2023-2024学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省湛江市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以2i−5的虚部为实部，以5i+2A.2−2i B.2+i C.−5+2.如图，下边长方体中由右边的平面图形围成的是(

)A.B.

C.D.3.下列各组数的方差从小到大排序是(

)

(1)6，6，6，6，6，6，6，6，6；(2)5，5，5，6，6，6，7，7，7；

(3)4，4，5，5，6，7，7，8，8；(4)3，3，3，3，6，9，9，9，9．A.(1)(2)(3)(4) B.(4)(3)(2)(1) C.(3)(1)(2)(4) D.(2)(1)(3)(4)4.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(

)A.7 B.6 C.5 D.35.已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且|OA|=|OB|=|OC|，NA+NB+NC=0，PAA.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心6.在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量BD在BA上的投影向量为(

)A.32BA B.34BA C.7.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件A=“第一枚出现奇数点”，事件B=“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系是(

)A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等8.已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(

)A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂β

C.a//α，a//β D.a//α，a⊥β二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且ccosB+bcosC=a2，则下列说法正确的是A.a=2

B.若B+C=2A，则△ABC面积的最大值为34

C.△ABC不可能为锐角三角形

D.若O为△ABC10.已知a，b∈R，方程x2+ax−b=0有一个虚根为1+i，i为虚数单位，另一个虚根为z，则(

)A.该方程存在实数根 B.a=−2 C.z=1−i D.z11.已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件A=“取到红球和黑球”，事件B=“第一次取到黑球”，事件C=“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是(

)A.P(B)+P(C)=1 B.P(A+B)=56

C.P(BC)=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z1=a+bi，z2=4+ai(a,b∈R)，若|z13.已知e1和e2是两个不共线的向量，a=e1−2e2，b=214.如图，透明塑料制成的长方体ABCD−A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：

①有水的部分始终呈棱柱形；

②没有水的部分始终呈棱柱形；

③水面EFGH所在四边形的面积为定值；

④棱A1D1始终与水面所在平面平行；

⑤四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．

(1)求证：AE⊥平面PBC；

(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．16.(本小题15分)

已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)已知a=33,b=4,c=5，求BC边上中线长．

(2)请用a，b，c表示BC17.(本小题15分)

为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．18.(本小题17分)

Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为12与p，乙连续2次答错的概率为116．

(1)求乙答对题的概率；

(2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率．19.(本小题17分)

如图1，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，∠ABC=90°.过顶点C作对角线BD的垂线，交对角线BD于点O，交边AD于点Q，现将△ABD沿BD翻折，形成四面体PBCD，如图2．

(1)求四面体PBCD外接球的体积；

(2)求证：平面PBD⊥平面OCQ；

(3)若点G为棱BC的中点，请判断在将△ABD沿BD翻折过程中，直线PG能否平行于面OCQ.若能请求出此时的二面角P−BD−C的大小；若不能，请说明理由．

答案解析1.A

【解析】解：2i−5的虚部为2，以5i+2i2=−2+5i的实部为−2，2.B

【解析】解：根据长方体的平面展开图知，长方体中有4个面是阴影部分，两个空白部分是相对部分，

剩余是4个阴影部分，所以围成的长方体如图所示：

故选：B．

3.A

【解析】解：根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，故可先求出各组数据的平均数，

(1)组数据的平均数为6，方差为0；

(2)组数据的平均数为6，方差为23；

(3)组数据的平均数为6，方差为209；

(4)组数据的平均数为6，方差为8，

所以0<23<209<8，

4.A

【解析】解：设上底面半径为r，

因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，

所以π(r+3r)l=84π，解得r=7，

所以圆台较小底面的半径为7．

故选：A．

5.C

【解析】证明：∵|OA|=|OB|=|OC|，

∴O到三角形三个顶点的距离相等，

∴O是三角形的外心，

根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，

∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，

∵PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA，

∴PB6.B

【解析】解：如图，根据题意，∠B=30°，AD⊥BC，

∴BD在BA上的投影向量为：|BD|⋅cos30°⋅BA|BA7.C

【解析】解：由题可知，抛掷两枚质地均匀的骰子，第一枚和第二枚出现点数的分类情况如下，

①(奇数，奇数)，②(奇数，偶数)，③(偶数，奇数)，④(偶数，偶数)，

事件A=“第一枚出现奇数点”={①,②}，

事件B=“第二枚出现偶数点”={②,④}，

两个事件不相等，排除D，

A∩B≠⌀，所以不是互斥事件，排除A，B，

C选项，事件A=“第一枚出现奇数点”，P(A)=36=12，

事件B=“第二枚出现偶数点”，P(B)=36=12，

事件AB=“第一枚出现奇数点，第二枚出现偶数点”，P(AB)=3×336=148.D

【解析】解：A：由α⊥γ，β⊥γ，得α与β可能平行，∴A错误，

B：当α与β相交但不垂直时，也会有b⊥a，b⊂β，∴B错误，

C：当a/​/α，a/​/β时，α与β可能平行，∴C错误，

D：当a/​/α，a⊥β时，过直线a做平面与平面α交于直线b，∴a/​/b，又∵a⊥β，∴b⊥β，又∵b⊂α，∴α⊥β，∴D正确，

故选：D．

9.BD

【解析】解：对于A.∵ccosB+bcosC=a2，由正弦定理可得sinCcosB+sinBcosC=sinA=asinA，

∵0<A<π，可得sinA>0，

∴a=1，故A错误；

对于B.若B+C=2A，且B+C+A=π，

∴A=π3，

由余弦定理得cosA=cosπ3=b2+c2−a22bc=b2+c2−12bc=12，

由b>0，c>0，可得b2+c2=bc+1≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立，

∴bc≤1，

∴△ABC面积12bcsinA≤12×32=34，可得△ABC面积的最大值为34，故B正确；

对于C.若A=B=C，且a=110.BCD

【解析】解：a，b∈R，方程x2+ax−b=0有一个虚根为1+i，i为虚数单位，另一个虚根为z=1−i，所以C正确；

所以A不正确；

a=−[(1+i)+(1−i)]=−2，所以B正确；

z2024=(1−i)2024=[11.ACD

【解析】解：由题意可知，P(B)=P(C)=12，

则P(B)+P(C)=1，故A正确；

P(A)=14×23+12×13=13，P(AB)=24×13=16，12.(−4,4)

【解析】解：∵z1=a+bi，z2=−4+ai(a,b∈R)，且|z1|<|z2|，

∴a2+b13.−4

【解析】解：以e1和e2为基底，利用坐标表示a=e1−2e2=(1,−2)，b=2e1+ke2=(2,k)14.①②④⑤

【解析】解：∵棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，

其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形

∴通过棱柱特征，①②正确．

∵水面EFGH所在四边形的面积，

从图2，图3我们发现，有条边长不变，而另外一条长随倾斜度变化而变化，

∴EFGH所在四边形的面积是变化的．③不对

∵棱A1D1

始终与BC平行，BC与水面始终平行，∴④正确．

∵水的体积是不变的，高始终是BC也不变．底面也不会，即BE⋅BF是定值．

∴⑤正确．

所以正确的是：①②④⑤．15.证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，

∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

∴BC⊥PA，

又∵PA∩AB=A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴BC⊥平面PAB，

又∵AE⊂平面PAB，

∴AE⊥BC，

又AE⊥PB，PB∩BC=B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，

∴AE⊥平面PBC；

(2)∵PC⊂平面PBC，

∴AE⊥PC，

又AF⊥PC，AE∩AF=A，AE⊂平面AEF，AF⊂平面AEF，

∴PC⊥平面AEF，

∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，

∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA，

∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AG，

∵PC⊥平面AEF，

∴PC⊥AG，

∴AG⊥平面PCD，

∴AG⊥PD．

【解析】(1)利用线面垂直的判定定理可证得BC⊥平面PAB，所以AE⊥BC，又因为AE⊥PB，从而证得AE⊥平面PBC；

(2)先证PC⊥平面AEF，所以可得PC⊥AG，再证CD⊥平面PAD，所以CD⊥AG，进而证得AG⊥平面PCD，16.解：(1)如图所示，取BC中点为D，连接AD交BC于点D，

∵a=33，b=4，c=5，

∴cosB=a2+c2−b22ac=33+25−161033=73355，

又AD为BC边的中线，

∴BD=a2=332，

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=c2+(a2)【解析】(1)根据所给信息可求出cosB的值与BC半边长的值，再利用余弦定理便可求得BC中线长；

(2)根据(1)，将所给条件代入到余弦公式中去，即可求解．

17.解：(1)由题意可知：10a+10b=0.310(0.045+0.020+a)=0.7，

解得：a=0.005b=0.025，

则每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，

所以平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5，

因为0.05+0.25=0.30<0.66，0.05+0.25+0.45=0.75>0.66，

设第66百分位数为x，则x∈[65,75)，

则0.30+(x−65)×0.045=0.66，解得：x=73，

故第66百分位数为73；

(2)设第二组、第四组同学成绩的平均数与方差分别为x1−,x2−，s1，s2，

且两组频率之比为0.250.20=54，

所以第二组和第四组所有同学成绩的平均数x−=5×62+4×80【解析】(1)根据频率分布直方图的性质并结合题意即可列方程求得a，b，然后利用平均数和百分位数的公式结合频率分布直方图即可求解；

(2)利用分层抽样中平均数及方差的公式结合题意即可求解．

18.解：(1)设“甲答对每题的概率”为事件A，“乙答对每题的概率”为事件B，

由已知P(A)=12，P(B)=p，

则乙连续2次答错的概率P=(1−p)2，

由题意得(1−p)2=116，解得p=34或(舍去)，

∴乙答对题的概率为34．

(2)事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件甲答对一次、乙2次全部答对，

与事件乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件．

甲答对一次、乙2次全部答对的概率为2×12×(1−12)×(34)2【解析】(1)先计算“甲答对每题的概率”，“乙答对每题的概率”，再根据题意求乙答对题的概率即可