十年（2015-2024）高考真题数学分项汇编（全国）专题23 导数及其应用大题综合（教师卷）

专题23导数及其应用大题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1切线方程及其应用（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·天津卷、2023·北京卷2023·全国乙卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷2022·天津卷、2022·全国甲卷、2022·全国乙卷2022·北京卷、2021·天津卷、2021·北京卷2021·全国乙卷、2020·北京卷、2020·全国卷2019·北京卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷2017·山东卷、2017·北京卷、2016·北京卷2016·北京卷、2016·全国卷、2015·重庆卷2015·全国卷、2015·天津卷、2015·山东卷2015·北京卷1.能理解导数的几何意义并会求切线方程，会求参数2.理解函数的单调性与导数之间的关系，能利用导数研究函数的单调性，并会求单调区间，能够利用导数解决与函数单调性的综合问题，该内容是新高考卷的必考内容，近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。3.能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值，体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系，该内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习4.能进行函数转化证明不等式，会函数中的恒成立问题与有解问题，会求零点及其应用，会隐零点、双变量、极偏等内容的学习，都可能成为高考命题方向考点2具体函数及含参函数的单调性（10年6考）2024·北京卷、2023·全国甲卷、2023·全国甲卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷2018·全国卷考点3含参函数的单调性（10年10考）2024·全国甲卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷2022·浙江卷、2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷2021·浙江卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷2021·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2020·全国卷2018·天津卷、2018·全国卷、2017·全国卷2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷2017·全国卷、2016·山东卷、2016·四川卷2016·全国卷、2016·北京卷、2016·山东卷2016·四川卷、2016·全国卷、2015·江苏卷2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·四川卷2015·四川卷、2015·北京卷考点4极值最值及其应用（10年10考）2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国甲卷、2023·北京卷2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷2022·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·天津卷2021·全国乙卷、2020·北京卷、2019·全国卷2019·江苏卷、2018·北京卷、2018·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2017·山东卷2017·江苏卷、2017·全国卷、2017·山东卷2017·北京卷、2016·山东卷、2016·天津卷2016·全国卷、2015·重庆卷、2015·重庆卷2015·山东卷、2015·湖南卷、2015·安徽卷2015·山东卷、2015·全国卷考点5证明不等式（10年9考）2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷、2019·北京卷2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷2015·全国卷、2015·湖北卷、2015·福建卷2015·北京卷考点6恒成立与能成立（有解）问题（10年9考）2024·天津卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲卷2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷2021·天津卷、2020·山东卷、2020·全国卷2019·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷2015·四川卷、2015·山东卷、2015·湖南卷2015·湖南卷、2015·福建卷、2015·北京卷考点7零点问题（10年8考）2022·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国新Ⅱ卷2020·浙江卷、2020·全国卷、2020·全国卷2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷2018·浙江卷、2018·全国卷、2017·全国卷2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·全国卷2015·江苏卷、2015·全国卷、2015·全国卷2015·陕西卷、2015·北京卷考点8方程的根（10年4考）2022·浙江卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙江卷2021·全国甲卷、2019·全国卷、2018·江苏卷考点09双变量问题（10年6考）2024·天津卷、2022·浙江卷、2022·北京卷2021·浙江卷、2020·天津卷、2018·全国卷2015·湖北卷考点10隐零点问题（10年4考）2023·全国甲卷、2017·全国卷2016·全国卷、2015·全国卷考点11极值点偏移问题（10年4考）2022·全国甲卷、2019·天津卷2016·全国卷、2015·天津卷考点12导数与其他知识点联动问题（10年4考）2024·北京卷、2023·全国新Ⅰ卷2021·全国新Ⅱ卷、2021·全国乙卷考点01切线方程及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；【答案】(1)【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；【详解】（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.2．（2024·天津·高考真题）设函数．(1)求图象上点处的切线方程；【答案】(1)【分析】（1）直接使用导数的几何意义；【详解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为.3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；【答案】(1)【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．【答案】(1)；【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；【详解】（1）当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；【答案】(1)；【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.6．（2023·天津·高考真题）已知函数．(1)求曲线在处的切线斜率；【答案】(1)【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率；【详解】（1），则，所以，故处的切线斜率为；7．（2022·天津·高考真题）已知，函数(1)求函数在处的切线方程；【答案】(1)【分析】（1）求出可求切线方程；【详解】（1），故，而，曲线在点处的切线方程为即.8．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．(1)若，求a；【答案】(1)3【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为，即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；9．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；【答案】(1)【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可【详解】（1）的定义域为当时,,所以切点为,所以切线斜率为2所以曲线在点处的切线方程为10．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；【答案】(1)【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：11．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；【详解】（I），则，又，则切线方程为；12．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；【答案】（1）；【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2)和.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标.【详解】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.(2)由题意可得：，，则切线方程为：，切线过坐标原点，则：,整理可得：，即：，解得：，则，切线方程为：,与联立得，化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为解得,，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.14．（2020·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；【答案】（Ⅰ），【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；【详解】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.15．（2020·全国·高考真题）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．（1）求b．【答案】（1）；【分析】（1）利用导数的几何意义得到，解方程即可；【详解】（1）因为，由题意，，即：，则．16．（2019·北京·高考真题）已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；【答案】（Ⅰ）和.【分析】(Ⅰ)首先求解导函数，然后利用导函数求得切点的横坐标，据此求得切点坐标即可确定切线方程；【详解】（Ⅰ），令得或者.当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为和.17．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；【答案】(1)1

【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此时f(1)=3e≠0．所以a的值为1．18．（2018·北京·高考真题）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；【答案】（Ⅰ）【详解】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；详解：解：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.19．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；【答案】（1）切线方程是；【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．【详解】（1），．因此曲线在点处的切线方程是．20．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，证明：；（III）证明：当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析.【分析】（I）由题意可得，由以及即可解出；（II）分别求出两切线方程，根据直线平行的条件得，两边取对数即可证出；（III）方法一：分别求出两曲线的切线的方程，则问题等价于当时，存在，，使得l1和l2重合，构造函数，令，利用导数证明函数存在零点，即可证出.【详解】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以a为底的对数，得，所以.（III）［方法一］：导数的几何意义＋零点存在性定理曲线在点处的切线l1：.曲线在点处的切线l2：.要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由①得，代入②，得.

③因此，只需证明当时，关于x1的方程③存在实数解.设函数，即要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数t，使得.由（I）可得，当时，有，根据二次函数的性质，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.［方法二］：因为曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，所以直线l满足如下条件：．记，则是关于t的减函数．，使，即，即．当时，；当时，，，由（Ⅰ）可得当时，．若．则，取，，所以在区间内存在零点．所以当时，存在直线l，使l曲线的切线，也是曲线的切线．【整体点评】（III）方法一：利用切线重合，建立等量关系，通过消元得出方程，根据方程有解，转化为函数有零点，由零点存在性定理证出；方法二：根据斜率相等得出方程，引入新变元，构建关于新变元的方程，再由方程有实根，转化为对应函数有零点，即可证出．21．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（I）单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）见解析.（ii）.【详解】试题分析：求导数后因式分解根据，得出，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对求导，根据函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，解得，根据的单调性可知在上恒成立，关于x的不等式在区间上恒成立，得出，得，，求出的范围，得出的范围.试题解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.（II）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.（ii）因为，，由，可得.又因为，，故为的极大值点，由（I）知.另一方面，由于，故，由（I）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.由，得，.令，，所以，令，解得（舍去），或.因为，，，故的值域为.所以，的取值范围是.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.22．（2017·山东·高考真题）已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；【答案】（Ⅰ）；试题解析：（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.23．（2017·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；【答案】(Ⅰ)；试题解析：（Ⅰ）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.24．（2016·北京·高考真题）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；【答案】（Ⅰ）;【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程；试题解析：（Ⅰ）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．25．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；【答案】（Ⅰ），；试题解析：（Ⅰ）因为，所以.依题设，即解得.26．（2016·全国·高考真题）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；【答案】（1）试题解析：（I）的定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为27．（2015·重庆·高考真题）设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；【答案】（1），切线方程为；试题解析：（1）对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得28．（2015·全国·高考真题）已知函数，．（1）当为何值时，轴为曲线的切线；【答案】（Ⅰ）；试题解析：（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.29．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；【答案】（Ⅰ）当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）见解析；【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在内单调递增.（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）证明：设点的坐标为，则，，曲线在点处的切线方程为，即，令，即，则由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时，，当时，，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.30．（2015·山东·高考真题）设函数.已知曲线在点处的切线与直线平行.（Ⅰ）求的值；【答案】（Ⅰ）；【详解】（Ⅰ）由题意知，曲线在点处的切线斜率为，所以，又所以.31．（2015·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）的最大值为2.试题解析：（1），利用导数几何意义得切线斜率：，又，由点斜式得切线方程：考点02具体函数的单调性1．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可；【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；【答案】(1)在上单调递减【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；【详解】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数(1)当时，讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析.【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;【详解】（1）令,则则当当,即.当,即.所以在上单调递增,在上单调递减4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；【答案】(1)的减区间为，增区间为.【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.【详解】（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；【答案】（1）上单调递增；上单调递减；【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；6．（2020·全国·高考真题）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；【答案】（1）的减区间为，增区间为；【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；【详解】（1）当时，，，令，解得，令，解得，所以的减区间为，增区间为；7．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）若，求的单调区间；【答案】（1）增区间是，，减区间是；【分析】（1）将代入，求导得，令求得增区间，令求得减区间；【详解】（1）当a=3时，，．令解得x=或x=．由解得：；由解得：．故函数的增区间是，，减区间是．考点03含参函数的单调性1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；【答案】(1)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；【详解】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为.2．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.4．（2022·浙江·高考真题）设函数．(1)求的单调区间；【答案】(1)的减区间为，增区间为.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.【详解】（1），当，；当，，故的减区间为，的增区间为.5．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；【答案】(1)(2)在上单调递增.【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；（2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；【详解】（1）解：因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）解：因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.6．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析；【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；【详解】(1)由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；7．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；【答案】(1)见解析【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；【详解】(1)，①若，则，所以在上单调递增；②若，当时，单调递减，当时，单调递增.综上可得，时，的单调递增区间为,无减区间；时，函数的单调减区间为，单调增区间为.8．（2021·全国甲卷·高考真题）设函数，其中.（1）讨论的单调性；【答案】（1）的减区间为，增区间为；【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.【详解】（1）函数的定义域为，又，因为，故，当时，；当时，；所以的减区间为，增区间为.9．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析；(2)和.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；【详解】(1)由函数的解析式可得：，导函数的判别式，当时，在R上单调递增，当时，的解为：，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；综上可得：当时，在R上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.10．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.【详解】(1)的定义域为．由得，，当时，；当时；当时，．故在区间内为增函数，在区间内为减函数，11．（2020·全国·高考真题）已知函数f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．【答案】（1）；（2）在区间和上单调递减，没有递增区间【分析】（1）[方法三]不等式转化为，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数求导，把导函数的分子构成一个新函数，再求导得到，根据的正负，判断的单调性，进而确定的正负性，最后求出函数的单调性.【详解】（1）[方法一]【最优解】：等价于．设，则．当时，，所以在区间内单调递增；当时，，所以在区间内单调递减．故，所以，即，所以c的取值范围是．[方法二]：切线放缩若，即，即当时恒成立，而在点处的切线为，从而有，当时恒成立，即，则．所以c的取值范围为．[方法三]：利用最值求取值范围函数的定义域为：，设，则有，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，函数有最大值，即，要想不等式在上恒成立，只需；所以c的取值范围为．（2）且因此，设，则有，当时，，所以，单调递减，因此有，即，所以单调递减；当时，，所以，单调递增，因此有，即，所以单调递减，所以函数在区间和上单调递减，没有递增区间.【整体点评】(1)方法一：分类参数之后构造函数是处理恒成立问题的最常用方法，它体现了等价转化的数学思想，同时是的导数的工具也得到了充分利用；方法二：切线放缩体现了解题的灵活性，将数形结合的思想应用到了解题过程之中，掌握常用的不等式是使用切线放缩的基础.方法二：利用最值确定参数取值范围也是一种常用的方法，体现了等价转化的数学思想.12．（2020·全国·高考真题）已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；【详解】(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.13．（2018·天津·高考真题）已知函数，，其中a>1.（I）求函数的单调区间；【答案】(Ⅰ)单调递减区间，单调递增区间为【分析】（I）由题意可得，由以及即可解出；【详解】（I）由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：x00+极小值所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.14．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；【答案】（1）答案见解析；【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间；【详解】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.15．（2017·全国·高考真题）已知函数（1）讨论的单调性；【答案】（1）见解析；试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.16．（2017·天津·高考真题）设，.已知函数，.（Ⅰ）求的单调区间；【答案】（I）单调递增区间为，，单调递减区间为.试题解析：（I）由，可得，令，解得，或.由，得.当变化时，，的变化情况如下表：所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.17．（2017·天津·高考真题）设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.（Ⅰ）求的单调区间；【答案】（Ⅰ）增区间是，，递减区间是.试题解析：（Ⅰ）解：由，可得，进而可得.令，解得，或.当x变化时，的变化情况如下表：x+-+↗↘↗所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.18．（2017·全国·高考真题）已知函数.（1）讨论的单调性；【答案】（1）见解析；【详解】（1）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当时，时；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.19．（2017·全国·高考真题）设函数.（I）讨论函数的单调性；【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.试题解析：解（1）f’(x)=(1-2x-x2)ex令f’(x)=0得x=-1-，x=-1+当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增20．（2016·山东·高考真题）设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，aR.（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；试题解析：（Ⅰ）由可得，则，当时，时，，函数单调递增；当时，时，，函数单调递增，时，，函数单调递减.所以当时，单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.21．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（I）讨论f(x)的单调性；【答案】（I）见解析试题解析：（Ⅰ）<0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增.22．（2016·全国·高考真题）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；【答案】（Ⅰ）见解析；【详解】（Ⅰ）当，则当时，；当时，.所以f（x）在单调递减，在单调递增.当，由得x=1或x=ln（-2a）.①若，则，所以在单调递增.②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.23．（2016·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据题意求出，根据求a,b的值即可；（Ⅱ）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)>0，即>0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（Ⅰ）因为，所以.依题设，即解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.由及知，与同号.令，则.所以，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，，.故的单调递增区间为.【考点】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．24．（2016·山东·高考真题）已知．（Ⅰ）讨论的单调性；试题解析：（Ⅰ）的定义域为；.当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.（1），，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；25．（2016·四川·高考真题）设函数f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.（1）讨论f(x)的单调性；试题解析：（Ⅰ）＜0，在内单调递减.由=0，有.当时，＜0，单调递减；当时，＞0，单调递增.26．（2016·全国·高考真题）设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减.27．（2015·江苏·高考真题）已知函数.（1）试讨论的单调性；试题解析：（1），令，解得，．当时，因为（），所以函数在上单调递增；当时，时，，时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，时，，时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减．28．（2015·重庆·高考真题）设函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围．【答案】（1），切线方程为；（2）.【详解】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，，，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得．试题解析：（1）对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得（2）由（1）得，,令由，解得.当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．29．（2015·天津·高考真题）已知函数，其中.（Ⅰ）讨论的单调性；【详解】（Ⅰ）由，可得，其中且，下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：令，解得或，当变化时，的变化情况如下表：所以，在，上单调递减，在内单调递增.（2）当为偶数时，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.所以，在上单调递增，在上单调递减.30．（2015·四川·高考真题）已知函数f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；【详解】（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞）g（x）＝f'（x）＝2（x－1－lnx－a）所以g'（x）＝2－当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增31．（2015·四川·高考真题）已知函数，其中.（1）设是的导函数，讨论的单调性；【详解】（1）由已知，函数的定义域为，，所以.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.32．（2015·北京·高考真题）设函数，．（1）求的单调区间和极值；试题解析：（Ⅰ）由，（）得.由解得.与在区间上的情况如下：-+所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.考点04极值最值及其应用1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.（2）解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为；解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为.2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的极值；(2)当时，，求的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值.(2)【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当时，，故，因为在上为增函数，故在上为增函数，而，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2），设，则，当时，，故在上为增函数，故，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍；综上，.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.(3)若在存在极值，求a的取值范围.【答案】(1)；(2)存在满足题意，理由见解析.(3).【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，函数在处的切线方程为，即.（2）令，函数的定义域满足，即函数的定义域为，定义域关于直线对称，由题意可得，由对称性可知，取可得，即，则，解得，经检验满足题意，故.即存在满足题意.（3）由函数的解析式可得，由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;令，则，令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，当时，，在区间上单调递减，此时，在区间上无零点，不合题意;当，时，由于，所以在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，所以在区间上无零点，不符合题意；当时，由可得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值为，令，则，函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立，则，由一次函数与对数函数的性质可得，当时，，且注意到，根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.当时，，单调减，当时，，单调递增，所以.令，则，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.综合上面可知:实数得取值范围是.【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.【点睛】关键点睛：1.当时，利用，换元放缩；2.当时，利用，换元放缩.6．（2022·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【详解】（1）当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；（2），则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，由（1）得，即，所以，当时，，则存在，使得，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，由（1）得当时，，，所以，此时存在，使得，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.7．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【详解】（1）的定义域为，而，若，则，此时无最小值，故.的定义域为，而.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，故.因为和有相同的最小值，故，整理得到，其中，设，则，故为上的减函数，而，故的唯一解为，故的解为.综上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值为.当时，考虑的解的个数、的解的个数.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，设，其中，则，故在上为增函数，故，故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.设，，当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，所以，而，，有两个不同的零点即的解的个数为2.当，由（1）讨论可得、仅有一个解，当时，由（1）讨论可得、均无根，故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，则.设，其中，故，设，，则，故在上为增函数，故即，所以，所以在上为增函数，而，，故上有且只有一个零点，且：当时，即即，当时，即即，因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，故，此时有两个不同的根，此时有两个不同的根，故，，，所以即即，故为方程的解，同理也为方程的解又可化为即即，故为方程的解，同理也为方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，且①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，不符合题意；②时，此时，故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；③时，首先，证明与曲线有2个交点，即证明有2个零点，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，，，令，则，所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为其次，证明与曲线和有2个交点，即证明有2个零点，，所以上单调递减，在上单调递增，又因为，，，令，则，所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为再次，证明存在b，使得因为，所以，若，则，即，所以只需证明在上有解即可，即在上有零点，因为，，所以在上存在零点，取一零点为，令即可，此时取则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，因为所以，又因为在上单调递减，，即，所以，同理，因为，又因为在上单调递增，即，，所以，又因为，所以，即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.8．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.9．（2021·天津·高考真题）已知，函数．（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.【详解】（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.10．（2021·全国乙卷·高考真题）设函数，已知是函数的极值点．（1）求a；（2）设函数．证明:．【答案】（1）；（2）证明见详解【分析】（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由，，又是函数的极值点，所以，解得；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，，其定义域为．要证，即证，即证．（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．综合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最优解】：转化为无分母函数由（1）得，，且，当时，要证，，，即证，化简得；同理，当时，要证，，，即证，化简得；令，再令，则，，令，，当时，，单减，故；当时，，单增，故；综上所述，在恒成立.[方法三]：利用导数不等式中的常见结论证明令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．（ⅰ）当时，，所以，即，所以．（ⅱ）当时，，同理可证得．综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.11．（2020·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.【详解】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（Ⅱ）[方法一]：导数法显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.[方法二]【最优解】：换元加导数法

．因为为偶函数，不妨设，，令，则．令，则面积为，只需求出的最小值．．因为，所以令，得．随着a的变化，的变化情况如下表：a0减极小值增所以．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，当且仅当，即时取等号．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.12．（2019·全国·高考真题）已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）先对函数求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一，使得，进而可得判断函数的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到，，得到在内存在唯一实根，记作，再求出，即可结合题意，说明结论成立.【详解】（1）由题意可得，的定义域为，由，得，显然单调递增；又，，故存在唯一，使得；又当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因此，存在唯一的极值点；（2）[方法一]【利用对称性转化为研究两个函数根的问题】的根的情况问题可转化为函数与的图像在区间内的交点情况．．当时，在区间内单调递增；又因为，所以当时，，则时，单调递减；当时，，则当时，单调递增．又，所以函数与的图像，如图所示，只有两个交点，横坐标分别为和，且，即和为的两个实根．

又因为，当时，，由于，所以，即，所以两个实根互为倒数．[方法二]【分类讨论】由（1）知，．又，所以有且仅有两个实根，可令．下面证明，由，得，显然有，．（*）（1）当时，，（*）式不成立；（2）当时，，（*）式不成立；（3）当时，，（*）式成立．综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．[方法三]【利用函数的单调性结合零点存在定理】的定义域为，显然不是方程的根，所以有两个实根等价于有两个零点，且定义域为．而，所以在区间内单调递增，在区间内单调递增．当时，，，所以在区间内有唯一零点，即，所以．结合单调性知在区间内有唯一零点，所以有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数，即有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【整体点评】(2)方法一：对称性是函数的重要性质，利用函数的对称性研究函数体现了整体思想；方法二：分类讨论是最常规的思想，是处理导数问题最常规的手段；方法三：函数的单调性和零点存在定理的综合运用使得问题简单化.13．（2019·江苏·高考真题）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【答案】（1）；（2）的极小值为（3）见解析.【分析】（1）由题意得到关于a的方程，解方程即可确定a的值；（2）由题意首先确定a,b,c的值从而确定函数的解析式，然后求解其导函数，由导函数即可确定函数的极小值.（3）由题意首先确定函数的极大值M的表达式，然后可用如下方法证明题中的不等式：解法一：由函数的解析式结合不等式的性质进行放缩即可证得题中的不等式；解法二：由题意构造函数，求得函数在定义域内的最大值，因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．【详解】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为，都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值极小值所以的极小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下：+0–0+极大值极小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．14．（2018·北京·高考真题）设函数=[]．（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；（2）若在处取得极小值，求的取值范围．【答案】(1)1

(2)（，）【详解】分析：（1）先求导数，再根据得a；（2）先求导数的零点：，2；再分类讨论，根据是否满足在x=2处取得极小值，进行取舍，最后可得a的取值范围．详解：解：（Ⅰ）因为=[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由题设知f′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．此时f(1)=3e≠0．所以a的值为1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，则当x∈(，2)时，f′(x)<0；当x∈(2，+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)<0在x=2处取得极小值．若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，所以f′(x)>0．所以2不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是（，+∞）．点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.15．（2018·北京·高考真题）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.详解：解：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：x1+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：x+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：x−0+0−↘极小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.16．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）【详解】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可．（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围．详解：（1）当时，，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大．17．（2018·全国·高考真题）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【答案】(1)a=；增区间为，减区间为．(2)证明见解析.【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间；（2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果.【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且，由解得：；由解得：，所以的增区间为，减区间为．（2）［方法一］：【最优解】放缩法当时，.设，则.当时，；当时，.所以是的最小值点.故当时，.因此，当时，.［方法二］：【通性通法】隐零点讨论因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以．设，则．所以在区间内单调递减，故，即成立．［方法三］：分离参数求最值要证时，即，则证成立．令，则．令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减．所以，而，所以恒成立，原命题得证．［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以．由，得．．当且仅当，即时，，所以．［方法五］：异构要证明，即证，即证明，再证明即可．令，．设，则．若时，在上恒成立，所以；若时，当时；当时，．所以为的极小值点，则．因为，所以，所以．令．当时，；当时，，所以为的极小值点．则，所以，即．所以．［方法六］：高阶函数借位构建有界函数．令，则．令．显然为定义域上的增函数．又，故当时，，得；当时，，得．即在区间上为减函数，在区间上为增函数，故．即恒成立，而恒成立．【整体点评】（2）方法一：利用的范围放缩，转化为求具体函数的最值，是该题的最优解；方法二：根据函数的单调性讨论，求最值，是该类型题的通性通法；方法三：原不等式可以通过分参转化为求具体函数的最值，也是不错的解法；方法四：同方法二，根据函数的单调性讨论，利用基本不等式求最值，区别在于最后求最值使用的方式不一样；方法五：利用常见的对数切线不等式异构证明，也是很好的解决方法，不过在本题中使用过程稍显繁琐；方法六：基本类似于方法三．18．（2017·山东·高考真题）已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（Ⅱ）因为，所以，，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．19．（2017·江苏·高考真题）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b²>3a;（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围．【答案】（1），定义域为.（2）见解析（3）.【详解】试题分析：（1）先求导函数的极值：，再代入原函数得，化简可得，根据极值存在条件可得；（2）由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即；（3）先求证的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于，构造差函数，利用导数研究其单调性，在上单调递减．而，故可得的取值范围．试题解析：解：（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，，故在R上是增函数，没有极值；时，有