辽宁省沈阳市2017-2018年高二年级下册期末学业质量监测数学试题含解析

辽宁省沈阳市重点名校2017-2018学年高二下学期期末学业质量监测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知实数a、b、c、d成等差数列,且曲线y=ln(x+2)—x取得极大值的点坐标为(8c),则a+d等

于()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】

由题意得/'(%)=—1—-1,/'(加=」一一l=0,/3)=ln(b+2)—b=c,解得人=-l,c=L由于是等

x+2b+2

差数列，所以a+d=Z?+c=0,选B.

2.设函数“X)是定义在(3,0)上的可导函数，其导函数为/(%),且有37(力+矿(力<0,则不等

式(尤+2019)3/(x+2019)+8/(—2)<0的解集为()

A.(-2021,-2019)B.(F,—2021)

C.(-2019,-2017)D.(-2021,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件，构造函数g(x)=d/(x),利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数

在(-8,0)上为减函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系

从而解出不等式即可.

【详解】

构造函数g(x)=x3f(x),g\x)=x2(3f(x)+xf\x))；

当x<0时，

2

3/(x)+矿(x)<0,%>0;

g'(x)<0；

g(x)在(-8,0)上单调递减；

g(尤+2019)=(x+2019万(％+2019),g(-2)=-8/(-2)；

由不等式(尤+2019)3/(尤+2019)+8/(-2)<0得：

(尤+2019)3/(x+2019)<-8/(-2)

.-.g(x+2019)<.?(-2)；

.-.x+2019>-2,Kx+2019<0；

-2021<x<-2019；

原不等式的解集为(—2021,-2。19).

故选：A.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平和分析推理能力.

3.复数Z=T」，贝!|忖=()

1+1

1L

A.0B.-C.1D.J2

2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算，先化简复数，再由复数模的计算公式，即可求出结果.

【详解】

田七_l-i_d-i)2_-2/_.

1+i(l+i)(l-i)2

所以同=1.

故选c

【点睛】

本题主要考查复数的除法，以及复数的模，熟记公式即可，属于基础题型.

4.已知等差数列｛%｝的前“项和为S”，4=4,邑=56,则%=()

A.10B.12C.16D.20

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等差数列的前〃项和公式以及通项公式即可求出.

【详解】

57=7(。；%)=7'=56,

..二8,

“3=4,

:.d=a，一%=4,

o-j=%+4d=20

故选：D

【点睛】

本题考查了等差数列的前,项和公式以及通项公式，考查了学生的计算，属于较易题.

5.观察下列等式，13+23=32,13+23+33=62-13+23+33+43=102,根据上述规律，13+23+33+43+53+

63=()

A.192B.202C.212D.222

【答案】C

【解析】

,所给等式左边的底数依次分别为L2；1,2,3；1,2,3,4；

右边的底数依次分别为3,6,10,(注意：这里3+3=6,6+4=10),

二由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6,

右边的底数为10+5+6=21,又左边为立方和，右边为平方的形式，

故有F+23+33+43+53+63=2俨,故选C.

点睛：本题考查了，所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理.它与演绎推理的思维进程

不同.归纳推理的思维进程是从个别到一般，而演绎推理的思维进程不是从个别到一般，是一个必然地得

出的思维进程.解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律.观察前几个式子的变化规律,

发现每一个等式左边为立方和，右边为平方的形式，且左边的底数在增加，右边的底数也在增加.从中找

规律性即可.

「(2+0(3+0.、

6.------------------=()

1+z

A.5B.5iC.6D.6i

【答案】A

【解析】

【分析】

由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可

【详解】

由题(2+')(3+上央U.

'1+z1+z

故选A

【点睛】

本题考查了复数的运算，属于基础题.

7.对于偶函数y=/(%)(尤eR),“y=/(x)的图象关于直线x=l对称”是“y=/(x)是周期为2的

周期函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件D.充要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

将两个条件相互推导，根据推导的结果选出正确选项.

【详解】

依题意，函数/(%)为偶函数，即〃f)=/(x).“y=/(X)的图象关于直线％=1对称”。

/(l-x)=/(l+x)<^/(x+2)=/(l+l+x)=/[l-(l+x)]=/[T]=〃X)O”=/(x)是周

期为2的周期函数”.故为充要条件，即本小题选D.

【点睛】

本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题.

8.已知变量x,y呈现线性相关关系，回归方程为少=1-2无，则变量x,y是()

A.线性正相关关系B.线性负相关关系

C.由回归方程无法判断其正负相关关系D.不存在线性相关关系

【答案】B

【解析】

【分析】

根据变量x,y的线性回归方程的系数匕<0,判断变量x,y是线性负相关关系.

【详解】

根据变量x,y的线性回归方程是y=l-2x,

回归系数b=_2<0,

所以变量x,y是线性负相关关系.

故选:B.

【点睛】

本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目.

9.已知creR,sintz+2costz=----,贝！Itan2a=()

2

4334

A.-B.-C.——D.——

3443

【答案】C

【解析】

【分析】

将sina+2cosa=亚两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan。,

2

再利用二倍角的正切公式即可求出tan2a.

【详解】

、壬口开心八|

5z__2.2，•，2sin2a+4sinacosa+4cos2a

—=(smtz+2cosa)=sirra+4sinacostz+4cosa--------------力-------------------冉I可时除以

2sina+cosa

2族,伯taira+4tantz+45c2cc八

cos2a，整理得--------；------------=-=>3tarra—8tana-3=0

tan-a+12

,,1八、、c2tana,E，、3

故tana=3或tantz=—-,代入tan2a=-------,<tan2a=——.

3l-tania4

故选C.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.

10.若复数z满足（1+z・==2,则在复平面内，z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】

由题先解出5,再利用z来判断位置

【详解】

-22(J)

(l+/)z=2,…节=l-z

:.z=l+i

・•.Z在复平面对应的点为（1,1）,即在第一象限，故选A

【点睛】

本题考查复数的除法，复数的概念及几何意义，是基础题.

11.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A.192种B.216种C.240种D.288种

【答案】B

【解析】

分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论.

解：最左端排甲，共有用=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有C：A：=96种，根据加法原理可得，

共有120+96=216种.故选B.

12.在用反证法证明命题“三个正数a,b,c满足a+b+cW6,则a,b,c中至少有一个不大于2”时，下

列假设正确的是()

A.假设a,b,c都大于2B.假设a,b,c都不大于2

C.假设a,b,c至多有一个不大于2D.假设a,b,c至少有一个大于2

【答案】A

【解析】

【分析】

否定结论，同时“至少有一个”改为“全部”

【详解】

因为“a,b,c至少有一个不大于2”的否定是“a,b,c都大于2"，故选A.

【点睛】

本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”

等词语需要改变.

二、填空题：本题共4小题

13.已知函数/(x)=，3,则当函数户O)=/(x)-依恰有两个不同的零点时，实数。的取值

Inx,x>1

范围是.

r田田、「1n

【答案】三，一

[3Q)

【解析】

【分析】

由题方程/(x)=⑪恰有两个不同的实数根，得、=/(%)与丁="有2个交点，利用数形结合得a的不

等式求解即可

【详解】

由题可知方程/(%)=ax恰有两个不同的实数根，所以y=/(%)与y=办有2个交点，

1,、，1

因为。表示直线y="的斜率，当犬>1时，/(%)=-,设切点坐标为(小，%)，k=—,

xxo

1/\1

所以切线方程为y-%=—(x-/)，而切线过原点，所以%=1,%=e,k=—,

xoe

所以直线4的斜率为1，直线/，与y=：x+l平行，所以直线人的斜率为工，

e33

所以实数°的取值范围是

L3ej

故答案为

L3ej

【点睛】

本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意

临界位置的开闭，是易错题

2丫+3

14.已知函数/(尤)的导函数为了'(X),且对任意的实数X都有r(x)==F-/(x)(e是自然对数的底数),

e

且/(0)=1,若关于x的不等式f{x}-m<0的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是.

【答案】(-e,0]

【解析】

【分析】

由/(X)=号？T(x)得⑺+/(切，=2X+3,即(x)e*]=2x+3.设

f(x)ex=x2+3x+c,由"0)=1得c=l,从而f(x)=-(*+2)(XT).判断函数八无)的单调性,数

ex

形结合求实数小的取值范围.

【详解】

=+=2x+3,

即[/(x)/]=2x+3.

设〃x)/=/+3x+c,二/(x)="+干+’

/(0)=l,.-.c=l,.-./(x)=X-+^+1

,，/、-x2-x+2(x+2)(x-l)

由W-2<x<1；由/(%)<0,得光>1或1<—2,

二函数/(x)在(-2,1)上单调递增，在(F2)和(1,+⑹上单调递减，如图所示

¥

；/-4-

|/-4-

•«-•

二当％=-2时，=-e2.

又〃-1)=一ej(—3)=e3,且无＞0时,/(x)＞0,

由图象可知，要使不等式/(x)〈机的解集中恰有两个整数，

需满足/(—1)＜机＜。，即—e＜mW0.

所以实数机的取值范围为(-e,0].

故答案为：(―e,0].

【点睛】

本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.

15.在斜三棱柱ABC—44G中，底面边长和侧棱长都为2,若AB=Z；AC=c，且

ZBA4,=ZCA4=60°,则的.5cl的值为

【答案】4

【解析】

【分析】

根据向量线性运算分别表示出股,结合向量数量积运算即可求解.

【详解】

根据题意，画出空间几何体如下图：

44,=a,AB=b，AC=c，且NR，%=NCL4,=60。，且底面边长和侧棱长都为2

贝！

1AB,=a+b,BC[=AC]-AB=a+c-b

所以股

=(a+3),+£1-3)

22

=a+a-c+b-c-b

-a+a-cCOSZAJACH-b-ccosZABC-|/?|

=22+2x2cos60+2x2cos60-22=4

故答案为：4

【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算和数量积的应用，属于基础题.

16.甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、。三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名

同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是.

【答案】|

【解析】

【分析】

可把甲乙看成一个整体，再分到三个社区，算出对应的方法种数，再由题意算出所有的分配种数，结合古

典概型公式求解即可

【详解】

把甲乙看作一个整体，再与其他两人分到A、B、。三个社区共有用种方法，而所有的分配方法有盘得

种，则甲、乙两人被分在同一个社区的概率是尸=号=/

故答案为：—

6

【点睛】

本题考查排列组合公式的应用，古典概型的求法，属于基础题

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.若(2%—々)7=%+%%+a?/+L+//,且。4=—560.

(I)求实数〃的值；

(II)求生+.+娶+L+3的值.

【答案】(1)«=1:(11)2

【解析】

【分析】

(I)解法1：将(2x-of展开，找出/项的系数表达式，结合条件列方程为=-280求出〃的值；

解法2：利用二项式定理写出(2x-的通项，令x的指数为4,列方程求出参数的值，再将参数代入通

4

项得出x的系数的表达式，结合条件。4=-280列方程求出实数。的值；

(H)解法1：令x=0代入题干等式求出为的值，再令无=g可得出/+事+$++?的值，减去为

可得出幺+"++勺，再乘以2可得出答案；

22-27

解法2:利用二项式定理求出4、%、。3、%、。5、。6、%的值，代入代数式可得出答案。

【详解】

(I)解法1：因为%=婢x2,x(-a)3=_35xl6q3=-560,所以a=l,

7k43

解法2：Tk+l=C7*(2无尸(-“=C/(2p.(-城.x-,a4=C；-2.(-a)=560,

所以a=1o

(n)解法1：当x=0时，a0=-l,当x=g时，«o+y+|?+fi++会=0，

2(%+,+•+争++者)=0,%+%+.++•=2；

—

解法2：由二项展开式分别算出4=14M2=-84,%=280M4=560,a5=672,%=—448,%=128,

代入得…+本+方++%=2。

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查二项式指定项的系数问题，考查项的系数和问题，一般利用赋值法来求

解，考查计算能力，属于中等题。

18.已知函数=-一一(4+l)lnx,k£R.

x

(I)求函数f(x)的单调区间；

(II)当k>0时，若函数f(x)在区间(1,2)内单调递减，求k的取值范围.

【答案】(I)见解析；(II)o<z；<-

2

【解析】

分析：(I)先求出函数的定义域，求导数后根据左的取值通过分类讨论求单调区间即可.(II)将问题转

化为尸(x)WO在(1,2)上恒成立可得所求.

详解：(I)函数/(x)的定义域为(0,+8).

由题意得r(x)="一+:=/一(,功+1=("一11)，

(1)当上W0时，

令/(力>0,解得0<%<1；令/⑴<0,解得X>1.

(2)当左>0时，

①当,<1,即左>1时，

k

令/'(x)>0,解得0<x<)或x>g；令/'(x)<0,解得;<x<l.

KKK

②当左=1时，/'(%)之0恒成立，函数/(X)在(O,y)上为单调递增函数;

③当!〉1,即0<左<1时，

k

令/'(x)>0,解得0<x<l或x〉?；令/'(x)<0,解得

kk

综上所述，

当上W0时，函数/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8)；

当0〈左<1时，函数/(X)的单调递增区间为(0,1),L单调递减区间为

当左=1时，函数/(九)的单调递增区间为(0,+8)；

当左>1时，函数“X)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为+8

(II)因为函数/(%)在(1,2)内单调递减，

所以尸(x)=①俳匚D<0在(1,2)上恒成立.

X

又因为xe(l,2),则无—1>0,

所以近-1W0在(1,2)上恒成立,

即左〈工在(1,2)上恒成立，

X

Ed1I1

因为不<一<L

2x

所以左心，

2

又上〉0,

所以0〈左<L.

2

故k的取值范围为.

点睛：解题时注意导函数的符号和函数单调性间的关系.特别注意：若函数在某一区间上单调，实际上就

是在该区间上尸(X)20(或/(x)W0)(广⑴在该区间的任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离

参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围.

19.已知函数'(其中a>0,且awl),

(1)若/⑴•g(2)+/(2)^l)=g㈤，求实数人的值；

(2)能否从(1)的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.

【答案】(1)k=3(2)猜想:g(x+y)=A»g(y)+/(y>g(x)；证明见解析

【解析】

【分析】

(D分别代入并化简，可得/•⑴运仁升/0^8⑴二8⑶，即可求出答案；(2)猜想：

g(x+y)=〃»g(y)+/(y>ga)；分别代入表达式，化简并整理即可证明.

【详解】

-12-22-2x

加？/1\/i\"+"a—aa+aa—a

解：⑴/(l)-1g(2)+/(2)-g(l)=2X22X2

3-1-33-1-33-3

Q—a+a—aa—a+a—aQ—a

=-----------------------------------+------------------------------------=------------------=g⑶・

442

因为函数；优与-；。-'具有相同的单调性，且都是单调函数,

y=y=所以g(x)是单调函数.

k=3.

⑵由g(3)=g(l+2)=/-(1)-g⑵+/(2)-g⑴,

猜想：g(x+y)^f(x)-g(y)+f(y)-g(x).

，/、/、，/、/、ax+axay-ayay+ayax—ax

证,Ta明n：/(x)-g(y)+/(y)-g(x)=2*2+2*

2

ax+y+ay-x-ax-y-a(x+y)ax+y-ay-x+ax-y-。「"+刃

---------------------------------------------------------1--------------------------------------------------------

44

ax+y-a(x+y),、

---------------=g(x+y).

所以g(x+y)=f(x)-g(y)+f(y)-g(x).

【点睛】

本题考查了归纳推理，考查了学生的推理能力，属于中档题.

20.已知数列｛g｝的前"项和为S“，且满足S〃=g(a“—l),“cN.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

]

(2)令么=loga,记数列＜＞的前〃项和为7“,证明:

2n(4-1)(4+1)1-^4-

【答案】(1)a“=4"(〃eN*)；(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)可以通过取n=l计算出4=4,再通过取nN2时计算出'=4=4,得出答案。

(2)可通过裂项相消求解。

【详解】

(1)当n=l时，有囚=S]=§(囚—1),解得％=4.

当nN2时，有1)，

则an=Sn~Ji=§-1)一§(""T"'

整理得：&=4,.数列｛%｝是以q=4为公比，以6=4为首项的等比数列.

an-l

所以a“=4x4"T=4"(〃eN*),

即数列｛?｝的通项公式为:«„=4n(ne^*).

1\(11)

⑵由⑴有么=咋必=2〃，则仇.1)仇+1)=[罚一罚J

111_______1_______

所以m工=诟+而+而+

(2〃-l)x(2〃+l)

1111111

H-----------

212n-l2〃+1

11-/I

2

易知数列｛I,｝为递增数列，所以!<7；<，

【点睛】

本题考察的是求数列的通项公式以及构造数列然后求和，求等比数列的通项公式可以先求首项和公比，求

和可以通过裂项相消求解。

21.为发展业务，某调研组对A,B两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万

的超大城市和"("eN*)个人口低于200万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市,

4

全是小城市的概率为百.

(1)求"的值；

(2)若一次抽取4个城市，贝！I：①假设取出小城市的个数为X,求X的分布列和期望；

②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.

【答案】(1)8；(2)①分布列见解析，ff；②

【解析】

【分析】

(1)先由题意，得到共〃+7个城市，取出2个的方法总数是C,3,其中全是小城市的情况有C；，由题

C24

中数据，得到万尸=正，求解，即可得出结果；

J+713

(2)①先由题意，得到X的可能取值为0,1,2,3,4,求出对应的概率，进而可求出分布列，得出

数学期望；

②分别求出四个城市全是超大城市，以及四个城市全是小城市的情况，进而可求出对应的概率.

【详解】

(1)由题意，共〃+7个城市，取出2个的方法总数是其中全是小城市的情况有种,

C2n(n-l)4

7

故全是小城市的概率是廿=7——=—，整理得11n2—67〃—168=0,

C+7("+7)5+6)15

即(15+21)5-8)=0,neN*，解得〃=8；

(2)①由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,4.

P(X=0)TJ；P"=1)=容J；P(X=2)=普=||-3)=害=部

C15C15JvC15ojC15lyj

4

P(x)至c2

39

故X的分布列为

X01234

1828562

P

39396519539

32

EX=Ox—+lx—+2x—+3x—+4x——

3939651953915

②若4个城市全是超大城市，共=35有种情况;

若4个城市全是小城市，共有=70种情况;

C435_1

故全为超大城市的概率为z7「4

G+G70+35-3

【点睛】

本题主要考查简单随机抽样的概率，离散型随机变量的分布列与期望，以及古典概型的概率，熟记对应的

概念及公式即可，属于常考题型.

22.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日销量y(单位：千克)与销售价格X(单位：元千克)

满足关系式y=三+10(X-7)2,其中4〈尤＜7,。为常数，已知销售价格为6元/千克时，每日可售

出该商品110千克.

(1)求a的值：

(2)若该商品的成本为4元千克，试确定销售价格》的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【答案】⑴a=200(2)当x=5元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润P=240

【解析】

【分析】

(1)销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克代入函数解得a=200.

(2)求出利润的表达式，求导，根据单调性计算函数的最值.

【详解】

解：(1)当x=6元/千克时，y=2+10=110解得a=200

2

(2)设商场每日销售该商品的利润为P,

则P=(九一4)y=200+10(x—4)(X—7六4<x<7

因为2=10(%一4)心-7)2+10口+4)[(%—7)2[=30(%-5)(》-7)

当xe(4,5)时，P>0,P单调递增，当％《5,7)时，P<0,p单调递减

所以当x=5元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润P=240

【点睛】

本题考查了函数的应用，求函数的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.

辽宁省沈阳市重点名校2018-2019学年高二下学期期末学业质量监测数学试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，则复数z=」一在复平面内对应的点位于()

1+Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共物复数，化简复数z,从而可得结果.

ii(l-i)71+i11

详解：：由于复数，2^-^=；=—=-+-i,

1+z(1+1)(1-1)222

在复平面的对应点坐标为，

二在第一象限，故选A.

点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌握

纯虚数、共朝复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运

算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2.已知随机变量X服从正态分布N(3,cy2),且尸(XW6)=0.9,则尸(0<X<3)=()

A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7

【答案】A

【解析】

P(x<6)=0.9,

P(x>6)=1-0.9=0.1.

P(x<0)=P(x>6)=0.1,

..P(0<x<3)=0.5-P(x<0)=0.2.

故答案为A.

3.已知椭圆。：三+/=1(。〉6〉0)的离心率为手.双曲线必-V=i的渐近线与椭圆C有四个交点,

以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为

x2y2.22

c.——+匚=1D.tJ

164205

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

由题意，双曲线y2=i的渐近线方程为丫=土乙

・•,以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16,故边长为4,

22

(2,2)在椭圆C：—+==l(a〉6〉0)上,

・"=1，

ab

.e=且，=储=好

2a24

a2=20,b2=5

22

..椭圆方程为：—+^=1.

205

故选D.

考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.

47r

4.曲线、=工+45皿%在》=q-处的切线的斜率为（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

47r7i

=

因为y'=l+4cosx,所以VI4«.1+4COS—=1-4C<25-=-1.

药亏33

故选B.

5.平行于直线2x+y+l=0且与圆三+丁=5相切的直线的方程是（）

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+&=0或2x+y—百=0

C.2x-y+5=0或2x_y_5=0D.2x—y+=0或2x—y-■q=0

【答案】A

【解析】

设所求直线为2x+y+c=0,

由直线与圆相切得，

Id=也,

V22+l2

解得c=y.所以直线方程为2x+y+5=0或2叶厂5=0.选A.

6.已知命题“VxeR,使得2/+(。—l)x+g>0”是真命题，则实数。的取值范围是()

A.(-OO.-1)B.(-3,+oo)C.(—1,3)D.(-3.1)

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二次函数与二次不等式的关系，可得函数的判别式/<0,从而得到-1<a<3.

【详解】

1

由题意知，二次函数的图象恒在了轴上方，所以A=(a-1)9?-4-2•—<0,

2

解得：—l<a<3,故选C.

【点睛】

本题考查利用全称命题为真命题，求参数的取值范围，注意利用函数思想求解不等式.

7.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用2x2列联表，由计算得片«7.218,

参照下表：

P(K*k°)0.010.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

得到正确结论是()

A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”

B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”

C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”

D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”

【答案】B

【解析】

【分析】

通过K227.218与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.

【详解】

解：K2°7.218>6.635,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.

【点睛】

本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.

8.已知函数〃x)=x+ae",则“a>—1”是“曲线y=/(%)存在垂直于直线x+2y=0的切线”的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据“曲线y=/(x)存在垂直于直线x+2y=。的切线”求。的范围，再利用充要条件的定义判断充

要性.

【详解】

由题得切线的斜率为2,

所以/(x)-1+aex-2,:.aex=1,.,.a=—>0

ex

因为{a|a>—l}=){«|a>0},

所以“a>—1”是“曲线y=/(x)存在垂直于直线x+2y=0的切线”的必要不充分条件.

故答案为B

9.已知函数y=/(x)的图象关于直线x=0对称，当xe(0,+8)时，/(x)-log2x,若a=/(—3),

b=心,c=f(2),则aS,c的大小关系是

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【解析】

函数y=/W的图象关于直线％=0对称,所以y=/(%)为偶函数，

当xe(O,+8)时，/(x)=log2x,函数单增，

a=/(-3)=/(3)源=/£|,c=/(2),

因为3>2>J,且函数单增，故/(3)〉/(2)〉/［；),即a>c>b,故选D.

io.下列四个命题中真命题是

A.同垂直于一直线的两条直线互相平行

B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱

C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条

D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个

【答案】C

【解析】

【分析】

通过“垂直于同一直线的两条直线的位置关系不确定”可判断A是否正确；通过“底面各边相等，侧面都

是矩形的四棱柱底面不一定是正方形”可判断B是否正确；通过“两条异面直线的公垂线是唯一的，所以

经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条”可判断C是否正确；通过“经过球面上任意

两点的大圆有无数个”可判断D是否正确。

【详解】

A项：垂直于同一直线的两条直线不一定互相平行，故A错；

B项：底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故B错；

C项:两条异面直线的公垂线是唯一的，所以经过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，

故C正确；

D项：过球面上任意两点的大圆有无数个，故D错，故选C项。

【点睛】

本题考查了命题真假的判定以及解析几何的相关性质，考查了推理能力，考查了数形结合思想，属于基础

题，在进行解析几何的相关性质的判断时，可以根据图像来判断。

11.对两个变量x,y进行回归分析,得到一组样本数据：（%,yD,（X2,y2）,-（xn,%）,则下列说法

中不正确的是

A.由样本数据得到的回归方程y^bx+d必过样本点的中心（三,7）

B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C.用相关指数V来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好

D.两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于L

【答案】C

【解析】

由样本数据得到的回归方程y=bx+a必过样本中心（x,。，正确；

残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，正确

用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大，说明模型的拟合效果越好，不正确，

线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，故正确。

故选：C.

12.已知函数/（x）=x+sinx,xeR,茗a=f10gl3,b=flog/,。=/（2-2）则。也。的

k27\37

大小为（）

A.a>b>cB.b>c>aC.ob>aD.b>a>c

【答案】C

【解析】

【分析】

对函数/(x)=x+sinx求导，确定函数的单调性，然后确定蜒产叫？？?这三个数之间的大小关系，

最后利用函数的单调性判断出a,b,c的大小关系.

【详解】

/(x)=x+sinx=>/(x)=l+cosx>0,所以/(%)是R上的增函数.

2

log13=-log23<-log22=-1,0>log12=-log32>-log33=-1,2->0

23

2

所以c=f(2-)>b=/flogl2]>。=/pogl3],故本题选c.

【点睛】

本题考查了利用导数判断出函数的单调性，然后判断函数值大小关系.解决本题的重点是对指数式、对数

式的比较，关键是对指数函数、对数函数的单调性的理解.

二、填空题：本题共4小题

13.某个部件由三个元件按图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常

工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布NQOOO.50];，且各个元件能否正常相

互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为

3

【答案】一

8

【解析】

设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,

该部件的使用寿命超过1000的事件为(A^+jB+AB)C.

该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P=x=_.

(那+沁+沁)：2

14.一个碗中有10个筹码，其中5个都标