新七年级数学（人教版）第09讲 整式的规律探索（人教版）（解析版）

第09讲整式的规律探索【人教版】·模块一与数有关的规律探索·模块二与式有关的规律探索·模块三与图形排列有关的规律探索·模块四课后作业模块一模块一与数有关的规律探索【例1】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为a1=1，第二个三角形数记为a2【答案】5050【分析】根据数字的变化规律发现第n个三角形数为1+2+3+…+n=nn+12【详解】解：观察三角形数发现规律：第一个三角形数记为a1第二个三角形数记为a2第三个三角形数记为a3…发现规律：第n个三角形数记为an∴把n=100代入得：nn+1故答案为：5050．【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律得出an【例2】填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律可得到a+b+c+d的值为（

）A．355 B．356 C．435 D．436【答案】D【分析】分析前三个正方形，发现第一个数为：2(n−1)，第二个数为：2n+1，第三个数为第二个数加1，第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1，然后代入求解即可．【详解】解：分析正方形中的四个数：第一个数为：2(n−1)，∴第⑨个正方形的第一个数a=16；第二个数为：2n+1，∴第⑨个正方形的第二个数b=19；第三个数为第二个数加1，即c=19+1=20，第四个数为第二个数与第三个数的乘积加1即d=19×20+1=381∴a+b+c+d=16+19+20+381=436，故选：D．【点睛】本题考查了规律型中的数字的变换类，解题的关键是分析正方形中四个数找出它们之间的关系是关键．【例3】电子青蛙在数轴上的某点x0处，第一步从x0向右跳1个单位到x1，第二步从x1向左跳2个单位到x2，第三步从x2向右跳3个单位到x3，第四步从x3向左跳四个单位到x4，以此类推，按以上规律跳了50步时，电子青蛙在数轴上点x【答案】35n+36【分析】根据题意列出算式，然后对算式进行整理，进而求解即可．【详解】解：设x0表示的数为a由题意得a+1−2+3−4+…+49−50=10，即a−25=10，解得：a=35，即x0∴35+1−2+3−4+…+2n+2n+1=35−n+2n+1=n+36故答案为：35；n+36．【点睛】此题考查数轴、有理数的加减，整式的加减，根据题意列出算式，找出简便的计算方法是解题的关键．【变式1】观察下面的三行单项式x、2x－2x、42x根据你发现的规律：(1)第①行第n个单项式为______(2)第②行第n个单项式为______(3)第③行第n个单项式为______(4)取每行的第11个单项式，令这三个单项式的和为A，计算当x＝12时，512（A＋1【答案】(1)2(2)（－(3)（－(4)1【分析】（1）观察第①行式子的特点，可得第n个数是2n（2）观察第②行式子的特点，可得第n个数是（－2（3）观察第③行式子的特点，可得第n个数是（－1（4）先求出A，再将x值代入计算即可．【详解】（1）观察第①行的每个单项式可知：系数依次×2，次数依次+1，∴第n个单项式为2n故答案为：2n（2）观察第②行的单项式可知：第奇数个是负数，第偶数个是正数，系数和次数同（1），∴第n个单项式为（－2故答案为：（－2（3）观察第③行单项式可知：在（1）、（2）的基础上符号与（2）的相反，（1）的系数+1，次数+1可得（3）系数的绝对值和次数，∴第n个单项式为（－1故答案为：（－1（4）x=1A=====−∴512===1答：当x=12时，512（【点睛】本题考查了整式中单项式的变化规律，能够通过所给例子，找到数字的规律，利用整式的加减运算法则是解题的关键．【变式2】已知一列数m，n2，m+n2，m+2n2【答案】13m+21【分析】由题意知从第3个数开始都是前面两个数的和，进而问题可求解．【详解】解：由题意得：从第3个数开始都是前面两个数的和，∴第7个数是2m+3n2+3m+5n第8个数是3m+5n2+5m+8n第9个数是5m+8n2+8m+13n故答案为：13m+21n【点睛】本题主要考查合并同类项及代数式规律问题，解题的关键是找准题干中代数式的规律．【变式3】下列方格中的四个数都是按照一定规律填写的，则x的值是（

）A．307 B．392 C．406 D．458【答案】C【分析】观察方格中的四个数的变化规律，可得：b=a+1，x=50b+a−1，只需求出a的值即可求出x的值．【详解】解：根据题意可得，第1个图形中，方格中的右上方的数为：2=1+1第2个图形中，方格中的右上方的数为：5=1+2第3个图形中，方格中的右上方的数为：10=1+3第4个图形中，方格中的右上方的数为：17=1+4……，第n个图形中，方格中的右上方的数为：1+n当1+n2=50∴a=7，b=a+1=8，∴x=50b+a−1=50×8+7−1=406．∴x的值是406．故选：C．【点睛】本题考查了数的变化，根据数的变化找出方格中四个数的关系，并根据数的变化规律求值，是解本题的关键，综合性较强，难度较大．模块二模块二与式有关的规律探索【例1】观察下列各不等式，发现规律并回答问题：11×3=12(1−（1）根据规律写出第4个式子：（2）利用规律求11×3【答案】（1）17×9=1【分析】（1）根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可写出第四个式子；（2）先类比（1）的规律将原式变形，再计算即可．【详解】解：（1）第4个式子：17×9（2）1=12=12=12=12=10092019【点睛】本题考查数字的变化规律，找出分数分子与分母的特点，得出拆分的规律是解题的关键．【例2】观察下列等式：1=12−02，3=22【答案】n2【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．【详解】解：∵1=13=25=3…∴第n个等式为：2n−1=故答案是：n2【点睛】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的关键．【例3】从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：加数n的个数

和（S）1————————→2=1×22345(1)这个规律，当n=6时，和为____________；(2)从2开始，n个连续偶数相加，它们的和S____________；（用含有n的式子表示）(3)应用上述公式计算：①2+4+6+⋯+200；

②202+204+206+⋯+300．【答案】(1)42；(2)n(n+1)；(3)①10100；②12550．【分析】（1）根据规律当n=6时，表示从2开始，6个连续偶数相加，进行计算即可；（2）根据前面几项的规律，归纳猜想：从2开始，n个连续偶数相加的和为n(n+1)；（3）①根据（2）中结论，2+4+6+⋯+200表示n=100时的它们的和；②所求式子可表示为前150项连续偶数的和减去前100项连续偶数的和，进行计算即可．【详解】（1）解：当n=6时，和为：2+4+6+8+10+12=6×7=42；故答案为：42；（2）解：从2开始，n个连续偶数相加，它们的和为：S=2+4+6+⋯+2n=n(n+1)；故答案为：n(n+1)；（3）解：①∵式子2+4+6+⋯+200，从2开始，有100个连续偶数相加，∴2+4+6+⋯+200=100×101=10100；②∵2+4+6+⋯+300=150×151=22650，2+4+6+⋯+200=100×101=10100∴202+204+206+⋯+300=(2+4+6+⋯+300)−(2+4+6+⋯+200)=22650−10100=12550．【点睛】此题考查了整式的求和规律探索，熟练掌握运用归纳法得出一般性结论，然后运用得到的结论解决一些简单的问题，是解答此题的关键．【变式1】观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3=3×4…，按此规律写出第n个等式_____．【答案】：n2+n＝n×（n+1）．【分析】根据算式可发现一个数的平方加上它本身，等于这个数与这个数加1的积．【详解】解：观察各式可知，第几个算式就是几的平方加几，等于等于这个数与这个数加1的积，所以，第n个等式为：n2+n＝n×（n+1），故答案为：n2+n＝n×（n+1）．【点睛】本题考查了用代数式表示规律，解题关键是准确分析题意，找到规律．【变式2】如图，(1)根据图示规律，完成填空；(2)通过计算说明“”成立的理由．【答案】(1)24；−6；4n+4；n−7(2)见解析【分析】（1）根据题意，观察图示，得到规律即可求解；（2）利用整式的加减法则计算，即可求解．【详解】（1）解：根据题意得：8=4×1+4,12=4×2+4,16=4×3+4,20=4×4+4，……∴①处为24；③处为4n+4；∵−6=1−7,−5=2−7,−4=3−7,−3=4−7，……∴②处为−6；④处为n−7；故答案为：24；−6；4n+4；n−7（2）解：理由如下：5n−3−4n+4【点睛】本题主要考查了数字类规律题，整式的加减混合运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键．【变式3】若规定运算符号“▲”满足下列各式：1▲3=3×1−2×32▲−40▲−7−12−25…根据以上规律，求解下列各题：（1）a▲b=；（2）若2m−n=3，求2m+n▲−4m+5n的值．【答案】（1）3a−2b；（2）21【分析】（1）根据已知的等式即可求解；（2）根据题意把2m+n▲−4m+5n化简，再代入2m−n=3即可求解．【详解】（1）由已知的等式可得：a▲b=3a−2b；故答案为：3a−2b；（2）2m+n▲−4m+5n=32m+n-2−4m+5n=6m+3n+8m-10n=14m−7n．当2m−n=3时．原式=14m−7n=72m−n【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知整式的加减运算法则．模块三模块三与图形排列有关的规律探索【例1】如图，每个图案均由相同大小的圆和正三角形按规律排列，依照此规律，第4个图形中三角形的个数比圆的个数多_______个．第n个图形中三角形的个数比圆的个数多____________个．（由含n的代数式表示）【答案】9(2n+1)【分析】每个图形可以看成是1个圆配3个正三角形，再额外加1个三角形，根据其规律，可求其值．【详解】解：根据题意有，第1个图形，圆的个数为：1；正三角形的个数为：1×3+1；第2个图形，圆的个数为：2；正三角形的个数为：2×3+1；第3个图形，圆的个数为：3；正三角形的个数为：3×3+1；第4个图形，圆的个数为：4；正三角形的个数为：4×3+1；……，第n个图形，圆的个数为：n；正三角形的个数为：n×3+1；∴第4个图形中三角形的个数比圆的个数多2×4+1=9个．n×3+1−n=3n−n+1=2n+1，∴第n个图形中三角形的个数比圆的个数多(2n+1)个．故答案为：①9，②(2n+1)．【点睛】本题考查了图形的变化，根据图形的变化找出其规律是解本题的关键，综合性较强，难度适中．【例2】小明同学为庆祝党的二十大，用五角星按一定规律摆出如下图案，第1个图案有3颗五角星，第2个图案有7颗五角星，第3个图案有11颗五角星，第4个图案有15颗五角星……依此规律，第2022个图案有___________颗五角星．【答案】8087【分析】根据题意，观察图中五角星个数，得到规律为3+4×【详解】解：根据题意，可知：第1个图形有3个五角星，个数为3+第2个图形有7个五角星，个数为3+第3个图形有11个五角形，个数为3+第4个图形有15个五角形，个数为3+4×3⋯∴第n个图形五角形个数为3+∴当n=2022时，五角形个数为4×2022−1=8087，故答案为：8087．【点睛】本题考查图形与数字结合的规律问题，从个数中找到规律是解决问题的关键．【例3】如图，我们可以用长度相同的火柴棒按一定规律搭正多边形组成图案，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，第n个图案需要_________根火柴棒，第2022个图案需要_________根火柴棒．【答案】7n+114155【分析】根据图形和数字规律、合并同类项的性质，计算得第n个图案的火柴棒数量，再根据代数式的性质计算，即可得到答案．【详解】解：根据题意，第1个图案的火柴棒有：8×1+0=8根第2个图案的火柴棒有：8×2−1=15根第3个图案的火柴棒有：8×3−2=22根…第n个图案的火柴棒有：8×n−n−1根，即7n+1∴第2022个图案的火柴棒有：7×2022+1=14155根故答案为：①7n+1，②14155．【点睛】本题考查了数字和图形规律、合并同类项、代数式的知识；解题的关键是找到数字和图形规律，从而完成求解．【变式1】如图是一组用“●”组成的图形，第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，根据这样的规律，第150个图形中“●”的个数是___________个．【答案】448【分析】根据第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，得出第n个图形由3n−2个“●”组成，将n=150代入求出结果即可．【详解】解：∵第1个图形由1个“●”组成，第2个图形由4个“●”组成，第3个图形由7个“●”组成，第4个图形由10个“●”组成，…，∴第n个图形由3n−2个“●”组成，∴第150个图形中“●”的个数为3×150−2=448（个）．故答案为：448．【点睛】本题主要考查了规律探究，解题的关键是根据题意归纳出第n个图形由3n−2个“●”组成．【变式2】下列图形都是由同样大小的小钢珠按一定规律排列的，按照此规律排列下去，第20个图形有小钢珠_____颗．【答案】210【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有1+2+3+4+…+n=1【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=1当n=20时，小球个数为1故答案为：210．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形变化规律得出第n个图形有1+2+3+4+…+n=1【变式3】如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形，……照此规律摆下去．(1)第5个图案有___________个三角形；(2)第n个图案有___________个三角形；(用含n的式子表示)(3)第2022个图案有几个三角形？【答案】(1)16(2)(3n+1)(3)6067【分析】设摆成第n(n为正整数)个图案需要an（1）根据前4个图案所需三角形的个数，可得出每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个，再结合a4的值即可求出a（2）由（1）的结论“每个图案所需三角形的个数比前一个图形多3个”，可得出an（3）代入n=2022即可求出结论．【详解】（1）解：设摆成第n(n为正整数)个图案需要an∵a1∴a2∴a5故答案为：16；（2）解：由（1）可知：an故答案为：(3n+1)；（3）当n=2022时，a2022∴摆成第2022个图案需要6067个三角形．【点睛】此题主要考查规律型：图形的变化规律，此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．模块四模块四课后作业1．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a−b−c的值是（

）A．−190 B．−66 C．62 D．6【答案】C【分析】每个图形中，左边三角形上的数字为a=−1n⋅2n，右边三角形上的数字为b=−1n⋅2n+2，下面三角形上的数字为c=【详解】解：通过观察可得规律：左边三角形上的数字为a=−1右边三角形上的数字为b=−1下面三角形上的数字为c=1∵n=7，∴a=−1×27=−128，b=−128+2=−126∴a−b−c=−128+126+64=62．故选：C．【点睛】本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决本题的关键．2．根据图中数字的规律，则x+y的值是______．【答案】593【分析】根据前三个图，得到规律：第二行左边的数比第一行数的平方加1，第二行右边的数=第二行左边的数×第一行的数+第一行的数；则x=82+1【详解】根据题意，可得：∵5=22+117=42+137=62+1∴x=82+1=65∴x+y=65+528=593．故答案为：593．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解答的关键是由图形得到规律，根据规律进行求解．3．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，⋯，依此规律，第5个图案需___________根火柴棒，第20个图案需___________火柴棒．【答案】43463【分析】根据第1个图案需7根火柴：7=1×1+3+3，第2个图案需13根火柴：13=2×2+3+3，第3个图案需21根火柴：21=3×3+3+3，得出规律：第n个图案需【详解】解：第1个图案需7根火柴：7=1×1+3第2个图案需13根火柴：13=2×2+3第3个图案需21根火柴：21=3×3+3……则第n个图案需火柴的根数为：n×n+3∴第5个图案需火柴的根数为：5×5+3第20个图案需火柴的根数为：20×20+3故答案为：43；463．【点睛】本题主要考查图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．4．有一组单项式依次为x2【答案】−【分析】不难看出，单项式的系数部分是−1n+11n【详解】−xx8−x…，∴第n个单项式为：−1n+1∴第8个单项式为：−故答案为：−x【点睛】本题主要考查数字的变化类规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．5．观察下列多项式：2a−b3，4a+b26，8a−b【答案】2【分析】由所给的式子可得，分母为3的倍数，分子中a的系数为2n，然后加上(−b)【详解】根据题目中显示的规律，第1项为2a−b3，第2项为4a+b26，第3项为8a−b故答案为：2n【点睛】本题考查数字的变化规律，能够通过所给例子，找到式子的规律是解题的关键．6．观察33=9=4+5则有32+42=52【答案】92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612【分析】认真观察这样的三个数实际是一组勾股数，再举两组勾股数写成这种形式即可．【详解】解：接续两个式子为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．故答案为92=81=40+41，则有92+402=412；112=121=60+61，则有112+602=612．【点睛】此题考查了学生熟记勾股数的程度以及观察总结能力．7．用火柴棒按如图的方式搭图形．(1)按图示规律完成下表：图形标号①②③④⑤……火柴棒根数59__________________……(2)按照这种方式搭下去，搭第n个图形需要多少根火柴棒？(3)搭第15个图形需要多少根火柴棒？【答案】(1)13，17，21(2)4n+1(3)61【分析】（1）根据所给的图形进行分析即可得出结果；（2）由（1）进行总结即可；（3）根据（2）所得的式子进行解答即可．【详解】（1）解：第1个图形的火柴棒根数为：5，第2个图形的火柴棒根数为：9=5+4=5+4×1，第3个图形的火柴棒根数为：13=5+4+4=5+4×2，第4个图形的火柴棒根数为：17=5+4+4+4=5+4×3，第5个图形的火柴棒根数为：21=5+4+4+4+4=5+4×4，……故答案为：13，17，21；（2）解：由（1）得：搭第n个图形需要火柴棒根数为：5+4(n−1)=4n+1．答：第n个图形需要火柴棒根数为：4n+1；（3）解：当n=15时，4n+1=4×15+1=61，所以搭第15个图形需要61根火柴棒．【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，解答的关键是根据所给的图形分析出其规律．8．观察下列等式．第1个等式22第2个等式32第3个等式42第4个等式52……按照以上规律，解决下列问题：(1)第5个等式为________．(2)猜想第n个等式为________（用含n的式子表示）．(3)观察下列各图，“·”的个数用a表示，“○”的个数用b表示，如：当n=1时，a=4，b=1；当n=2时，a=9，b=4；当n=3时，a=16，b=9；…当n=2023时，求a−b的值．【答案】(1)6(2)n+1(3)4047【分析】（1）根据规律直接写出即可；（2）根据规律直接写出即可；（3）分别求出当n=2023时，a和b的值，再代入求解即可．【详解】解：（1）62−（2）n+12−（3）根据图形规律可知，当n=2023时，a=2023+12=所以a−b=2024即a−b的值为4047．【点睛】本题为数式规律题，解题关键是能发现规律并能用字母表示其中的规律，考查了学生数形结合的能力．9．定义一种新运算，规律如下：2⊗3＝2×5﹣3＝7；3⊗（﹣1）＝3×5+1＝16；（﹣4）⊗（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．（1）请你想一想：a⊗b＝．（2）请计算：（﹣2）⊗8＝．（3）试说明：当x＝y时，x⊗y＝y⊗x．【答案】（1）5a﹣b；（2）-18；（3）见解析【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）根据（1）得出的结论求解即可；（3）利用题中的新定义化简等式左右两边，根据x＝y即可得证．【详解】解：（1）∵2⊗3=2×5−3=7，∴a⊗b=5a−b故答案为：5a−b；（2）由（1）得−2故答案为：﹣18；（3）由（1）得当x＝y时，x⊗y=5x