求NAPB的度数.

【分析】(1)依据轴对称可得0G=OP,OM1GP,即可得到OM平分/POG,ON平分

NPOH,进而得出NGO”=2NMON=2X50°=100°；②当NMON=90°时，ZGOH

=180°,此时点G,O,"在同一直线上，可得GH=GO+"O=10；

(2)设点P关于OM、ON对称点分别为P'、P",当点A、B在P'P"上时，

周长为％+AB+BP=PP",此时周长最小.根据轴对称的性质，可求出NAPB的度数.

【解答】解：(1)①•.•点P关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是

H,

：.OG=OP,OM±GP,

.♦.OM平分/POG,

同理可得ON平令NPOH,

：.ZGOH=2ZMON=2X50°=100°,

故答案为：100°;

②；PO=5,

，GO=HO=5,

当NMON=90°时，/GOH=180°,

...点G,O,”在同一直线上，

.•.GH=GO+〃O=10；

(2)如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P'、P",连接OP'、OP"、P'

P",P'P"交.OM、ON于点A、B,

连接孙、PB,则AP=AP,BP=BP”,此时△P48周长的最小值等于P'P"的长.

由轴对称性质可得，OP'=OP"=OP,NP'OA^ZPOA,NP"OB=NPOB,

OP"=2NMON=2X60°=120°,

：.ZOP'P"=ZOP"P'=(180°-120°)+2=30°,

.•./OB4=NOP'A=30°,

同理可得N8PO=NOP"8=30°,

...NAP8=30°+30°=60°.

【点评】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要

考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点.

六、解答题（本大题共1小题，共12分）

23.（12分）问题提出：

（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”.如图1,△A8C中，

4c=7,BC=9,AB=10,P为AC上一点，当AP=工时，ZvlBP与△C8P是偏等

一2一

积三角形；

问题探究：

（2）如图2,△A3。与△ACO是偏等积三角形，4B=2,AC=6,且线段的长度为

正整数，过点C作CE〃A8交AO的延长线于点E,求4E的长度；

问题解决：

（3）如图3,四边形ABEQ是一片绿色花园，AACB.△QCE是等腰直角三角形，ZACB

=ZDCE=90°(0<ZBC£<90°).

①AACO与aSCE是偏等积三角形吗？请说明理由；

②已知2E=60,〃，△AC£＞的面积为2100,“2.如图4,计划修建一条经过点C的笔直的小

路CF,尸在8E边上，R7的延长线经过4。中点G.若小路每米造价600元，请计算修

建小路的总造价.

【分析】(1)当AP=C尸时，则AP=工，证S；XABP=5ACBP,再证△ABP与△CB尸不全

2

等，即可得出结论；

(2)由偏等积三角形的定义得S"BD=S"m则BD=CD,再证△CDE也△BD4(A4S),

则CE=AB=2,ED=AD,AE=ED+AD=2AD,然后由三角形的三边关系求解即可；

(3)①过A作AM_LQC于M,过B作BN_LCE于N,证△ACMg/XBCN(4