2021届寒假数学每日训练（4题）

高语何孽的:

在路上，正青春，有梦想

斛题不单单是为了找答案，而在于

思维的锻炼！

做题的目的只是作为提升能力和培

养习惯的载体，时间长了，题目自然忘

了，但是能力上去了就不会下来，习惯

养成了就不会轻易改变！

2021届九年级寒假数学重点题型突破

第1天

I.如图，ZvlBC中，NACB=90°,AB=12,点力、E分别是边AB、BC的中点，CD与

AE交于点。，则。。的长是.

2.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,NB=30°,A5=4,点。、F分别是边AB,BC

上的动点，连接CD,过点A作AELCD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则G/

2

的最小值是

3.如图，在△ABC中，已知，AB=AC=6,BC=\O.E是C边上一动点(E不与点B、C

重合)，ZYDEF丝ZXABC.其中点A,8的对应点分别是点。、E,且点E在运动时，DE边

始终经过点A,设EF与AC相交于点G,当AAEG为等腰三角形时，则BE的长为.

4.已知：如图1,AABCt1,AB=AC,BC=6,BE为中线，点。为BC边上一点，BD=2CD,

OF_L8E■于点F,EHLBC于点H.

(1)CH的长为；

(2)求的值；

(3)如图2,连接FC,求证：NEFC=/ABC.

2021届九年级寒假数学解题方法突破

第2天

1.△ABC中，BC=6,AB=273,NABC=30°,点P在直线AC上，点P到直线AB的

距离为1,则CP的长为.

2.如图，在x轴的上方，直角/BOA绕原点。按顺时针方向旋转.若NBOA的两边分别与

12

函数y=——,y=—的图象交于B、A两点，则cosNOAB的值为.

XX

尸；

3.在四边形A8C。中，AB=AD=5,8c=12,NB=ND=90°，点M在边8c上，点N在

四边形ABC。内部且到边AB、AD的距离相等，若要使△CMN是直角三角形且△AMN是等

腰三角形，则MN=.

4.如图，己知两个全等的等腰三角形如图所示放置，其中顶角顶点(点4)重合在一起，连

接8。和CE,交于点尸.

(1)求证：BD=CE；

(2)当四边形ABFE是平行四边形时，且AB=2,NBAC=30°,求CF的长.

BC

2021届九年级寒假数学解题方法突破

第3天

1.如图，在四边形A8CO中AC,8。为对角线，AB^BC=AC=BD,则NADC的大小

为.

2.已知函数y=—》2+以一：+；,若函数在OWxWl上的最大值是2,则〃的值为.

3.已知aABC是等腰直角三角形，AB=AC,。为平面内的任意一点，且满足CD=AC,若

△AQB是以AQ为腰的等腰三角形，则NCC8的度数为.

4.如图，在△ABC中，NACB=90°,AC=BC,CD是A8边上的中线，点E为线段CO上

一点(不与点C、。重合)，连接BE,作EFLBE与AC的延长线交于点F,与BC交于点

G,连接BF.

(1)求证：/\CFGSAEBG；

(2)求/EFB的度数；

(3)求存DE的值.

CF

ADB

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第4天

15A/?

1.如图，在边长为上丝的正方形ABC。中，点E,尸是对角线AC的三等分点，点尸在

2

正方形的边上，则满足PE+PF=5后的点尸的个数是.

2.如图，菱形ABC。的边长为2g,NA8C=60°,点E、F在对角线80上运动，且

EF=2,连接AE、AF,则△/1£：尸周长的最小值是.

3.如图，正方形ABC。的边长为2,点E是边4。的中点，以EC为边作正方形CEFG,则

点。与点F之间的距离等于.

4.如图，在等边△ABC中，BD=CE,连接A。、BE交于点F.

(1)求NAFE的度数；

(2)求证：ACDF=BD,BF；

(3)连接尸C,若C凡LAO时，求证：BD=-CD.

2

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第5天

1.如图,在矩形4BC。中放置了一个直角三角形EFG,/EFG被AO平分，若NCEF=35°,

则的度数为.

2.在边长为2的正方形ABC。中，点E是4。边上的中点，BF平分NEBC交CD于点、F,

过点F作FGVAB交BE于点H,则GH的长为.

3.如上右图，在矩形A8C。中，AO=4,AC=8,点E是AB的中点，点尸是对角线AC上

一点，△GE尸与△AEF关于直线EF对称,EG交AC于点H,当△CGH中有一个内角为90°

时，则CG的长为.

4.如图，在△ABC中，AC=J记，tan4=3,N4BC=45°,射线B。从与射线84重合的

位置开始，绕点8按顺时针方向旋转，与射线BC重合时就停止旋转，射线8。与线段4c

相交于点。，点M是线段8。的中点.

(1)求线段BC的长；

(2)①当点力与点A、点C不重合时，过点。作QELA3于点E,OFLBC于点F,连接

ME,MF,在射线8。旋转的过程中，/E用尸的大小是否发生变化？若不变，求NEMF的

度数；若变化，请说明理由.

②在①的条件下，连接EF,直接写出△EFM面积的最小值.

BB

备用图

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第6天

1.如图，在△A8C中，ZB=60°,AB=8,BC=10,E为A3边上任意点，EF_LBC于点F,

EG〃8C交AC于点G,连接尸G,若四边形BEG尸为平行四边形，则4E=.

2.如图，A8=4,P为线段A8上的一个动点，分别以AP,P8为边在AB的同侧作菱形APC。

和菱形P8FE,点尸，C,E在一条直线上.ND4P=60°,M,N分别是对角线AC,BE

的中点，当点尸在线段AB上移动时，点M,N之间的距离最短为.

3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,过矩形ABCD的对角线交点O作直线分别交

AD.BC于点E、F,连接4凡若aAE尸是等腰三角形，则AE=.

4.如图，点C为线段AB上一点，分别以A8、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形,

(1)如图1,若点C是AB的中点，则NA£>E=°；

(2)如图2,若点C不是AB的中点，①求证：△OEF为等边三角形;

②如图3,连接CD,若NAOC=90°,AB=3,求E尸的长.

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第7天

1.如图，已知直线y=-'x+l与x轴、y轴分别交于A、B两点，平行四边形ABCO的顶点

4

C、。在双曲线y=K(x>0)上，若C点的横坐标为1,则％的值为

x

2.如图，在△A8C中，NC4B=90°,AB=AC=4,P为AC中点，点。在直线8c上运

动，以AO为边，向A。的右侧作正方形AOE凡连接尸F,则在点。的运动过程中，线段

PF的最小值为.

3.如图，四边形ABC。中，AD//BC,AD=Scm,BC=\2cm,M是BC上一点，且8M=9的，

点E从点A出发以lcm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cmls的速度向点B运

动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为f,则当以A、M、E、F为顶

点的四边形是平行四边形时，f=

4.定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线,

其中落在三角形内部的部分叫做中分线段.

(1)如图，/XABC中，AC>AB,OE是△ABC在2C边上的中分线段，尸为AC中点，过

点8作OE的垂线交AC于点G,垂足为“，设AC=b,AB=c.

①求证：DF=EF；

②若h=6,c=4,求CG的长度；

(2)若题(1)中，SABDH=SAEGH，求一的值*

C

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第8天

1.如图，矩形ABCD中，BOAB,对角线AC、BO交于。点，且AC=10,过B点作BE_L

AC于E点，若BE=4,则AD的长等于.

2.如图，反比例函数y=K（x>0）的图象与矩形AOBC的两边AC,

BC边相交于E,F,已

X

8

知OA=3,03=4,的面积为一,则k的值为________.

3

3.如图，在矩形ABCD中，AO=8,AB=\4,E为OC上的一个点,将△AOE沿AE折叠,

的速度沿3A方向向点A匀速运动，同时点。由A出发，以4cw/s的速度沿AC向点C匀速

运动.连接P。，设运动的时间为t（单位：s）（0WfW4）.

（1）求点P到AC的距离（用含f的代数式表示）；

（2）求■为何值时，线段PQ将△ABC的面积分成的两部分的面积之比为3：13；

（3）当△4PQ为直角三角形时，求f的值.

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第9天

1.如图，在矩形A8CO中，点”为边BC的中点，点G为线段£>，上一点，且N8GC=90°,

延长BG交CD于点E,延长CG交AO于点凡当CZ)=4,£>E=1时，则。尸的长

2.如图，正方形ABC。的边长为2,延长48至E,使得A8=BE,连接CE,P为CE上一

动点，分别连接办、PB,则附+PB的最小值为.

3.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点。是4B的中点，点P是直线AC

上一点，将△4OP沿。P所在的直线翻折后，点4落在4处，若AiOLAC,则点P与

点A之间的距离为.

4.已知，如图，点尸是nABCQ外一点，PE〃AB交BC于点E.朋、分别交8C于点M、

M点M是8E的中点.

(1)求证：CN=EN；

(2)若平行四边形ABC。的面积为12,求△PMN的面积.

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第10天

1.如图，在△ABC中，AB=AC=6,。是AC中点，E是BC上一点，BE=-,

2

ZAED=ZB,则CE的长为.

2.如图，在AABC中，BC=6,——=—,动点P在射线E尸上，BP交CE于点、D,

EBFC

NCBP的平分线交CE于点Q,当C。=』CE时，EP+BP的值为_____________.

4

3.在△ABC中，ZACB=90Q,AC=4,A2=5,点E、F分别在AC、AB上，连接ER

将△ABC沿EF折叠，使点A落在BC边上的点。处.若△£＞灯有一边垂直BC,则

EF=:

4.如图，AM是aABC的中线，Z)是线段AM上一点(不与点A重合).交AC于

点F,CE//AM,连接AE.

(1)如图1,当点。与M重合时，求证：AB=ED；

(2)如图2,当点。不与M重合时，请判断四边形A8QE的形状，请说明理由；

(3)如图3,延长8。交AC于点”，BH1.AC,且当FH=6DM=6

时，求。〃的长.

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第11天

I.如图，等边△ABC的边长为4,点。是边AC上的一动点，连接BD,以8。为斜边向上

作等腰连接AE,则AE的最小值为,

2.在RtZ\ABC中，/C=90°,AB=10的，AC=8c»7,点P为边AC上一点，且AP=5。”.点

Q为边AB上的任意一点(不与点A,8重合)，若点A关于直线PQ的对称点4恰好落在

△ABC的边上，则A。的长为cm.

3.如图，在等边△ABC中，AB=4cm,点M为边BC的中点，点N为边AB上的任意一点

(不与点4,8重合).若点B关于直线MN的对称点恰好落在等边△4BC的边上，则

BN的长为cm.

4.如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，A/平分NEAD,交CD于点F.

(1)如图1,若点尸恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；

(2)在(1)的条件下，求C匕E的值；

BC

(3)如图2,延长A尸交BC的延长线于点G,延长AE交DC的延长线于点H,连接

HG,当CG=OF时，求证：HG1AG.

AD

rHCH

图1图2

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第12天

I.如图，在矩形ABC。中，AB：BC=3：5,点E是对角线8。上一动点（不与点B,。重

合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A,8的对应点G,F分别在直线AZ）与BC

上，当尸为直角三角形时，CN：BN的值为.

2.如图，在△ABC中，已知：AB=AC=6,BC=8,P是BC边上一点（P不与点8,C重合），

NDPE=/B,且。P边始终经过点A,另一边PE交AC于点F,当AAPF为等腰三角形

时，则户8的长为.

3.如图，在矩形A8C。中，4B=1,BC=6,将矩形折叠，使A落在BC（含端点）上点M

处，这时折痕EF与AO或边CQ（含端点）交于F,然后展开铺平，以A、M、F为顶点作

△AMF,当尸的面积最大时，CM的长度为.

4.在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,力是BC的中点，E是AO的中点，过点A作4F〃BC交

BE的延长线于点F.

（1）证明四边形ADC尸是菱形；

（2）若AC=4,AB=5,求菱形4OCF的面积.

AF

rE

BDC

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第13天

1.如图，若反比例函数y=&(x<0)的图象经过点(―0.5,4),点A为图象上任意一点，点B

x

在X轴负半轴上，连接AO,AB,当AB=04时，ZVIOB的面积为1

BO]x力|

k

2.如图，已知点A(2,3)和点8(0,2),点A在反比例函数y=—的图象上，作射线

AB,交反比例函数图象于另一点再将射线A8绕点A按逆时针方向旋转45°,交反比

例函数图象于点C,则CM的长度为:

3.如图，已知点4是反比例函数y=L(x>0)的图象上的一个动点，连接OA,OBLOA,

x

且OB=2OA,那么经过点B的反比例函数图象的表达式为.

4.如图，在凸四边形中，AB=