必修4-20届人教版高中数学 专题2.2.2向量加法运算及其几何意义

第二章平面向量

2.2.1、2.2.2向量加法运算及其几何意义、

向量减法运算及其几何意义

及知识

i.向量的加法

(1)向量的加法

求两个向量和的运算，叫做.

(2)向量加法的三角形法则

如图，已知向量。，b,在平面上任取一点A,作通=a,BC=b,则向量而叫做。与的b和，记作a+b,

即。+5=福+配=/，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的

温馨提示：当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两

个异向共线向量和的情形.

b

b

a^ba+b

(3)向量加法的平行四边形法则

如图，已知两个不共线的向量a和八作。4=a,OB=b,则O、A、8三点不共线，以。4、。分为

邻边作平行四边形。4c3,则对角线上的向量月，此种作法称为向量加法的

BC

温馨提示：若”个向量顺次首尾相接，则由起始向量的指向末向量的的向量就是

它们的和，即京；=豆+豆;+而+…北不+豆:，如图.

(4)和向量的模与原向量之间的关系

一般地，我们有|0+44同+网.

当a与b共线且同向时，|“+6|=同+网；

当a与分共线且异向时，|“+.=同-网；

当a与分不共线时，|a+b|<|a]+B|.

(5)向量加法的运算律

交换律：a+b=b+a；

结合律：(a+b)+c=a+(Z>+c).

注意：

①当。、〜至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立；

②当a、b共线时，交换律和结合律也成立.

(6)向量求和的多边形法则

由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相

加，现以四个向量为例，如图，已知向量a,b,c,d,在平面上任选一点O,作。4=a,AB=b,BC=c,

CD=d,则0力=04+4豆+3右+05=0+》+,+</.

己知〃个向量，依次把这"个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第〃个向量的终点为终点的

向量叫做这〃个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.

(7)向量加法的实际应用

向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何

知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的

应用.

2.向量的减法

(1)相反向量

我们把与向量。长度、方向的向量，叫做。的相反向量，记作-a.

规定零向量的相反向量仍为，且①-(-a)=a；②a+(-a)=(-a)+Q=O；

若a,5互为相反向量，则a=—b=-a,a+b=O.

(2)向量减法的定义

向量a加上向量入的,叫做“与6的差，即a=a+(-b),求两个向量差的运算，叫做向量

的减法，向量的减法实质上也是向量的加法.

3.向量减法的几何意义

(1)非零共线向量a，b的差a-》：

①若a,b反向,则a-8与a同向，且|。-司=同+例.

②若a,。同向，

(i)若同〉同，则a-6与a同向，K|a-Z>|=|a|-|i|;

(ii)若例，则a-b与a反向，Ji|a-Z>|=|Z>|-|a|；

(iii)若同=回，则Q-6=0.

其几何意义分别如图(1)(2)(3)(4).

a

aqa

bbbb

a-br

a'-b

a-ba-ba-fr=0

(1)(2)(3)(4)

（2）非零不共线向量a,〜的差a—5：

①如图，在平面内任取一点O,作O4=a,OB=b,则向量丽为所求，即54=Q4-O®=a-6.即把

两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量.

②如图，在平面内任取一点O,作方=a,砺=5,分别以03为边作平行四边形。4C8,连接84,

则丽=於+。=。-8，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义.

4.向量减法的三角形法则和平行四边形法则

从“相反向量”这个角度有两种作法：三角形法则和平行四边形法则.

减法的三角形法则的作法：在平面内取一点O,作04=a,（）B=b,^BA=a-b,即a-b可以表示从

向量力的终点指向向量a的终点的向量（注意：差向量的''箭头”指向被减向量）.具体作法如图（1）

（a,b不共线）和图（2）、（3）（a,b共线）所示.

减法的平行四边形法则的作法：

当a,力不共线时.如图（1）,在平面内任取一点O,作。4=a,OB=-b,则由向量加法的平行四边

形法则可得反=a+（-b）=a-b,这是向量减法的平行四边形法则.

若a,方同向共线，如图（2）所示;

若a,5异向共线.如图（3）所示.

a

a-b

0A~-B

(0B=a-b)

(1)(2)(3)

5.向量的加法和减法的运算问题

关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过

表示向量的有向线段的字母符号运算来解决.具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将

式子中的“一”改为“+”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可.如“-通”改为

“+BA”.

解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相

应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果.

一♦，霜超。。。盘运♦产蹴二。运。.♦博。•♦运「。母«融•♦竭

K知识参考答案：

1.（1）向量的加法（2）三角形法则（3）平行四边形法则起点终点

2.（1）相等相反零向量（2）相反向量

运♦.:缰•晨运.♦富°.♦运」。<.««一♦.:飕.♦。运°一■。•*«.<><.«««<.<

是重点

1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四

边形法则作出两个向量的和.

K一重点2.掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算.

3.掌握向量减法的概念.

4.掌握相反向量.

K一难点2.理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的.

2.掌握向量加、减法的几何意义.

向量减法运算是加法的逆运算.在理解相反向量的基础上，结合

K一易错

向量的加法运算掌握向量的减法运算.

1.向量加法运算及其几何意义

(1)平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量.

三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”.

(2)当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的.三角形法则作出的图形是平行四

边形法则作出图形的一半.但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用.

(3)向量加法的三角形法则和平行四边形法则是向量加法的几何意义.

【例1】如图，在矩形ABCO中，AO+OB+AD=

A.ABB.ACD.BD

【答案】B

【解析】在矩形ABC。中，AD=BC,^AO+OB+AD=AO+bB+BC=AC,故选B.

【名师点睛】

(1)向量加法的多边形法则：〃个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组

成组向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个法则叫做向量加法的多边形法则.多边

形法则实质就是三角形法则的连续应用.

(2)|a+*|<|a|+|i|.

2,向量加法的运算律

(1)向量的加法与实数加法类似，都满足交换律和结合律.

(2)由于向量的加法满足交换律与结合律，因此多个向量的加法运算就可按照任意的次序与任意组合来进

行.例如，

(a+力)+(c+d)=(6+d)+(a+c),a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(>+e).

【例2】向量(荏++就)+3/化简后等于

A.BCB.ABC.ACD.AM

【答案】C

【解析】（冠-画+（初-硝-亚=与-前一而一丽-就=/-而-用一吏=而+例-

BC=AB-BC=AC.故选C.

【名师点睛】

（1）首先观察各向量字母的排列顺序，再进行恰当的组合，利用向量加法法则求解.

（2）此类问题应根据三角形法则或平行四边形形法则，观察是否具备应用法则的条件，若不具备，应改变

条件，以便使用法则求解.

3.向量的减法运算及其几何意义

（1）向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义可以把减法化为加法.在用三角形法则作

向量减法时，只要记住“连接两向量的终点，箭头指向被减向量”即可.

（2）以向量AB=a,A6=b为邻边作平行四边形ABCQ,则两条对角线的向量为AC=a+/>,BD=b-a,DB=a-b,

这一结论在以后应用非常广泛，应该牢记并加强理解.

【例3】在△ABC中，BC=a,CA=^b,则而等于

A.a+bB.-a-bC.a-bD.b-a

【答案】B

【解析】AB=CB-CA=-BC-CA=-a-b,故选B.

【例4】已知|通|=8,|码=5,则|前1的取值范围是.

【答案】[3,13]

【解析】=月，苑卜IAC-A分|通H同[前日|丽H园，即3[册|013.故答案为：

[3,13].

【名师点睛】本题考查的知识点是两向量的和或的差模的最值，两向量反向，差的模有最大值，两向量反

向，差的模有最小值是解答本题的关键.

\a-b\,⑷一网、⑷+囱三者的大小关系

（1）当向量”与万共线时，

当两非零向量a与力同向时，|a-Z>|=|a|-|Z>|<|a|+|ft|；

当两非零向量a与b反向时，|a-&|=|a|+|6|>|a|-|Z>|；

当a与》中至少有一个为零向量时，|fl-Z>|=|a|-|Z»|=|a|+|/)|.

(2)当两非零向量a与6不共线时，如在△ABC中，AC=a,

AB=b,则BC=AC-4B=a-b,根据三角形中任意两边之差总小于

第三边，任意两边之和总大于第三边，^\\a\-\b\\<\a-b\<\a\+\b\.

综合可知，对任意的向量a与b都有MHWWa-b凶a|+|〃.

只当a与方同向或a与》中至少有一个为零向量时||a|-|训Sa-"中的等号成立；

当a与b反向或a与b中至少有一个为零向量时|a-Z)|W|a|+|Z>|中的等号成立.

4.向量加、减法的综合应用

向量的几何意义及加、减法运算常用来解决平面几何问题，解题时要将所给向量式中各向量进行移项或重

新组合，并灵活运用相反向量，把向量相等、平行、模的关系进行转化.

【例5】在平行四边形A3CZ)中，宓-丽+丽等于

A.BCB.DAC.ABD.AC

【答案】A

【解析】：在平行四边形.458中，配与瓦1是一对相反向量，..•觉=-丽，...而-)千显=交-

BA~BA=BC>故选A.

【名师点睛】注意向量几何意义的应用，利用数形结合的思想解题.

履好题

福基砒

1.在三角形A8C中，BC=a,CA=b,贝=

A.a-bB.b-aC.b+aD.-a-b

2.已知AO为△ABC的中线，则而二

1—.1—.

A.AB+ACB.AB-ACC.-AB--ACD.-AB+-AC

2222

3.已知空间四边形ABC。，链接AC,BD,贝方+8(j+C方为

A.ADB.BDC.ACD.0

4.下列各式不能化简为的是

A.AB+(PA+BQ)B.AB+PC+BA-QC

C.QC-QP+CQD.PA+AB-BQ

5.化简4月-。方+囱5-4《的结果是

A.0B.ACC.BDD.DA

6.在平行四边形A8CO中，AB+CA+BD=

A.ABB.BDC.BCD.CD

7.下列等式一定成立的是

A.AB+AC=BCB.AB-AC=BCC.AB+AC=CBD.AB-AC=CB

8.化简ZC—B/j+C方-

A.ABB.BCC.DAD.0

9.空间四边形ABC。中，若E、F、G、”分别为AB、BC、CD、0A边上的中点，则下列各式中成立的是

A.EB+BF+EH+GH=0B.EB+FC+EH-EG=O

C.EF+FG+EH+GH=0D.~EF-FB+CG+GH

10.化简：(丽+西)+(BC-OC)=__________.

11.AB+DA+BD-BC-CA=_________.

12.(AC-DP)+(CP-BD)=__________.

13.\^AB-AC+BD-CD+AD=__________.

14.在平行四边形4BCC中，化简直+配+丽=_________.

15.设点P是所在平面内一点，S.BC+BA=2BP,则无+雨=__________.

16.CB+AD-AB=

犍力

17.在正方体ABOABICI。中，下列各式中运算的结果与向量同共线的有

①(AB+BC)+CC,；②(AA；+9)+QC；；(3)(AB+)+B|G；④(AAy+A,&)+B]G.

A.1个B.2个C.3个D.4个

18.如图，在平行四边形ABC。中，下列结论中错误的是

A.AB=DCB.AD+AB=AC

C.BC+DC=CAD.AD+CS=0

19.如图，点M是△ABC的重心，则加+—MC为

A.0D.4MD

20.设a,b是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是

A.\a+b\<\a\+\b\B.\a\-\b\<\a+b\C.\a\-\b\<\a\+\h\D.\a\<]a+b\

21.如果一架飞机向东飞行200km,再向南飞行300km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则

A.5>|a|B.s<|a|C.s=\a\D.s与⑷不能比大小

22.如图，。、E、产分别是边A3、BC、CA上的中点，贝IJ诙+方-8后=

A.0D.AF

23.如图所示，在AABC中，点。、E、F分别是边BC、AC的中点，则下面结论正确的是

A

A.AE^AD+FA

C.AB+BC+CA^OD.DE-DE=AD

24.如图，4,B,C,。是平面上的任意四点，下列式子中正确的是

A.AB+CD=BC+DAB.AC+BD=BC+AD

C.AC+DB=DC+BAD.AB+DA^AC+DB

25.设尸是△ABC所在平面内的一点，配+函=2而，则

A.P、A、C三点共线B.P、A、B三点共线

C.P、B、C三点共线D.以上均不正确

26.已知点P在正△A8C所确定的平面上，且满足R4+方+尸右=南，则△ABP的面积与△BCP的面积

之比为

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

27.河水的流速为2m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为

______m/s.

28.有一两岸平行的河流，水速为1,小船的速度为近，为使所走路程最短，小船应朝与水速成°

角的方向行驶.

29.已知在菱形A8CD中，ZDAB=60°,\AB\=2,则|Be+£>C|=.

30.给出下面四个结论：

①若线段AC=AB+BC,则向量比=岫+比;

②若向量Ad=A5+8。，贝lj线段AC=A8+8C；

③若向量A豆与8。共线，贝I线段AC=AB+BC；

④若向量A否与8c反向共线，贝I」|-BC\=AB+BC.

其中正确的结论有.

31.如图，在平行四边形ABC。中，E为OC边的中点，且A月=«,AD=b,求8百（用a,b表示）.

32.某人在静水中游泳的速度为千米/时，他现在水流速度为4千米/时的河中游泳.

（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？

（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

33.如图，一条东西走向的大江，其河岸A处有人要渡江到对岸8处，江面上有一座大桥AC,已知3在A

的西南方向，C在4的南偏西15。，BC=10公里.现有两种渡江方案：

方案一：开车从大桥AC渡江到C处，然后再到8处；

方案二：直接坐船从A处渡江到对岸5处.

若车速为每小时60公里，船速为每小时45公里（不考虑水流速度），为了尽快到达B处，应选择哪

个方案？说明理由.

奠致

34.（2014•福建）设M为平行四边形A8C。对角线的交点，O为平行四边形A8CO所在平面内任意一点,

则+O豆+等于

A.OMB.2OMC.3OMD.^OM

K好题参考笞宗

123456789

DDADADDDB

17181920212223242526

DCCDAADBAB

1.【答案】D

【解析】AB=CB-CA=-BC-CA=-a-b,故选D.

2.【答案】D

【解析】为△A8C的中线，，山平行四边形法则得而(AB+AC)=-AB+-AC.故选D.

222

3.【答案】A

【解析】AB+BC+CD=AC+CD=AD,故选A.

4.【答案】D

【解析]A,AB+\PA-BO]=PA-AB-BQ=PO；B,AB-PC-RA-QC=AB+BA+PC+CQ=PQ

c,oc-op-cd=oc-pd^cd=oc^cd+pd=o-pd=po}D,PA+AB-BO=PB-BO,jfii

PB-BQ=PO.故选D.

5.【答案】A

【解析】^^=AB+BD-CD-AC=AD+DC+CA=O,故选A.

6.【答案】D

【解析】画出图形，如图所示.AB+CA+BD=(AB+BD)+CA=Al5+CA=CA+AD=W.AijitD.

fB

7.【答案】D

【解析】A,AB+AC^BC,不正确；B,AB-AC=CB^BC,因此不正确；C,AB+AC^CB,不

正确；D,AB-AC=CB,正确.故选D.

8.【答案】D

【解析】AC-BD-CD-AB=(AC-CD)-(AB-BD)=AD-AD=O,故选D.

9.【答案】B

【解析】画出图形，如图所示，

'：E、F、G、H分别为42、BC、CD、D4边上的中点，AFC=BF,GH=FE,

对于A,EB+BF+EH+GH=EF+EH+GH=HG+EH+GHEH：

对于B,EB+FC+EH-W=EB+BF+(EH-EG)=EF+GW=EF-EF=O；

对于C,EF+FG+EH+GH=EF+FG+GH+EH=EH+EH=2EH；

对于D,EF-FB+CG+GH=EF+BF+CG+GH=EF+FC+CG+GH=EH.故选B.

10.【答案】0

【解析】vAB+OA=OB,BC-OC=BC+C6=BO,(AB+OA)+(BC-OC)=BO+OB=O,

故答案为：o.

II.【答案】AB

【解析】AB+DA+BD-BC-CA=AB+BD+DA-CBC+CAj=O-BA=AB.故答案为：AB.

12.【答案】AB

【解析】(AC-DP)+(CP-BD)=AC+CP-(BD+DP)=AP-BP=AP+PB=AB.故答案为：AB.

13.【答案】AD

^,^（AB-AC）+（BD-Cb）+AD=CB+BC+AD=AD.故答案为：AD.

14.【答案】BC

【解析】法一：...在平行四边形」88中，》与顼是一对相反向量，.■.沈=-函，

前+配+至5=前-丽-丽=就，故答案为：BC.

法二：根据平行四边形法则，可得前一方？+函=m+的+正=而-配=》，故答案为：BC.

15.【答案】0

【解析】因为8乙+丽=2而，所以点P为线段AC的中点，如图，即PC+丽=0.故答案为：0.

一

BC

16.【答案】CD

【解析】CB+AD-AB=CB+BA+AD=Cb,故答案为：CD.

17.【答案】D

【解析】由向量的运算可得

©CAB+BC）+cq=AC+cq=Aq,与向量宿的共线；

②（丽+晒）+D^C[=AD,+D~Ci=AC[,与向量鬲的共线；

③（阳+西）+瓦C=Z瓦+瓯=近，与向量猬的共线；

④（丽+隔）+函=函+隔=码，与向量房的共线.故选D.

18.【答案】C

【解析】由平行四边形的性质，可得荏=配，选项A正确；由向量加法的平行四边形法则，可得

通+通=而，选项B正确；\•而+丽=而+丽=0,.'.选项D正确；'：BC+DC=AD+DC=AC,

选项C错误.故选C.

19.【答案】C

【解析】设A8的中点为凡•.•点M是△A8C的重心，二加+M月-丽仁=2标一(-2后)=4/片.故

选C.

20.【答案】D

【解析】由向量模的不等关系可得：a-AWa-””。；故A恒成立；”50。-力故B恒成

立；\a-\b<\a-b\<a-b,故C恒成立.令a=(2,0),卜(-2,0),则0=2,2-0,则D不成立.故

选D.

21.【答案】A

【解析】由三角形4BC中，两边之和大于第三边，^|AB|+|BC|>|AC|=|a|,得s>同.故选A.

AB

C

22.【答案】A

【解析】E、产分别是边A&BC、。上的中点，故四边形AOEF为平行四边形，且EF=BE,故

DE+DA-BE=DF-BE=DF-DF=O,故选A.

23.【答案】D

【解析】△A5C中，点。、E、尸分别是边48、BC、AC的中点，，荏=』(AB+AC)=AD+AF,

2

错误；DE+AF=2DE^0,错误；AB+BC+CA=AC+CA=0,.,.C^ix；DE-DF=FE=AD,

；.£)正确.故选D.

24.【答案】B

VDC=BC-BD,DC=AC-AD,：.AC-AD=BC-BD,：.AC+BD=BC+AD.故选B.

25.【答案】A

【解析】如图，取AC中点。，则83+区4=2瓦5；23万=23户；.•.£)和P重合；4C三点共

线.故选A.

A

26.【答案】B

【解析】•..再-丽+定=次，...苏-定=与-丽...定=2»,即点尸为线段.4C的靠近

AP1

点/的三等分点，二八45尸的面积与A5CP的面积之比=京=g,故选B.

27.【答案】2底

【解析】为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度M斜向上游方向，河水速度也=

2m/s平行于河岸：静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸....静水速度

2222

VI=7V+V2=710+2=V104=2726m/s.故答案为：2后.

28.【答案】135

【解析】如卜.图，为使小船所走路程最短，汇+不应与岸垂直.又可=通，踵=/，/4OC=90。，

又|£|=1'|万|=0,；./。0=45。，故答案为：135.

29.【答案】26

【解析】在菱形A8CO中，N/)A8=60。，|AB|=2,'：\AD+AB|2=|AD|2+|AB\2+2\AD|«|AB\coaZDAB=

4+4+2x2x2x1=12,\BC+DC\=\AD+AB\=2V5,故答案为：2G.

2

30.【答案】①④

【解析】①若线段AC=AB-BC,可得三点/,B,C共线，则向量前=方-交，正确；②若向量

AC=AB-BC，则可能线段.4C=3CTC,因此不正确;③若向量麴与反共线，则可能线段AC=BC-A2;

④若向量与与前反向共线，则AB-BC=A3-BC,正确.其中正确的结论有①④.故答案为：①④.

31.【答案】BE^-a+b.

2

【解析】BE=BC+CE=BC+-Cb=BC+-BA=AD--AB=--a+b,

2222

故丽=-1a+b.

2

32.【答案】(1)他必须沿与河岸成60。角的方向前进，实际前进速度的大小为8km/h；

(2)他必须沿与水流方向成90。+。(锐角0满足tan6=正)方向航行，实际前进速度的大小为40

2

(km/h).

【解析】(1)如