新九年级数学（人教版）第06讲 二次函数的相关概念及y=ax²的图象与性质（人教版）（解析版）

第06讲二次函数的相关概念及y=ax2的图象与性质【人教版】·模块一二次函数·模块二二次函数y=ax2的图象与性质·模块三课后作业模块一模块一二次函数二次函数的定义：我们把一种意义一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c就是常数，a≠0），那么y叫做x【考点1二次函数的定义】【例1.1】以下函数式二次函数的是（

）A．y=ax2+bx+c C．y=ax2【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c【详解】解：A、当a=0时，y=axB、由y=2x−12−4C、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D、由原函数解析式得到y=x应选：D．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键．【例1.2】关于x的函数y=a−bx2A．a≠b B．a=b C．b=0 D．a=0【答案】A【分析】根据二次函数的定义，直接求解即可得到答案；【详解】解：∵y=a−b∴a−b≠0，解得：a≠b，故选A．【点睛】本题考查二次函数的条件，二次函数二次项系数不为0．【变式1.1】若函数y=m−3xm2−7【答案】−3【分析】根据二次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵函数y=m−3xm∴m2解得m=−3，故答案为：−3．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0且a、b【变式1.2】有下列函数：①y=（2x−1）2−4x2；②y=2x2【答案】②③④【分析】根据二次函数定义：形如y=ax2+bx+c（a、b、c【详解】解：y是x的二次函数的是②y=2x2；③y=x故答案为：②③④．【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【变式1.3】已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则mA．−1 B．3 C．−1或3 D．0【答案】B【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；【详解】∵y=(m+1)x|m−1|+2m是y∴m−1=2解得：m=3；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．【考点2二次函数的一般形式】【例2.1】二次函数y=−x2−2x+1A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b【详解】解：二次函数y=−x2−2x+1故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【例2.2】．二次函数y=2xx−3的二次项系数与一次项系数的和为（

A．2 B．−2 C．−1 D．−4【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：y=2xx−3∴二次项系数是2，一次项系数是−6，∴2−6=−4，故选：D．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键．【变式2.1】二次函数y=x2−6x−1A．1，−6，−1 B．1，6，1 C．0，−6，1 D．0，6，−1【答案】A【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b【详解】解：二次函数y=x∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，−6，−1．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式2.2】二次函数y=5xx−1A．1 B．−1 C．2 D．−5【答案】D【分析】先把二次函数化为y=ax【详解】∵原二次函数可化为y=5x∴其一次项系数是−5．故选：D．【点睛】考查二次函数的一般形式，把二次函数化为y=ax【变式2.3】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项．(1)y=−x+1；(2)y=−x(3)y=2(4)y=1(5)y=ax(6)y=m2x【答案】(1)y=−x+1不是二次函数，是一次函数(2)y=−x22(3)y=2(4)y=13x(5)a=0时，y=ax(6)m=0时，y=m【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；（2）根据二次函数的定义即可判断；（3）根据二次函数的定义即可判断；（4）根据二次函数的定义即可判断；（5）根据二次函数的定义即可判断；（6）根据二次函数的定义即可判断．【详解】（1）y=−x+1不是二次函数，是一次函数；（2）y=−x22（3）y=2（4）y=13x2+2x−3（5）a=0时，y=ax（6）m=0时，y=m【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c【考点3实际问题中的二次函数】【例3.1】正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y，则y是x的函数，它们的关系式为（）A．y=2x B．y=6xC．y=2x2 【答案】D【分析】先计算正方体一个面的面积，然后乘以六得到正方体的表面积．【详解】解：正方体的每一个面都是面积为x2∵展开后由六个全等的小正方形组成，∴正方体表面积为y=6x故答案选：D【点睛】本题考查了二次函数关系式，用棱长表示出正方体表面积是解题关键．【例3.2】某化工厂1月份生产某种产品200t，3月份生产这种产品yt，则y与产品产量的月平均增长率【答案】y=200【分析】根据增长率问题，2月份的产量为2001+x，则3月份的产量为200【详解】解：依题意，y=2001+x故答案为：y=2001+x【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，列出二次函数关系式，是解题的关键．【例3.3】如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为x(m)，另一边的长为y(m)，矩形的面积为S(m2)．当x在一定范围内变化时，y与xA．一次函数关系，二次函数关系 B．正例函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，正例函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系【答案】A【分析】分别列出y与x的关系式，S与x的关系式判断即可；【详解】解：由题意可得：y=−12∴y与x成一次函数关系；S与x成二次函数关系；故选：A．【变式3.1】圆的面积y(cm2)与圆的半径【答案】y=π【分析】根据圆的面积计算公式，直接写出函数关系式即可．【详解】由圆的面积计算公式,得y=πx2.【变式3.2】如果I表示汽车经撞击之后的损坏程度，经多次实验研究后知道，I与撞击时的速度v的平方之比是常数2，则I与v的函数关系为（

）A．正比例函数关系 B．反比例函数关系 C．一次函数关系 D．二次函数关系【答案】D【分析】根据题意，列出I与v的函数关系式，即可进行解答．【详解】解：根据题意可得：Iv整理得：I=2v∴I与v的函数关系为二次函数关系；故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出正确的函数函数关系式．模块二模块二二次函数y=ax2的图象与性质二次函数y=ax（1）抛物线y=ax2的顶点就是坐标原点，对称轴就是y（2）函数y=ax2的图像与a的①当a＞0时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当a＜0时抛物线开口向下顶点为其最高点；（3）顶点就是坐标原点，对称轴就是y轴，抛物线的解析式形式为y=ax【考点1二次函数y=ax2的图象】【例1.1】在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数y=4x2，y=14xx…−101…y=4……y=……y=−4……y=−……（1）抛物线y=4x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．抛物线（2）抛物线y=4x2与抛物线（3）抛物线y=14x2，当x______0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x______0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最_______点．抛物线【答案】列表、画图象，如图所示,见解析；（1）向上

y轴

(0,0)

向下

y轴

(0,0)；（2）x；（3）≠

>

低>高．【分析】根据画函数图像的步骤：列表，根据表中提示先填好表格的数，再描点，根据表中提供的对应数值作为点的坐标描点，最后用平滑的曲线连接各点可得函数的图像；（1）根据所画的y=4x2与（2）根据所画的y=4x2与（3）根据所画的y=14x【详解】列表如下：x…−101…y=4…404…y=…101…y=−4…−40−4…y=−…−0−…描点：将表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点．连线：用平滑的曲线连接，如图所示：（1）根据所画的函数y=4x2与抛物线y=4x2的开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)．抛物线y=−4x2的开口方向向下，对称轴是故答案为：向上

y轴

(0,0)向下

y轴

(0,0)（2）由图像可得：抛物线y=4x2与抛物线y=−4x故答案为：x．（3）由图像可得：抛物线y=14x2，当x≠0时，抛物线上的点都在x轴上方；当x>0时，抛物线从左向右逐渐上升；它的顶点是最低点．抛物线故答案为：≠

>

低

>

高．【点睛】本题考查的是画函数的图像，及根据图像总结函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．【例1.2】已知抛物线y=ax2a≠0A．−2 B．14 C．1 D．【答案】A【分析】根据抛物线y=ax2a≠0【详解】解：∵抛物线y=ax∴a故选A【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，明确影响抛物线开口方向的因素是解答本题的关键．【例1.3】已知函数y=m+3（1）求m的值．（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？【答案】（1）m1＝−4，m2＝1；（2）当m＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）当m＝1时，函数为y=4x【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．（2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下；（3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；【详解】解：（1）∵函数y=m+3∴m2＋3m−2＝2，m＋3≠0，解得：m1＝−4，m2＝1；（2）∵函数图象的开口向下，∴m＋3＜0，∴m＜−3，∴当m＝−4时，该函数图象的开口向下；（3）∵m＝−4或1，∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，∴m＞−3，∵m＝−4或1，∴当m＝1时，函数为y=4x【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．【变式1.1】对于函数y=3xA．y的值总为正 B．图像开口向下C．图像顶点在原点 D．y随x的增大而增大【答案】C【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向，顶点坐标，进而求解．【详解】解：∵y=3x∴抛物线开口向上，顶点在原点上，y≥0，当x＜0时，y随x增大而减小，当x＞0时，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．【变式1.2】根据下列条件分别求a的取值范围．(1)函数y=a−2x2，当x>0时，y随x的增大而减小，当x<0时，y(2)函数y＝y=3a−2(3)抛物线y=a+2x2(4)函数y=ax【答案】(1)a<2；(2)a<23(3)a=−32或(4)a>0．【分析】（1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x增大而增大，可得答案；（2）根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；（3）根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；（4）根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．【详解】（1）解：由题意得a−2<0，解得a<2．（2）由题意得3a−2<0，解得a<23（3）由题意得a+2=12或a+2=−解得a=−32或（4）∵函数土象开口向上∴a>0．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解决本题的关键是根据二次函数图象性质求解．【变式1.3】说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1）y=3x（2）y=−3x（3）y=1（4）y=−1【答案】（1）（3）抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；（2）（4）抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）【分析】（1）根据如果抛物线y=ax2a≠0，那么其对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），如果a（2）根据如果抛物线y=ax2a≠0，那么其对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），如果a（3）根据如果抛物线y=ax2a≠0，那么其对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），如果a（4）根据如果抛物线y=ax2a≠0，那么其对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），如果a【详解】解：（1）∵抛物线解析式为y=3∴a＝3＞0，∴抛物线y＝3x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；（2）∵抛物线解析式为：y=−3x∴a＝-3＜0，∴抛物线y＝-3x2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0）；（3）∵抛物线解析式为：y=1∴a＝1∴抛物线y＝13x2的开口向上，对称轴为y（4）∵抛物线解析式为：y=−1∴a＝−1∴抛物线y＝−13x2的开口向下，对称轴为【点睛】本题主要考查了二次函数的开口方向，二次函数的对称轴，顶点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【考点2二次函数y=ax2的性质】【例2.1】已知点A−3,y1,B−1,A．y1>y2>y3 B．y1【答案】B【分析】根据二次函数的增减性，即可求解．【详解】解：∵y=2x∴图像的开口向上，对称轴是直线y轴，对称轴左边y随x的增大而减小，∵A−3,y1,B−1,∴y1故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【例2.2】函数 ①y=3x2， ②y=3A． ①> ②> ③ B． ①> ③【答案】D【分析】根据二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵3=3>∴图象开口大小的顺序是②>故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知对于二次函数y=ax2a≠0【例2.3】在同一坐标系中，作y=2x2、y=−2x2、A．都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于y轴对称，抛物线开口向下C．都是关于原点对称，顶点都是原点 D．都是关于y轴对称，顶点都是原点【答案】D【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y=ax【详解】解：因为y=2x2、y=−2x2、y=ax2形式的二次函数对称轴都是所以它们的共同特点是：关于y轴对称，抛物线的顶点在原点．故选D．【点睛】此题主要考查了二次函数图象，熟练掌握y=ax2形式的二次函数对称轴都是【变式2.1】抛物线y=−x2的顶点坐标是（A．−1,0 B．0,−1 C．0,0 D．1,−1【答案】C【分析】根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】解：二次函数y=−x2的图象的顶点坐标为故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2.2】若二次函数y=ax2的图像经过点P−3,4A．3,4 B．（−3,−4 C．−4,3 D．4,−3【答案】A【分析】先确定出二次函数图像的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【详解】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为∴若图像经过点P−3,4，则该图像必经过点3,4故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数图像的对称性，确定出函数图像的对称轴为y轴是解题的关键．【变式2.3】已知y=(k+1)x(1)求满足条件的k的值；(2)k为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点.当x为何值时，y的值随x值的增大而增大？(3)k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y的值随x值的增大而减小？【答案】(1)k=±2；(2)见解析；(3)见解析.【分析】（1）直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值；（2）抛物线有最低点，所以开口向上，k+1大于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质，即可得最低点的坐标和函数的单调区间；（3）函数有最大值，可得抛物线的开口向下，k+1小于0，再根据（1）中k的值即可确定满足条件的值，然后根据二次函数性质可求得最大值和函数单调区间．【详解】(1)根据二次函数的定义得

k2−2=2∴当k=±2时，原函数是二次函数.(2)

根据抛物线有最低点，可得抛物线的开口向上，∴k+1＞0，即k＞-1，根据第(1)问得：k=2.∴该抛物线的解析式为y=3(3)根据二次函数有最大值，可得抛物线的开口向下，∴k+1＜0，即k＜-1，根据第(1)问得：k=-2.∴该抛物线的解析式为y=−∴当k=-2时，函数有最大值为0.

当x＞0时，y随x的增大而减小.【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的定义，正确掌握二次函数的性质是解题关键，是基础题型．模块三模块三课后作业1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=−3x+5 B．y=2x2 C．y=(x+1)【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．函数是二次函数，故本选项符合题意；C．y=(x+1)D．函数不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y=ax2+bx+c（a、b、c2．下列判断中唯一正确的是（

）A．函数y=ax2的图象开口向上，函数B．二次函数y=ax2，当x<0时，y随C．y=2x2与D．抛物线y=ax2与y=−ax【答案】D【分析】利用二次函数的图象与a的关系逐项判断即可．【详解】解：A、若当a<0时，则函数y=ax2的图象开口向下，函数y=−axB、若a>0时，则二次函数y=ax2开口向上，当x<0时，y随x的增大而减小，故C、由于两函数中二次项系数互为相反数，故两抛物线的开口方向相反，故C不正确；D、因为a和−a互为相反数，所以抛物线y=ax2与y=−ax故选:D.【点睛】考查了二次函数的图象以及性质，对开口方向即单调性的判断需注意a的正负.3．点Am−1,y1，Bm,y2都在抛物线y=xA．m>4 B．m<4 C．m<12 【答案】D【分析】分别把点Am−1,y1，B【详解】解：∵点Am−1,y1，B∴y1=m−1∵y1∴m−12即m2∴−2m+1<0解得：m>1故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数y=ax2a≠04．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（）A．d<c<a<b B．d<c<b<a C．c<d<a<b D．c<d<b<a【答案】B【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】解：∵直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为1,a，1,b，1,c，1,d，∴a>b>c>d，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．5．若函数y=m+2x2A．m≥−2 B．m≠2 C．m≠−2 D．m=−2【答案】C【分析】根据二次函数的定义，即可求解．【详解】解：根据题意得m+2≠0，解得m≠−2，故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+c（a，b，c6．线段AB=5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以线段AP为边作正方形APCD，线段PB长为半径作圆，设点P的运动时间为t，正方形APCD周长为y，⊙B的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（

）A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系【答案】C【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．【详解】解：由题意，得y=4t，属于正比例函数关系，S=π(5−t)故选：C．【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．7．如果抛物线y=ax2在对称轴左侧呈上升趋势，那么【答案】a<0【分析】利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得a的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=ax∴抛物线开口向下，∴a<0，故答案为：a<0．【点睛】本本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线开口向上；当a<08．如果抛物线y=m−2x2【答案】m<2【分析】根据二次函数y=m−2x2【详解】解：∵抛物线y=m−2∴抛物线开口向下，∴m−2<0，∴m<2，故答案为：m<2．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．9．已知二次函数y=a−1x2，当x>0时，y随x【答案】a<1【分析】根据二次函数的性质可进行求解．【详解】解：由当x>0时，y随x的增大而减小，可知：a−1<0，∴a<1；故答案为a<1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．函数y=k+1xk【答案】1【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：∵函数y=k+1∴k+1≠0,k解得：k≠−1,k=±1．∴k=1．故答案为：1．【点睛】题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如y=ax2+bx+ca≠0的函数关系，称为11．下列函数①y=5x−5；②y=3x2−1；③y=4x3【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①y=5x−5为一次函数；②y=3x③y=4x④y=2x⑤y=1x故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．12．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为