训练：涂色问题-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)（解析版）

专题训练：涂色问题

1.（2023秋•辽宁阜新•高二校考期末）如图，提供4种不同的颜色给图中A,5,C,。四块

区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）种.

【答案】C

【解析】如果只用了3种颜色，则ABD三块区域颜色必两两不同，C区域必与A相同，

则涂法有A：=24种；

如果用了全部4种颜色，则涂法有A：=24种；

所以总共有24+24=48种涂法.故选：C.

2.（2023・全国•高二专题练习）如图，矩形的对角线把矩形分成A、8、C、。四部分，现用五

种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有（）种

不同的涂色方法？

【答案】A

【解析】由题意知给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：

第一类，用4种颜色涂色，有A；=120种方法.

第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C种.

在涂的过程中，选对顶的两部分（4C或B、。）涂同色，

另两部分涂异色有C；种选法；3种颜色涂上去有A；种涂法，

根据分步计数原理求得共C•A；=120种涂法.

第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C种选法，

4C用一种颜色，B、。涂一种颜色，有A；种涂法，故共C；A；=20种涂法.

•••共有涂色方法120+120+2。=260种，故选：A.

3.（2022秋・吉林四平•高二四平市第一高级中学校考阶段练习）汉代数学家赵爽在注解《周髀

算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图由四个全等的直角三角形

和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相

邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（）

A.180B.192C.300D.420

【答案】D

【解析】如图，将五个区域表示为①②③④⑤，

对于区域①②③，三个区域两两相邻,有用=60种；/

对于区域④⑤，若①与⑤颜色相同，则④有3种情况，6/

若①与⑤颜色不同，则⑤有2种情况，④有2种情况，x1/

B

此时区域④⑤的情况有3+2x2=7种情况；

则一共有60x7=420种情况，故选：D.

4.（2022春.山东荷泽.高二曹县一中校考阶段练习）用红、黄、蓝、绿四种颜色涂在如图所示

的六个区域，且相邻两个区域不能同色，则涂色方法总数是（）（用数字填写答案）

A.24B.48C.72D.120

【答案】D

【解析】对图形进行编号如图所示：

第一类：若区域⑥与区域④相同，涂区域⑤有4方法，涂区域①有3种方法,

涂区域④有2种方法，涂区域③有2种方法，涂区域②有1种方法，

则不同的涂色方案的种数为：4x3x2x2x1=48种；

第二类：若区域⑥与区域④不相同，涂区域⑤有4方法，

涂区域①有3种方法，涂区域④有2种方法，涂区域⑥有1种方法，

再分类，若涂区域③和⑥一样，涂区域②有2种方法；

若涂区域③和⑥不一样，涂区域②、③有1种方法，Z|I"|^\

则不同的涂色方案的种数为：4x3x2xlx（2+l）=72种；（_⑤_]

根据分类加法计数原理，共有48+72=120种；故选：D.

5.（2022春•江苏苏州高二校考期中）现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，

要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（）

A.180B.200C.240D.260

【答案】D

【解析】先涂I,有5种涂法，然后涂II,IV,最后涂in.

①当[1,IV相同时，涂法有4X1X4=16种，故不同的涂色方法种数为5X16=80；

②当H,IV不同时，涂法有4x3x3=36种，故不同的涂色方法种数为5x36=180.

综上所述，不同的涂色方法种数为80+180=260.故选：D.

6.（2022春・广东佛山•高二校考期中）用5种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交

的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（）种不同的涂色方案.

OQ9

A.1140B.1520C.1400D.1280

【答案】D

【解析】从左到右依次涂色（也可以任选一个环作为开始），第一个圆环有5种选择，

第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以总数为:5x4x4x4x4=1280;

故选：D.

7（2022春・河北石家庄•高二校考阶段练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色,

要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）

B.1346种C.912种D.756种

【答案】D

【解析】1、先涂A区域，则有4种方法，若B,D区域涂相同颜色，则有3种方法,

C,E,F区域分别有3种方法，共有4x3x3x3x3=324种方法.

2、先涂A区域，则有4种方法，若8,。区域涂不同颜色，则有3x2种方法,

则E区域有2种方法,C,F分别有3种方法,

共有4x3x2x2x3x3=432种方法.

故不同的涂色方法共有756种.故选：D

8.（2022秋・广东茂名•高二茂名市第一中学校考期中）如图，用4种不同的颜色对A,B,C,

D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）

C.72种D.96种

【答案】B

【解析】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；

涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；涂。部分时，有2种涂法.

由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有4x3x2x2=48种.故选：B.

9.（2022.高二课时练习）用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色，规定一个区

域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有（）种不同的涂色方案.

B

A.180B.360C.64D.25

【答案】A

【解析】第一步涂A,有5种涂法，

第二步涂B,和A不同色，有4种涂法，

第三步涂C,和AB不同色，有3种涂法,

第四步涂D,和BC不同色，有3种涂法，

由分步乘法技术原理可知，一共有5x4x3x3=180种涂色方案，故选：A.

10.（2022・高二课时练习）如图，准备用4种不同的颜色给。、b、。、八，五块区域涂色，要

求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色

方法的种数共有（）

B.114C.168D.240

【答案】c

【解析】根据题意，涂色分4步进行分析：

对于e区域，有4种颜色可选，即有4种情况，

对于C区域，与e区域相邻，有3种情况，

对于d区域，与e、C区域相邻，有2种情况，

对于。、方区域，分2种情况讨论：

若a区域与d区域涂色的颜色相同，则匕区域有3种颜色可选，即有3种情况，

此时。、方区域有1x3=3种情况；

若。区域与d区域所涂的颜色不相同，则。区域有2种情况，b区域有2种情况,

此时。、方区域有2x2=4种情况，则〃、方区域共有3+4=7种情况，

则不同涂色的方案种数共有4x3x2x7=168种.故选：C.

11.（2022春•广东揭阳•高二校考期中）现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求

相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（）

A.720种B.1440种C.2880种D.4320种

【答案】D

【解析】根据题意分步完成任务：

第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；

第二步完成1号区域从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，

有5种不同方法；

第三步:完成4号区域:从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，

有4种不同方法；

第四步:完成2号区域:从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中

选1种涂色，有3种不同方法；

第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中

选1种涂色，有4种不同方法；

第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中

选1种涂色，有3种不同方法；

所以不同的涂色方法：6x5x4x3x4x3=4320种.故选：D.

12.（2022春.湖北十堰•高二丹江口市第一中学校考阶段练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不

同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公

边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）

A.120种B.720种C.840种D.960种

【答案】D

【解析】法一：A有5种颜色可选，8有4种颜色可选，。有3种颜色可选,

若G4同色，E有4种颜色可选；

若CB同色，后有4种颜色可选；

若C与A、8都不同色，则C有2种颜色可选，此时E有4种颜色可选，

故共有5x4x3x(4+4+2x4)=960种.

法二：当使用5种颜色时，有用=120种涂色方法;

当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC,BC,AE,BE,CE,

共有5<=600种涂色方法；

当使用3种颜色时，只能是AC同色且BE同色，AE同色且8c同色,ACE同色,

8CE同色，共有4<=240种涂色方法，

共有120+600+240=960种涂色方法.故选：D.

13.(2022・高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F,G七个点

涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有

()

84c-----------

A.192种B.336种C.600种D.624种

【答案】C

【解析】由题意，点E,尸，G分别有4,3,2种涂法，

(1)当A与尸相同时，为有1种涂色方法，此时8有2种涂色方法,

①若C与b相同，则。有1种涂色方法，此时。有3种涂色方法；

②若C与尸不同，则。有2种涂色方法.

故此时共有4x3x2x1x2x0x3+1x2)=240种涂色方法.

(2)当A与G相同时，A有1种涂色方法，

①若。与尸相同，则。有1种涂色方法，

此时B有2种涂色方法，。有2种涂色方法；

②若。与尸不同，则。有2种涂色方法，

此时8有2种涂色方法，。有1种涂色方法.

故此时共有4x3x2xlx(lx2x2+2x2xl)=192种涂色方法.

(3)当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法.

①若8与尸相同，则。与A相同时，。有2种涂色方法，。与A不同时，

C和。均只有1种涂色方法；

②若B与尸不同，则8有1种涂色方法，

(i)若。与尸相同，则C有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法；

(“)若。与尸不同，则必与A相同，。有1种涂色方法，此时。有2种涂色方法.

故此时共有4x3x2xlxlx[(lx2+lxl)+lx(lx2+lx2)]=168种涂色方法.

综上,共有240+192+168=600种涂色方法.故选：C.

14.(2022春・河北石家庄•高二石家庄市第十五中学校考期中)用四种颜色给正四棱锥V-ABC。

的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法

有()

A.72种B.36种C.12种D.60种

【答案】A

【解析】如下表

顶点VABCD

。与A同色12

种数432

C与A不同色11

总计4x3x2x(lx2+lxl)=72

故选：A.

15.(2022.高二课时练习)现有5种不同的颜色，给四棱锥P-ABCD的五个顶点涂色,要求同

一条棱上的两个顶点颜色不能相同，一共有种方法.

A.240B.360C.420D.480

【答案】C

【解析】当顶点A,C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，

点B有3种颜色可供选择，此时C只能与A同色，1种颜色可选，

点D就有3种颜色可选，共有5x4x3x1x3=180种；

当顶点A,C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，点A有4种颜色可供选择，

点B有3种颜色可供选择，此时C与A不同色，2种颜色可选，

点D就有2种颜色可选，共有5x4x3x2x2=240种;

综上可得共有180+240=420种，故选C.

16.（2021春・河北邯郸•高二大名县第一中学校考阶段练习）四棱锥P-ABC。用4种不同的颜

色涂在四棱推的各个面上，要求相邻两个面不同色，则共有（）种涂法.

A.34B.36C.48D.72

【答案】D

【解析】1、底面在4种颜色中选一种，C：种方法；

2、其它4个面与底面颜色都不同，其中一组对面颜色相同，有CM种方法.

，共有C：C；&=72种涂法.故选：D

17.（2023・全国.高二专题练习）给四面体A8CO的六条棱涂色，每条棱可涂红、黄、蓝、绿四

种颜色中的任意一种，且任意共顶点的两条棱颜色都不相同，则不同的涂色方法种数为（）

A.24B.72C.96D.144

【答案】C

【解析】由题意，第一步涂有四种方法，第二步涂有三种方法，

第三步涂。C有二种涂法，第四步涂A8,若与。C同，则一种涂法，

第五步可分两种情况，若8c与49同色，最后一步涂AC有2种涂法，口

若第四步涂AS,A8与C。不同，则涂第四种颜色，/K

止匕时8C,AC各有一种涂法A</\

综上，总的涂法种数是4x3x2x[lx（lxl+lxl）+lxlx2]=96.故选：C.R

18.（2022春・安徽滁州•高二校考阶段练习）无盖正方体容器的五个面上分别标有A、B、C、D、

E五个字母，现需要给容器的5个表面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，现有5种

不同的颜色可供选择，则不同的染色方案有（）种.

A.420B.340C.300D.120

【答案】A

【解析】如图，正方体的左侧面为A,右侧面为C,前侧面为。，后侧面为B,底面为E.

5个面如果用完五种颜色，则不同的染法为8=120.

5个面如果有四种颜色，则必有A、C同色或B、D同色,

则不同的染法为C©A：=240.

5个面如果有三种颜色，则必有A、C同色且B、。同色，

则不同的染法为C8=60.

故不同的染法种数为420,故选：A.

19（2021秋.江西上饶高二校考期中如图所示的几何体由三棱锥人ABC与三棱柱ABC-ARC

组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面不涂色），要求相邻的面均不

同色，则不同的涂色方案共有（）

A.36种B.24种C.12种D.9种'

【答案】C

【解析】第一步：涂三棱锥PA3C的三个侧面，

因为要求相邻的面均不同色，所以共有3x2x1=6种不同的涂法，

第二步：涂三棱柱ABCAAG的三个侧面，

先涂侧面AA4B有仁=2种涂法，再涂明CC和CGAA只有I种涂法，

所以涂三棱柱的三个侧面共有2x1=2种涂法，

所以对几何体的表面不同的涂色方案共有6x2=12种涂法，故选：C

20.（2022春・江西景德镇•高二景德镇一中校考期末）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三

个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数的概率是______

【答案】

【解析】用红、黄、蓝三种颜色涂3个方格的涂色方法种数是4

当不涂红色时，有23种，当红色方格数为2时，有2C；种，

所以所求概率为P=气咨=松.

21.（2022春・江苏徐州•高二统考阶段练习）如图，用四种不同的颜色分别给A,8,C,。四

个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法的种

数为（用数字作答）

AB

CD

【答案】48

【解析】由已知按区域分四步：第一步A区域有4种选择，第二步B区域有3种选择，

第三步C区域有2种选择，第四步D区域也有2种选择，

则由分步计数原理可得共有4x3x2x2=48种，

22.（2023.全国•高二专题练习）如图，给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个

点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂

色方法共有种.

【答案】264

【解析】计算不同涂色方法数有两类办法：

当涂四色时，先涂A,E,。，有A：种涂法，

再从8,尸，C中选一点涂第四种颜色，

如8,再涂尸，若尸与。同色，则。有2种涂法，

若F与。异色，则。有1种涂法，于是得有A：C；（2+1）种涂法，

当涂三色时，先涂A,E,。，有C：A；种涂法，再涂B,有2种涂法，

则J。各有1种涂法，于是得有2C：A；种涂法，

利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：A：C；（2+1）+2C；A；=216+48=264（种），

所以不同的涂色方法共有264种.

23.（2022.高二课时练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七

种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类

太阳伞最多有_____________种.

【答案】2520

【解析】先从七种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有G=7种方法，

再将剩余的六种颜色全部涂在剩余的6