2022年阜阳市重点中学数学高三第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为非零向量，“”为“”的（）A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件2．已知向量满足,且与的夹角为,则()A． B． C． D．3．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（）A． B． C． D．4．如图，平面与平面相交于，，，点，点，则下列叙述错误的是（）A．直线与异面B．过只有唯一平面与平行C．过点只能作唯一平面与垂直D．过一定能作一平面与垂直5．函数（且）的图象可能为（）A． B． C． D．6．设集合则（）A． B． C． D．7．若复数满足（是虚数单位），则（）A． B． C． D．8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（）A．6里 B．12里 C．24里 D．48里9．已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．10．从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为，已知，则A． B． C． D．11．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了，达到，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B．10年来全球新增装机容量连年攀升C．10年来中国新增装机容量平均超过D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过12．已知正方体的体积为，点，分别在棱，上，满足最小，则四面体的体积为A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，已知圆及点，设点是圆上的动点，在中，若的角平分线与相交于点，则的取值范围是_______.14．在中，、的坐标分别为，，且满足，为坐标原点，若点的坐标为，则的取值范围为__________.15．已知数列满足,且,则______.16．若变量，满足约束条件则的最大值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上两动点使得四边形为平行四边形，且平行四边形的周长和最大面积分别为8和.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.18．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：，，，，注：年返修率=（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润（百万元）关于年生产台数（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程中，，.19．（12分）已知函数，（1）证明：在区间单调递减；（2）证明：对任意的有．20．（12分）已知函数（，为自然对数的底数），.（1）若有两个零点，求实数的取值范围；（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知（）过点，且当时，函数取得最大值1.（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式；（2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域.22．（10分）若养殖场每个月生猪的死亡率不超过，则该养殖场考核为合格，该养殖场在2019年1月到8月养殖生猪的相关数据如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月养殖量/千只33456791012月利润/十万元3.64.14.45.26.27.57.99.1生猪死亡数/只293749537798126145（1）从该养殖场2019年2月到6月这5个月中任意选取3个月，求恰好有2个月考核获得合格的概率；（2）根据1月到8月的数据，求出月利润y（十万元）关于月养殖量x（千只）的线性回归方程（精确到0.001）.（3）预计在今后的养殖中，月利润与月养殖量仍然服从（2）中的关系，若9月份的养殖量为1.5万只，试估计：该月利润约为多少万元？附：线性回归方程中斜率和截距用最小二乘法估计计算公式如下：，参考数据：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由数量积的定义可得,为实数,则由可得,根据共线的性质,可判断；再根据判断,由等价法即可判断两命题的关系.【详解】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.所以“”为“”的充分必要条件.故选:B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,考查相等向量的判定,考查向量的模、数量积的应用.2、A【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选：A.【点睛】本题主要考查数量积的运算，属于基础题.3、B【解析】

先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】不超过的素数有：、、、、、，在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况，其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况，因此，所求事件的概率为.故选：B.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.4、D【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.【详解】A.假设直线与共面，则A，D，B，C共面，则AB，CD共面，与，矛盾，故正确.B.根据异面直线的性质知，过只有唯一平面与平行，故正确.C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.D.根据异面直线的性质知，过不一定能作一平面与垂直，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.5、D【解析】因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.6、C【解析】

直接求交集得到答案.【详解】集合，则.故选：.【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.7、B【解析】

利用复数乘法运算化简，由此求得.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数模的计算，属于基础题.8、C【解析】

设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程．【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里．故选：C．【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．9、C【解析】

求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果.【详解】当时，，令，则；，则，∴函数在单调递增，在单调递减.∴函数在处取得极大值为，∴时，的取值范围为，∴又当时，令，则，即，∴综上所述，的取值范围为.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.10、B【解析】

由题意知，，由，知，由此能求出．【详解】由题意知，，，解得，，．故选：B．【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．11、D【解析】

先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为，选项C错误；截止到2015年中国累计装机容量，全球累计装机容量，占比为，选项D正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.12、D【解析】

由题意画出图形，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，可得当时最小，设正方体的棱长为，得，进一步求出四面体的体积即可．【详解】解：如图，

∵点M，N分别在棱上，要最小，将所在的面延它们的交线展开到与所在的面共面，三线共线时，最小，

∴

设正方体的棱长为，则，∴．

取，连接，则共面，在中，设到的距离为，

设到平面的距离为，

.

故选D．【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由角平分线成比例定理推理可得，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.【详解】由题可构建如图所示的图形，因为AQ是的角平分线，由角平分线成比例定理可知,所以.设点，点，即，则，所以.又因为点是圆上的动点，则，故点Q的运功轨迹是以为圆心为半径的圆，又即为该圆上的点与原点间的距离，因为，所以故答案为：【点睛】本题考查与圆有关的距离的最值问题，常常转化到圆心的距离加减半径，还考查了求动点的轨迹方程，属于中档题.14、【解析】

由正弦定理可得点在曲线上，设，则，将代入可得，利用二次函数的性质可得范围.【详解】解：由正弦定理得，则点在曲线上，设，则，，又，，因为，则，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.15、【解析】

数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.【详解】，数列是以3为公比的等比数列，又，，．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．16、9【解析】

做出满足条件的可行域，根据图形，即可求出的最大值.【详解】做出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，目标函数过点时取得最大值，联立，解得，即，所以最大值为9.故答案为:9.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）或【解析】

（1）根据题意计算得到，，得到椭圆方程.（2）设，联立方程得到，根据，计算得到答案.【详解】（1）由平行四边形的周长为8，可知，即.由平行四边形的最大面积为，可知，又，解得.所以椭圆方程为.（2）注意到直线的斜率不为0，且过定点.设，由消得，所以，因为，所以.因为点在以线段为直径的圆上，所以，即，所以直线的方程或.【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为是解题的关键.18、（1）见解析；（2）【解析】

（1）先判断得到随机变量的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉年的数据后不影响的值，可根据表中数据求出；然后再根据去掉年的数据后所剩数据求出即可得到回归直线方程．【详解】（1）由数据可知，，，，，五个年份考核优秀．由题意的所有可能取值为，，，，，，，．故的分布列为：所以．（2）因为，所以去掉年的数据后不影响的值，所以．又去掉年的数据之后，所以，从而回归方程为：．【点睛】求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．19、（1）答案见解析．（2）答案见解析【解析】

（1）利用复合函数求导求出，利用导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）首先证，令，求导可得单调递增，由即可证出；再令，再利用导数可得单调递增，由即可证出.【详解】（1）显然时，，故在单调递减．（2）首先证，令，则单调递增，且，所以再令，所以单调递增，即，∴【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数证明不等式，解题的关键掌握复合函数求导，属于难题.20、（1）；（2）【解析】

（1）将有两个零点转化为方程有两个相异实根，令求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为对一切恒成立，令，求导，研究单调性