2023-2024学年天津市四校联考高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年天津市四校联考高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx−1>2，B=x1−xA.x1<x<3 B.x3<x<4

C.xx<−1或x>4 D.2.使不等式2x+1x−1≤1成立的一个充分不必要的条件是(

)A.x<−2 B.−2<x<1 C.−2≤x<1 D.−2≤x≤13.已知具有线性相关关系的变量x，y，设其样本点为Aixi,yi(i=1,2,3,⋯,10)，经验回归方程为y=2x+a，若i=1A.20 B.−17 C.−170 D.24.2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有(

)A.102种 B.105种 C.210种 D.288种5.定义在R上的函数fx导函数为f′x，若对任意实数x，有fx>f′x，且fxA.−∞,0 B.0,+∞ C.−∞,1e 6.设a=30.8，b=90.6，c=logπe，则a，A.b>c>a B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c7.已知fx=x+4x，gx=x3−3x+8−a，若对∀xA.2,21 B.53,21 C.1,22 8.已知fx=sinx−x+1，则不等式fA.−3,0 B.−2,−1

C.−∞,−3∪0,+∞ 9.已知函数fx=lnx−13A.−∞,−32 B.−32,+∞ 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.若命题“∃x∈R，使x2+(a−1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为______．11.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为34，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案来时猜对的概率为14，那么他答对题目的概率为

12.已知1x+ax26展开式中的常数项是540，则实数13.已知数列an是公差为2的等差数列，bn是公比为3的是等比数列，且a1=b1=3，设14.设m,n为正数，且m+n=2，则2m+3m+1+3n+7n+215.若fx=x2−ax−三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为14(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；(3)设甲、乙两人所付

租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值EX、方差D17.(本小题12分)如图，ABCD是边长为4的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，且DE=3AF=3．(1)求证：BF//平面DEC;(2)求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值；(3)求点D到平面BEF的距离．18.(本小题12分)已知fx=x−1e(1)令ℎ(i)求ℎx(ii)若ℎx存在大于0的零点，且方程ℎx=1−a(2)若对∀x1∈R，x2∈0,+∞19.(本小题12分)已知数列an是递增的等差数列，bn是等比数列，b1=2(1)求数列an和b(2)记数列−1nan2的前n项和为Sn，若m(3)设cn=na20.(本小题12分)已知fx(1)若y=fx在0,f0处的切线方程为8x−y−1=0，求实数(2)当b=0时，若xfx+x2(3)若fx有零点，求证：a2+参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.B

6.D

7.A

8.B

9.B

10.−1≤a≤3

11.1316或0.812512.±6

13.2⋅314.295或5.815.−∞,−16.解：(1)由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为12，1设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)=1所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516(2)若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为14(3)X的可能取值为0，2，4，6，8，PPX=4PX=6=1分布列如下表：X02468P13331数学期望EXDX17.解：(1)根据题意得：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

B4,4,0,F4,0,1所以

BF=(0,−4,1)

易知平面

DEC

的一个法向量为

DA=(4,0,0)

显然

DA⋅BF=0

，又

BF⊄

平面

所以

BF//

平面

DEC

；(2)∵

E(0,0,3),C(0,4,0)

，

则

BE=(−4,−4,3),BC设平面

BEC

与平面

BEF

的一个法向量分别为

m=(a,b,c),n则有

m⋅BE=0m⋅BC取

b=3,y=1

，则

a=0,c=4,x=2,z=4

，即

m=(0,3,4),n设平面

BEC

与平面

BEF

的夹角为

θ

，则

cos θ=|m(3)由(2)得平面

BEF

的一个法向量为

n=(2,1,4)

又

DE=0,0,3

，所以点D到平面

BEF

的距离

d=

18.解：(1)(i)根据题意，ℎxℎ′(x)=xe所以当a≤0时，(−∞,0)0(0,+∞)ℎ−0+ℎ(x)单调递减极小值单调递增当0<a<1时，(−∞,ln(0(0,+∞)ℎ+0−0−ℎ(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当a=1时，ℎ(x)在R上单调递增，当a>1时，(−∞,0)0(0,ln(ℎ+0−0−ℎ(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上可得：当a≤0时，ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，(0,+∞)上单调递增，当0<a<1时，ℎ(x)在(−∞,lna)上单调递增，(ln当a=1时，ℎ(x)在R上为增函数，当a>1时，ℎ(x)在(−∞,0)单调递增，(0,lna)上单调递减，(ii)因为方程ℎx由(1)可知a≤0和a=1两种情况显然不符合题意，当0<a<1时，ℎ(0)=−1+1=0，而x∈(0,+∞)时，ℎ(x)单调递增，无大于0的零点，不符合题意，所以只能a>1，此时1−a<0，由于ℎ(x)在(0,lna)单调递减，ℎ(0)=0，在(−∞,0)单调递增，ℎ(x)在(lna,+∞)上单调递增，令m(x)=2e1+x−令v(x)=2e1+x−2所以v(x)在(0,+∞)单调递增，则v(x)>v(0)=2e−2>0，即m′所以m(x)在(0,+∞)单调递增，则m(x)>m(0)=2e−1>0，所以ℎ1+a>0，即ℎ(x)在(lna,+∞)从最小值所以方程ℎx=1−a恰有三个实根，只需即(lna−1)a−a而a>1，lna>0，则12ln故实数a的取值范围为e2(2)由题意可得原不等式可化为fx故不等式fx1+x设F(x)=f(x)−x，则上式等价于Fx要使Fx1+x2由x1+x2>F′x=xe即a≥1−xe令G(x)=1−xex当x∈−∞,−1时，G′(x)>0,则G(x)当x∈−1,+∞时，G′(x)<0,则G(x)所以G(x)max=G(−1)=1+则实数a的取值范围为1+1

19.解：(1)解：根据题意设数列an的公差为d(d>0)，数列bn的公比为因为b1=2a因为b2=2a所以2q=2(1+d)2q2=2(1+3d)，解得d=1q=2所以an(2)解：由(1)知−1n所以S==(2+1)×(2−1)+(4+3)×(4−3)+⋅⋅⋅+(2n+2n−1)[2n−(2n−1)]=1+2+3+4+⋅⋅⋅+(2n−1)+2n=2n(2n+1)由mbn>所以m>2n2令dn=当n=1时，d2−d1=1>0当n=3时，d4所以由二次函数的性质可知当n≥3时，dn+1所以d3所以m>5(3)由(1)知c=(n+1)−1所以i=1=1−20.解：(1)由fx=4ln由已知可得，y=fx在0,f0处的切线8x−y−1=0经过0,−1，且斜率为故有f0=−1f′0=8故b=e0=1(2)设gt=tln故对0<t<1有g′t=lnt<0，对t>1有g′t=lnt>0，从而gt回到原题，当b=0时，有fx根据题意，fx在x∈0,+∞时首先要有定义，故l