初中数学规律探索题目

79.（河北实验区2004）

观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律:

（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；

①1=12；②1+3=22；③1+3+5=32：

（2）通过猜想写出与第〃个点阵相对应的等式.

80.（河北实验区2004）用两个全等的等边三角形%和制拼成菱形力比。把一个含

60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点力重合，两边分别与

4C重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边6G或相交于点回厂时，（如图13—1）,通

过观察或测量质小■的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边6G切的延长线相交于点£,/时（如图13—2）,

的。设其中的第一个直角三角形0A也是等腰三角形，且

0AI=AIA2=A2A3=A3A产...=A8A9=1,请你先把图中其它8条线段的长计算出来,填在下面的

表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。（04杭州）

OAi0AOAt0A

2OA35OA6OA7OA8

82.阅读下面材料：

对于平面图形A,如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个

圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.

对于平面图形A,如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆

的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些回所覆盖.

例如：图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖.

图1

回答下列问题:

⑴边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖,r的最小值是—cm；

⑵边长为1cm的等边三角形被个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是—cm；

⑶长为2cm,宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是—cm,这

两个圆的圆心距是cm.（03南京）

83、（05江西）如下图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单

位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0、1、2）±：先让原点与圆周上0所对应的

点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4、…所对应的点分

别与圆周上1、2、0、1、…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建

立了一种对应关系。

（1）圆周上数字a与数轴上的数5对应，则@=；

（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n圈（n为正整数）后，并落在圆周上数字1所对

应的位置，这个整数是（用含n的代数式表示）。

84、如图，在直角坐标系中，第一次将AOAB变换成△OAB,第二次将△0AB变换成△0AB,

第一次将△OA2B2变换成△OA3B3。

已知：A(1,3),A,(2,3),A2(4,3),A3(8,3)；B(2,0),Bi(4,0),B2(8,0),

B；((16,0)

(1)观察每次变换前后的三角形系有何变化，找出变换规律再将△OAB变换成△OA,B“

则A,的坐标是,B”的坐标是,变换的规律是；

(2)若按第(1)题找到的规律将AOAB进行了n次变换，得到△OA“B”比较每次变

换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A0的坐标是,B.的坐标是。

85、如图，•个机器人从0HI发向正东方向走3m到达4点，再向正北方向走6m到达4点，

再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12nl到达A4点，再向正东方向走15m,到

达4，按此规律走下去。当机器人到4时，离0点的距离是小。(04济南)

86、观察下面求值过程

711-2=71x10+1-2x1=71x(10+1-2)=VT79=3

V1111-22=711x100+11-2x11=711x(100+1-2)=Jl1x99=7112x9=33

V111111-222=7111x1000+111-2x111=7111x(1000+1-2)=Jl11x999=THF9=333

⑴按照上述的计算过程，猜想Jll11的11—2222的结果,并给出计算过程。

⑵按照上述的计算过程，计算pili,…述一2212的值。

V2八个1"个2

87

22、（9分,先阅读下面的材料，再解答后面的冬题.

现代社会对保卷要求越来越*,寄码正在成为人们生活的一部分.有一种密玛的明文

将明文转换成密文，如：4f--+17=19,即R变为L

Ilf宁•+8=12,即A变为S

将密文转换成明文：如：21f3X（21-17）—2=10,即X变为P

13f3x03-8）-1=14,即D变为F

⑴按上述方法将明文NET译为密文；

（2）若按上述方法照明文译成的密文为DWN,请找出它的明文.

88、下面是用棋子摆成的“上”字:

・・・..........................第,个“上”字第

二个“上”字第三个“上”字

如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：

（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；（2分）

（2）第n个“上”字需用枚棋子.（1分）（03茂名）

89.如图，正方形ABCD的边长为12,划分成12X12个小正方形格.将边长为n（n为整数,

且2Wn〈ll）的黑白两色正方形纸片按图中的方式黑白相间地摆放，第一张nXn的纸

片正好盖住正方形ABCD左上角的nXn个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的

部分恰好为（n-1）X（n-1）的正方形.如此摆放下去，最后直到纸片盖住正方形ABCD

的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，完成摆放时所

使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：（3分）

纸片的边长n23456

使用的纸片张数

（第25题）

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计

（以下正方形网格仅供作草纸用）

一次）为S”未被盖住的面积为S2.

①当n=2时，求$：Sz的值；(4分)

②是否存在使得$=Sz的n值，若存在，请求出这

样的n值；若不存在，请说明理由.(

14、观察下列算式：

3'=3,3?=9,3,=27,34=81,

35=243,36=729,37=2187,3'=6561,…

用你所发现的规律写出32004的末位数字是。

14、观察下列各式：

2X4=3-1；3X5=4-1；4X6=5-1；....；10X12=11-1；...

将你猜想到的规律用只含有一个字母的式子表示出来：

_L+_L=（I」）+D="L2

15、观察：1x22x322333

3

1x2*2x3+3x44

计舁：----1-------------1------------FH----------------=_____________________________.

1x22x33x4/?(/?+1)

化简：_____!_____+------1-----+…+------------------(02淮安)

(x+lX-r+2)(x+2\x+3)(x+2000)(x+2001)

16、观察下列各正方形图案，每条边上有n(nN2)个圆点，每个图案中圆点的总数S。

按此规律推断出S与n的关系式为—

30、.观察下面一列数的规律并填空：0,3,8,15,24,…，则它的第2002个数是.

31、观察下列各式：

2X4=32-1：3X5=4-1；4X6=5Z-1；....；10X12=ll2-l；...

将你猜想到的规律用只含有•个字母的式子表示出来：

23、借助计算器可以求得+3'，441+33、,444、+333、,44441+3333,…，仔细观察上面几道

44---42+33---32

题的计算结果，试猜想V2003个2003个=(03大连)

18.观察下列顺序排列的等式：

99999x11=1099989.99999x12=1199988，99999x13=1299987,99999x14=1399986

猜想：99999x19=______________________

17.仔细观察下列计算过程：vll2=121,.-.必=11;同样•••11V=12321,

・•・J12321=111;…由此猜想J12345678987654321=:

15、观察下列分母有理化的计算：

-7=J—=V2-1：厂1~~-f==6-V2;-=2-73......,

V2+1V3+V22+6

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：

___1________1___|____1____j__________1______—.

1+V2V2+V3V3+2…V2003+A/2004

10.计算：1-3+5-7+9-11+...+97-99=.(03桂林)

2.观察下列分母有理化的计算：

—f=~~广=V2-V1'L1~产=石一历,L［~~f=="-6'

J2+J1V3+V2V4+V3

—!—=右_"，…，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算:

V5+V4

41^=1^=^(72002+1)-

IvTTViiy/3+V2

V4+V3

19.根据指令［s,A］（s^O,0'<A<180"）,机器人在平面上能完成下列动作：先在原地逆时针旋转角度A,

再朝其面对的方向沿直线行走距离So现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向。（1）若给

机器人下了一个指令［4,60］，则机器人应移动到点_______：（2）请你给机器人下一个指令________,

使其移动到点（-5,5）.（03杭州）

20、在密码学中，你直接可以看到的内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码。对于英文，

人们将26个字母按顺序分别对应整数0到25,现有4个字母构成的密码单词，记4个字母为x,、w、x3.

x”已知整数x,+2x2,3x2,X3+2X»3x.除以26的余数分别是9,16,23,12,请你通过推理计算破译此密

码，写出此单词，并写出此单词的汉语词意。（hope）

（04新疆）

24、下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）”（n为正整数）展开式的系数，

请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）'展开式中所缺的系数。

（a+b）=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）;-a3+3a2b+3ab2+b'

贝ij（a+b）4=a'+a3b+6a2b2+4ab3+b'（02长沙、03龙江）

4、（05舟山）阅读下面的文字并回答问题：

2的相反数是一2,所以2+（-2）=0；0的相反数是0,所以0+0=0。若（2+工）的相反数是一（2+1）,

2323

则（L+_L）+［—J+［）］=0,……一般地，若a,b互为相反数，则a+b=0；反过来，若a+b=0；贝Ua,

2323

b互为相反数。上面的文字说明了,

反过来O

12.（05泉州课改）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《祥解九章算法》中提出右表，此表揭示了g+by'

（n为非负数）展开式的各项系数的规律。例如：

m+b）°=i,它只有一项，系数为1；

（a+b）i=a+b,它有两项，系数分别为1,1；

（第12题表）

（a+/?）2=42+2ab+b2,它有三项，系数分别为1,2,1；

（a+b）3=。3+3。2/,+3。/+匕3,它有四项，系数分别为1,3,3,1;

……根据以上规律，（。+与4展开式共有五项，系数分别为。

24、,如图的二角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的11,

数构成的规律，a所表示的数是。（01绍兴）I2I

1331

14a4

I510105

1、观察下列算式：

31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,3,=729,37=2187,38=6561,…用

你所发现的规律写出320°3的末位数字是.（03贵阳）

2、观察•列数：3,8,13,18,23,28……依次规律，在此数列中比2000大的数最小整数是:

（03金华）

3、观察下列各式，你会发现什么规律？

3X5=42—1,5X7=62-1,....,UX13=122-1

请将你发现的规律用只含•个字母的表达式表示出来：。（03娄底）

5、观察下面一列有规律的数

1A±A±……，根据这个规律可知第n个数是_____（n是正整数）（03荆州）

3'8'15'24’35’48’

6、观察下列等式：I2—02=1、22—I2=3、3?—2'=5、42-32=7.....

用含自然数n的等式表示这种规律为°（03昆明）

25、为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路。现已知各村及电厂

之间的距离如图所示（单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是

（）（02杭州）与、

（A）19.5（B）20.5（C）21.5（D）25.5s/V5

令村

10、在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存.现要将

所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1:甲

2：3：5.若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总乙丁:

的运费最省，应选的工厂是（）I丙J

A、甲B、乙C、丙D、丁

26、观察下列分分母有理化的计算：—=V2-Vi----!—=6-正，

,yj2+yjiy/3+

—!—="_6，一!—=75-74•••从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算:

V4+V3y/5+V4

(1+1+_!_+...+1)(V2002+1)=(02桂林)

V2+7T石+五V4+V3V2002+V200I

27、已知方程--19x-150=0的一个正根为a。

求:的值。

y[ci+Ja+1ci+1+Ja+2Ja+2+Ja+3J。+1999+da+2000

27、生物学指出：生态系统中，每输入一个营养级的能量，大约只有10席的能量能够流动到下一个营养级，

在瓜一H?fH：,fH,-HsfK这条生物链中（乩表示第n个营养级，n=l,2,..

.,6）,要使H.获得10千焦的能量，那么需要H,提供的能量约为（）

A、104干焦B、105千焦C、106千焦D、107干焦

28、有A1、A2、A3三个舞蹈演员在舞台上跳舞，面对观众作队形排列变化，其变化规律是：

一个舞蹈演员A1跳舞，面对观众作队形排列变化的种数是A1为1种；

二个舞蹈演员Al、A2跳舞，面对观众作队形排列变化的种数是A1A2；A2A1为2种即1X2种；

三个舞蹈演员Al、A2、A3跳舞,面对观众作队形排列变化的种数是A1A2A3,AlA3A2；A2A1A3,A2A3

Al；A3A1A2,A3A2Al为6种即1X2X3种:

请你推测：

四个舞蹈演员Al、A2、A3、A4跳舞，面对观众作队形排列变化的种数是种；

六个舞蹈演员跳舞，按照上述方法作队形排列变化的种数为（用科学记数法表示）种；

12、用1、2、3、4、5、6、7共7个数字排列成7位数的电话号码（在同一个电话号码内每个数字只能用

一次）可排成个电话号码。（02十堰）

29、阅读下面材料：

在计算2+5+8+11+14+17+20+23+26+29时，我们发现，从第一个数开始，后面的每个数与它的前面一个

数的差都是•个相等的常数.具有这种规律的列数，除了直接相加外，我们还可以用下面的公式来计算它

们的和S,

（其中：n表示数的个数，4表示第一个数，a“表示最后一个数）.那么

2

2+5+8+11+14+17+20+23+26+29=啖+29）=155.

2

用上面的知识解答下面的问题：

某集团总公司决定将卜属的一个分工司对外招商承包，有符合条件的两家企业A、B分别拟定上缴利

润方案如下：

A；每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；

B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元.

⑴果承包4年，你认为应该承包给哪家企业，总公司获利多？

⑵如果承包n年，请用含n的代数式分别表示两家企业上缴利润的总金额（单位：万元）.

12、（06青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合

百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联

系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体

情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使

复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案.

例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整数.

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程

中，需对n的奇偶性进行讨论.

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观.现利用图

形的性质来求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层

依次分别为1,2,3,…，n个小圆圈排列组成的.而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1

+2+3+4+…+n的值.为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平

行四边形.此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n+1）个小圆圈，所以组成平行四边

（几+1）

形小圆圈的总个数为n（n+1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为---------，即1+2+3

2

n(n+1)

+4-|-----|-n=--------------

2

O\OOO■■■OOOM

oo\..........................—

OOO\OOOO4.

000o\ooc.

..................,«\oO2

GOO-OOOXO.

（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1+3+5+7+…+（2n-l）的值，其

中n是正整数.（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

（2）试设计另外一种图形，求1+3+5+7+…+（2n—1）的值，其中n是正整数.（要求：画

出图形，并利用图形做必要的推理说明）

25.（本题满分12分）

图1是棱长为a的小正方体，图2、图3由这样的小正方体摆放而成.按照这样的方法

继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层、…、第〃层，第〃层的小正方体的个数为s.解

答下列问题：

图1图2图3

（1）按照要求填表:

n1234•・・

S136.・・

（2）写出当72=10时，S=.

（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，A作为横坐标，在

平面直角坐标系中描出相应的各点.

（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数图象上，求出该函

数的解析式；如果不在某一函数图象上，说明理由.

37、（8分）在抗击“非典”的斗争中，某市根据疫情的发展状况，决定全市中、小学放假两周，以切实保

障广大中、小学生的安全.腾飞中学初三（1）班的全体同学在自主完成

学习任务的同时，不忘关心同学们的安危，两周内全班每两个同学都通过诙电话，互相勉励，共同提高.如

果该班有56名同学，那么同学们之间共通了多少次电话？

为解决该问题，我们可把该班人数n与通电话次数s间的关系用下列模型来表示：

⑴若把n作为点的横坐标，s作为纵坐标，根据上述模型中的数据，在给出的平面直角坐标系中，描

出相应各点，并用平滑的曲线连接起来：

⑵根据日中各点的排列规律，猜•猜上述各点会不会在某•函数的图像

上？如果在，求出该函数的解析式；

⑶根据⑵中得出的函数关系式，求该班56名同学间共通了多少次电

话.（03青岛）

90、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子：

观察图形的变化规律，写出第〃个小房子用了.块石子。（03山东滨州）

第20题图

91、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图:

经观察可以发现：图⑵比图⑴多出

2个“树枝"，图⑶比图（2）多出5

个“树枝”，图⑷比图⑶多出10

个“树枝”，照此规律，图⑺比图

（6）多出_________个“树枝（）

箱17

（03胜利油田、山东）

92.一个正方体的每个面分别标有数字1,2,3,4,5,6.根据图1中该正方体A、B、C

三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是,（03贵阳）

93、观察下列字母或符号，然后在横线上填上一个恰当的字母或符号（可以编造你所需要的

符号）。MW3FAq（03卜堰）

14、下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形。把图①、②、③三个图形拼

在一起（不重合），其面积为S,则$=；图④的面积P=；则PS.（03卜堰）

94、将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉点重合，如图2放置，则阴影部分面积

是正方形A的面积的!，将正方形A与B按图3放置，则阴影部分面积是正方形B的面

8

积的.（03随州）

95、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案:

(1)第四个图案中有白色地砖块；

(2)第“个图案中有白色地祜块；

第一个第二个第三个

第题图(03南昌05四川实验)

96.下图的数阵是由全体奇数排成

(1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？

(2)在数阵图中任意作一类似(1)中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请

说出理由；

(3)这九个数之和能等于1998吗？2005,1017呢?若能,请写出这九个数中最小的一个,

若不能,请说出理由。(05恩施)

1921232527293133

373941434547495153

555759616365676971

737577798183858789

97.观察下列数表:

1234­••第一行

2345­••第二行

3456­■■第三行

4567­­•第四行

第第第第

一二三四

列列列列

根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为，第n行（n

为正整数）与第n列的交叉点上的数应为。（05丰台）

98.科学研究发现：植物的花瓣、片、果实的数目以及其它方面的特征，都非常吻合于一个

奇特的数列——裴波那契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…，仔细观察以上数列,则它

的第11个数应该是.

99、（04吉林）某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数

为___________________.

年份分枝数

第1年1

1YY¥第2年1

第±1年第2年第3年第4年第5年第3年2

（第10题）

第4年3

第5年5

100、若“！”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2X1=2,3!=3X2X1=6,4!

二4X3X2X1,…，则吼的值为（

)

98;

50

A.B.99!C.9900D.2!

49

37.右边给出的是2004年3月份的日历表，

日一二三四五六

任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程

1246

思想来研究，发现这三个数的和不可能是（）35

78910111213

A.69B.54

14161718

C.27D.40151920

21222324252627

29

38、观察下列分母有理化的计算：283031

-=A/3-1；/l=V5_V3；\=-若……,从计算结果中

V3+1V5+V3+V5

找出规律，并利用这一规律计算:

2(-------------1------------------1-----------------1■…H——,----------------==

1+V3V3+V5V5+V772003+72005

39、观察下列等式:

12-02=R22-12=3>32-22=5^42-32=7……，用含自然数〃的等式表示这种规

律为____________________

40、(蓝田中学)问题：你能很快算出20052吗？

为了解决这个问题，我们考察个位上的数是5的自然数的平方.任意一个个位数为5

的自然数可写成10〃+5,即求(10〃+5)2的值"为自然数).你试分析11=1,11=2,11=3〃“，

这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果).

(1)通过计算，探索规律：

15,=225可写成100X1(1+1)+25,25，=625可写成100X2(2+1)+25,352=

1225可写成100X3(3+1)+25,45?=2025可写成100X4(4+1)+25,85,=7225

可写成，…，20052=4020025可写成.

(2)从第(1)的结果，归纳、猜想得：(10〃+5y=.

41、(03济南)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两

个重要结论：

一是发现抛物线y=a/+2x+3(a^O),当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；

1

二是发现当实数a变化时，若把抛物线丁=。/0+21+3的顶点的横坐标减少—，纵坐标增

a

加,，得到A点坐标；若把顶点的横坐标增加,，纵坐标增加,，得到B点的坐标，则A、

aaa

B两点一定仍在抛物线y=ax?+2x+3上。

⑴请你协助探求当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式；

⑵问题⑴中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出他来吗？并说明理由；

⑶在他们第二个发现的启发下，运用“一般-----特殊---------般”的思想，你还能发现什

么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立，请说明理山。

42、已知：2+-=22X-,3+-=32X-,4+—=42X—,若10+@=1（）2'@

33881515bb

（a、b为正整数），则a+b=。（03济南）

43.（01乌市）计算：①（J5+U、历一1）=.

②（V3+y/2^/3—V2）—.

③（2+6匕—=.

④（^5+2^V5—2）=.

通过以上计算，观察规律，写出用n（〃为正整数）表示上面规律的等式

『+1+2.

-----------=Z

44、（05武汉）在同一平面上，1条直线把一个平面分成2个部分，2条直线

21+2+2_13'+3+2_.

把一个平面最多分成2一个部分，3条直线把一个平面最多分成2

个部分，那么8条直线把一个平面最多分成部分。

45.观察下列各等式；

4-2=4+2,

（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的等于这两个实数的

如果等号左边的第一个实数用X表示，第二个实数用y表示，那么这些等式的共同特征

可用含x、y的等式表示为；

（2）将以上等式变形，用含y的代数式表示x：；

（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写成等式形式:

__________________________________________.（04西城测）

46.（10分）规定：正整数n的“H运算”是①当n为奇数时，H=3n+13；②当n为偶

数时，H=nx—X—x....（其中H为奇数）。

22

如：数3经过1次“H运算”的结果是22,经过2次“H运算”的结果是11,经过3

次“H运算”的结果是46。

请解答：（1）数257经过257次“H运算”得到的结果。

（2）若“H运算”②的结果总是常数a,求a的值。（04d廉州）

47.用计算器探索：按一定规律排列的一组数：1,及，—JL2,VL一娓,V7,…,

如果从1开始依次连续选取若干个数，使它们的和大于5,那么至少要选个数.(03

泰州)

48、观察下列等式:

1=12

1+3=2?

1+3+5=32

根据观察可得：1+3+5+…+2"-1=.(n为正整数)(03肇庆)

49、观察下列不等式，猜想规律并填空：

£]_

12+22>2X1X2；(痣)2+(2)2>2XV2x2

2?V22Vi2〉2X及X血

(-2)+3>2X(-2)X3；+

2222

(-4)+(-3)>2X(-4)X(-3)；(-V2)+(V8)>2XV2X^

a+b>(aNb)(03宜昌)

50、观察下列等式，你会发现什么规律：

1X3+1=%2X4+1=32；3X5+1=42；4X6+1=5M…….请将你发现的规律用仅

含字母n(n为正整数)的等式表示出来：.(03无锡)

51、观察下列各式:1X3=12+2X1,

2X4=22+2X2,

3X5=32+2X3,

52.已知：两个正整数的和与积相等，求这两个正整数。

解：不妨设这两个正整数为a、b,且aWb。

由题意,得ab=a+b,..........................(*)

则ab=a+bWb+b=2b,所以aW2。

因为a为正整数，所以a=l或2。

①当a=l时，代入等式(*),得\b=l+b,b不存在；

②当a=2时，代入等式(*),得2-b=2+b,b=2。

所以这两个正整数为2和2。

仔细阅读以上材料，根据阅读材料的启示，思考是否存在三个正整数，它们的和与积相等？

试说明你的理由。(04淮安)

53、张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表:

n2345・・・

a2-13-142T52T・・・

b46810・・・

c22+l32+l42+l52+l・・・

（1）请你分别观察a、b、c与〃之间的关系，并用含自然数n（n>l）的代数式表示:

a=,b-,c=.

（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.（04龙岩）

54.（06姿阳）在很小的时候，我们就用手指练习过数数.•个小朋友按如图5所示的规则

练习数数，数到2006时对应的指头是（填出指头

-P-X

的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小

指）.

图5

55、你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用•根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合,

再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条.如下面的草图所示:

第•次捏合后第二次捏合后第三次捏合后

这样捏合到第次后可拉出128根细面条.（02济南）

56.（05河北）-根绳子弯曲成如图3—1所示的形状。当用剪刀像图3—2那样沿虚线a把

绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图3-3那样沿虚线b（b〃a）把绳子再剪•

次时，绳子就被剪为9段。若用剪刀在虚线a,b之间把绳子再剪（n-1）次（剪刀的方

向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是

A.4n+lB.4n+2C.4n+3D.4n+5

57、几何（03泰安）（1）已知AABC为正三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线

CA上任意一点，且BM=CN,直线BN与AM相交于Q点.就下面给出的三种情况（如图

①、②、③），先用量角器分别测量/BQM的大小，然后猜测NBQM等于多少度？并利用

图③证明你的结论.

（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD（如图④）、正五边形ABCDE（如图

⑤）。正六边形ABCDEF（如图③）、……、正n边形ABCD…X（如图（n））,“点N是射线

CA上任意一点”改为点N是射线CD上任意一点，其余条件不变，根据（1）的求解思

路，分别推断/BQM各等于多少度，将结论填入下表：

正多边形正方形正五边形正六边形……正九边形

ZBQM......

的度数

58、几何在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌

成美丽的图案.也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留

下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）.这显然与正多边形的内角大小

有关.当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）

时，就拼成了一个平面图形.

⑴请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数…

3456n

正多边形每个内角的度数

⑵如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？

⑶从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出

用这两种不同的正多边形镶嵌成的•个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能