检测卷9 解直角三角形-2021年中考数学复习（含解析）

解直角三角形

一、选择题.

1.如图,在RSABC中，若NC=90°,AB=5,AC=4.则cosA的值是（）.

4

2.在RSABC中，若NC=90°,cosA==，BC=6cm,则AC的长度为（

A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm

3.在RtZkABC中，ZC=90°,如果NA=a,AB=3,那么AC等于（）

4.如图，A,B,C是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin/ACB的值

为（）

5.如图，在RSABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的高，下列线段的比值

等于cosA的值的有（）

（嘿;⑵黑⑶器;⑷CD

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，在RtZkABC中，ZC=90°,ZA=30°,E为AB上一点且AE:EB=4:1,

EF±AC于点F,连接FB,则tanZCFB的值等于（）

„5V3

C.---D.5V3

3

7.已知抛物线y=3x?+l与直线y=4cosa•x只有一个交点，则锐角a等于（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

8.定义:在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A的正对记作sadA,

即52（1人=底边:腰.如图,在小ABC中，AB=AC,NA=4NB.则cosB«sadA=（）

「V3

A.lBC.—

|2D-T

9.在△ABC中，NA,ZB均为锐角,且有|tanB-g|+(2cosA-l)2=0,则4ABC

是（）

A.直角（不等腰）三角形B.等边三角形

C等腰（不等边）三角形D.等腰直角三角形

10.如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公

路的距离AC为20米,现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒,

若NBAC=a,则此车的速度为（）

A.5tana米/秒B.80tana米/秒C.一工一米/秒D.米/秒

tanatana

IL如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置

中注入一定量的水，水面高度为6cm,现将右边细管绕A处顺时针旋转60。到

AB位

置，且左边细管位置不变，则此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为（）

A.4cmB.243cmC.3cmD.8cm

12.江津四面山是国家5A级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩—土地

神岩，土地神岩壁画高度从石岩F处开始一直竖直到山顶E处，为了测量土地

神岩上壁画的高度，小明从山脚A处，沿坡度i=l075的斜坡上行65m到达C

处，在C处测得山顶E处仰角为26.5°,再往正前方水平走15m到达D处，在D

处测得壁画底端F处的俯角为42°,壁画底端F处距离山脚B处的距离是12m,

A,B,C,D,E,F在同一平面内，A,B在同一水平线上，EB1AB,根据小

明的测量数据，则壁画的高度EF为（）m（精确到0.1m,参考数据:sin26.5%0.45,

cos26.5°=0.89,tan26.5°=0.5,sin42°=0.67,cos42°=0.74,tan42°=0.9）

A.49.5B.68.7C.69.7D.70.2

二、填空题.

13.如图2是一个地铁站入口双翼闸机的示意图，当它的双翼展开时，双翼边缘

的端点A与B之间的距离为10cm,双翼的边缘AC=BD=61cm,且与闸机侧立

面夹角NPCA=NBDQ=30。，当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度

为.

图1图2

14.已知RtZkABC中，ZC=90°,tanA=—,AB=d6,则BC的长为

2------------

15.在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上,

AB,CD相交于点O,则cosNAOD=.

16.如图射线AB经过A(2,0),B(0,2),若将射线AB绕点A顺时针旋转，旋

转到经过点C(3,3)的位置，若旋转的角度为a,则tana=.

17.一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60。方向，这艘渔船以28km/h

的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东30。方向，此

时，灯塔M与渔船的距离是.

18.科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行.如图，小明一家自驾到古镇

C游玩，到达A地后，导航显示车辆北应沿北偏西60。方向行驶6千米至B地,

再沿北偏东45。方向行驶一段距离到达古镇C.小明发现古镇C恰好在A地的正

北方向，则B,C两地的距离是千米.

19.一般地，当a,P为任意角时，tan(a+/?)与tan(a-/?)的值可以用下面的公

式求得:tang+户户tana+tan［；tan^-tan^

1-tana•tan』l+tana»tan^

tan15°=tan(45°-30°)=tan45O-tan30°

l+tan45°«tan30°

请根据以上材料，求得tan75°的值为.

20.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的

仰角是45。，沿斜坡走2百米到达斜坡上点D,在此处测得树顶端B的仰角为

30°,且斜坡AF的坡比为1:2.则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度

为米；大树BC的高度为米.(结果保留根号)

三、解答题.

21.(1)计算:28s245。+——强”----tan45°；

tan450+cos30°

,计算：V§-4cosa+tana+(g)的值。

(2)已知a为锐角,sin(a+15°

22.如图所示，△ABC中，NB=45。,NC=30°,AB=2&.求BC的长。

23.如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=30km,NCAB=25。，

NCBA=45。，因城市规划的需要，将在A,B两地之间修建一条笔直的公路.

(1)求改直的公路AB的长；

(2)问公路改直后比原来缩短了多少千米？

(参考数据:sin25%0.42,cos25°^0.91,tan25°=047,/=1414)(结果保留小数点

后一位)

24.某购物超市为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式

自动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB的长为10m,ZABD=45°,

ADLBC于点D,改造后的斜坡式自动扶梯的坡角NACB=20。，求改造后的扶梯

水平距离增加的部分BC的长度，（结果精确到0.1m,参考数据:sin20%0.34,

cos20°=0.94,tan20°=0.36,V2-1.414).

25.如图，大楼底右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶

端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30。,测得大楼顶端A的仰角为45。（点B,

C,E在同一水平直线上）.已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距

离.（结果保留根号）。

口

口

口

口

口

口

口

口

26.“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A处小明接到小陈

发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45。方向，于是沿河边笔直的绿道/

步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30。方向，如图所

示.根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直走多少

米才能到达桥头D处.（精确到1米）（备用数据:收句.414,6=1.732）。

你只要沿绿道继续

直走就可以到达我

家正南方的桥头。处,

我就在那里接你。

小陈

参考答案

_AC_4

1.B［解析］恒84A_而一亏,

2.B【解析】•・•在RQABC中，ZC=90°,cosA=i,BC=6cm,

5

；・设AC=4xcm,贝ijAB=5xcm,「・BC=3xcm=6cm,解得x=2.贝!JAC=8cm.

■丸口■'''N人="，AB=3,1,cosQ=,

3.B【解析】AB/.AC=AB-cosa=3cosa.

4.A［解析】设小正方形的边长为1,过点B作BD±AC于点D,过点B作BF±AE

于点F,连接AB.

S^.=2X7-±X1X3-1X1X7-|X2X4=5.

由勾股定理，得AC="T而=5五.

,/1ACBD=5,/.BD=V2.

2

由勾股定理，得BC=VT^=JH),

“叱ACB噌噜吟

5.C【解析】•.•在RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的高，

4('

.,.ZA+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=90°,.，.ZA=ZBCD,二…一而一常一可

故(1),(2),(4)正确.

6.C【解析】根据题意，在ABC中，ZC=90°,ZA=30°.

CFBl：

XEF±AC,.・・EF〃BC.・.k彳亓

e./W1

VAE：EB=4：1,/.r：l'f…清5

设AB=2x,则BC=x,AC=V3x.

.•.在RtaCFB中，CF=@x,BC=x,则tanNCFB=^=述.

5CF3

7.C【解析】根据题意，得3x，l=4cosa-x,

即3x2-4cosa-x+l=04lk=16os2a-4x3xl=0.

铲省"即L'

解得/

8.B【解析】•.•在AABC中，AB=AC,ZA=4ZB,/.ZB=ZC.

VZA+ZB+ZC=180°,.•.6ZB=180°,解得NB=30°.

如图，过点A作ADLBC于点D,设AD=a,则AB=2a,BD=V3a.

•.•BC=2BD.，BC=20a,

9.B【解析】V|tanB-73|+(2cosA-l)2=0,.\tanB=V3,2cosA=l.

则NB=60。，ZA=60°,...△ABC是等边三角形。

10.A【解析】在RMABC中，ZACB=9O°,ZBAC=a,AC=20米,

ABC=AC-tanZBAC=20tana(米).

，止匕车速度=20tana+4=5tana(米/秒).

ILA【解析】AB中水柱的长度为AC,CH为此时水柱的高，设CH=xcm,竖直

放置时短软管的底面积为S,

,/ZBAH=90°-60°=30°,AC=2CH=2xcm,

二右边细管绕A处顺时针方向旋转60。到AB位置时，底面积为2S.

Vx,S+x•2S=6-S+6-S,解得xcm=4cm,/.CH=x=4>

即此时“U”形装置左边细管内水柱的高度约为4cm.

An

12C【解析】如图，作CNLAB于点N,延长CD交BE于点M.

在R3ACN中，AC=65m,CN：AN=1:0.75,；.CN=52m,AN=39m。

•四边形CNBM是矩形，.•.CN=BM=52m,VBF=12m,Z.FM=40m.

»“an42=rrr:…

在RtADMF中，l)M9

在RtZkCEM中，*?CM=CD+DM=—(m),

9

.,.EM=CMtan26.5°~29.7(m),

，EF=EM+FM=29.7+40=69.7(m).

13.71cm【解析】如图，过点A作AE±PC于点E,过点B作BF±QD于点F,

VAC=61cm,ZPCA=30°,/.AE=1AC=—(cm),

22

由对称性可知:BF=AE,

，通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB=61+10=71(cm).

14.72【解析】•.•在RSABC中，ZC=90°,

...tan第，.，.AC=〃BC.

VAB=V6,AB2=AC2+BC2,.,.BC2+(V2BC)2=(V6)2,，BC=VL

15.好【解析】设右下角顶点为点F,取DF的中点E,连接BE,AE如图所示.

5

•.•点B为CF的中点，点E为DF的中点，ABE//CD.AZAOD=ZABE.

在△ABE中，AB=VT5,AE=2V2,BE=V2,

VAB2=AE2+BE2,AZAEB=90°.

16.2【解标】如图，连接CB,作CD_LAB于点D,

VA(2,0),B(0,2),C(3,3),

/.△ABC的面积为3x3-1X2X2-lx（3-2）X-lX3X（3-2）=4,AB=

222

2222

>/2+2=272OAC=73+（3-2）=710.

AiAB-CD=iX2V2XCD=4,，CD=2万

22

/.AD=7AC2-CD2=J碗"2⑸=V2

_AC2V2

tana-=-7^=2.

ADV2

17.14km【解析】如图：由题意，得NMAB=30。,ZMBC=60°.

NCBM=/BAM+/AMB,

.*.ZAMB=ZBAM=30o,，BM=BA.

VAB=28X0.5=14（km）,.-.BM=AB=14km,

tJb•

18.376【解析】如图，作BE_LAC于点E,

在RtAABE中，sinZBAC=—,.•.BE=AB.sinNBAC=6x走=3用千米）.

AB2

由题意，得NC=45。，.•.BC="J=3g+变=3后(千米).

sinC2

心,，“0、tan450+ian30°

t--_tan75==tan（45+30）=z—~r^on°

19.2+若［解析］］—tan4A5•toan30

l+§

-----____3+用_（3+总产=2+73

i-ixa3—6（3一点）（3+9）

T

20.2；3有+5【解析】如图，过点D作DK_LBC于点K,作DH_LAE于点H,

则四边形DHCK为矩形.故DK=CH,CK=DH.

生=’.八。=2百米，

在直角三角形AHD中，AH2

；.DH=2米，AH=4米，.，.CK=2米，

设BC=x米，

AC=——担--=r米

在直角三角形ABC中，inn/ZMC

，DK=(4+x)米,BK=(x-2)米,

在RJBDK中，:81<=口工121130°,，X-2=(4+X)X3,

3

解得x=5+3M，BC=(5+3V3)米。

所以大树的高度为(36+5)米.

B

21•【解析】

c(V2YV3,„1273,,.2A/3(2-V3),.rr.

2x—H--f=--1=2x—i------F-1=1+7---7=\-7—J{—\-1=4J3-6.

I2JJ322+V3(2+上网2闽

原式=+T

(2)-.-sin(cr+15。)=,:.a=45°,V8-4cosa+tana+[g)=2V2-2V2+1+3=4.

22•【解析】过点A作AD_LBC于点D,如图所示。

在RtZ^ABD中，ZADB=90°,/B=45。，AB=2后，

6

；.AD=BD=AB•sinB=2梃x乃=2.

2

在RQACD中，NADC=90°.NC=30。，AD=2.

；.AC=2AD=4,CD=V3AD=2V3.

，BC=BD+CD=2+