新九年级数学（人教版）第04讲 实际问题与一元二次方程（人教版）（原卷版）

第04讲实际问题与一元二次方程【人教版】·模块一传播问题和数字问题·模块二变化率问题和销售问题·模块三几何图形面积问题·模块四课后作业模块一模块一传播问题和数字问题一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。【考点1传播问题】【例1.1】一人患了流感，两轮传染后共有121人感染了流感．按这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人共有(

)人A．20 B．22 C．60 D．61【例1.2】某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数【变式1.1】今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病急，蔓延速度快．某养猪场第一天发现3头生猪发病，两天后发现共有192头生猪发病．（1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3天后生猪发病头数会超过1500头吗？【变式1.2】有一个人患了流感，经过两轮传染后有若干人被传染上流感．假设在每轮的传染中平均一个人传染了x个人．(1)第二轮被传染上流感人数是______；（用含x的代数式表示）(2)在进入第二轮传染之前，如果有4名患者被及时隔离（未治愈），经过两轮传染后是否会有63人患病的情况发生，并说明理由．【考点2循环问题】【例2.1】组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？【例2.2】某班级的一个小组同学每两个都握手一次，共握手66次，求该小组共有多少人？【变式2.1】在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会?【变式2.2】小明利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数的2倍发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有351人手机上获得同一条信息，求小明向几个人发短信？设小明向x人发短信，根据题意列方程得_____．【考点3数字问题】【例3.1】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（

）A．xx−2=99 C．xx−1=99 【例3.2】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（

）A．25 B．36 C．25或36 D．64【变式3.1】一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_____．【变式3.2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小3，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小27，则原来的两位数是___．模块二模块二变化率问题和销售问题【考点1平均变化率问题】【例1.1】目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2020年底有5G用户2万户，计划到2022年底全市5G用户数达到9.68万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则可列方程为（

）A．21−2x=9.68 B．21+x=9.68 C．【例1.2】现代互联网技术的广泛应用．催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的26名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【变式1.1】2023年蚌埠市为了更好的吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，绿地面积增加44%A．22% B．10% C．20%【变式1.2】某地新开发风景区2月份的游客人数比1月份增加60%，3月份的游客人数比2月份减少了10%．(1)设该风景区1月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式填表：月份123游客人数/万人a(2)求该风景区2月份、3月份游客人数的月平均增长率．【考点2销售问题】【例2.1】某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元【例2.2】电影《满江红》在2023年春节档上映，深受观众喜爱．某电影院每日开放若干个能容纳80位观众的放映厅排片《满江红》，票价统一订为60元．经调查发现，当一天排片3个放映厅时，每个厅均能坐满．在此基础上，每增加1个厅，每个厅将减少10位观众．若该电影院拟一日票房收入为18000元，设需要增加开放x个放映厅，根据题意可列出方程为（

）A．603−x80+10x=18000C．603+x110−10x=18000【变式2.1】疫情期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售．经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该工艺品60件，且每件的售价每降低1元，就会多售出3件．若每件工艺品需要19元成本，设该工艺品的售价为x元/件（19≤x≤40）．(1)请用含x的代数式填空：①销售每件工艺品的利润为________元；②每天能售出该工艺品的件数为________．(2)为了支持抗疫行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款1元，若每天销售该工艺品的纯利润为900元，求该工艺品的售价．【变式2.2】沃柑是零陵区最近几年引进种植的水果品种，它以色泽亮丽，口味甜美而迅速占领了零陵区的水果市场，今年恰逢沃柑大丰收，一水果商以每斤3元的价格购进了大量的沃柑，然后以每斤9元的价格进行销售，平均每天可以销售150斤，经调查发现，如果沃柑的售价每降价1元，那么平均每天的销售量会增加50斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售，如果该水果商销售的沃柑要每天保证盈利1000元，每斤沃柑应降至多少元？【变式2.3】旅行社为吸引游客组团去某景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：若某公司组织员工去该风景区旅游，共支付给旅行社会旅游费用27000元，请问该公司这次共有多少名员工去该风景区旅游？模块三模块三几何图形面积问题【考点1规则图形的面积问题】【例1.1】一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加了39cmA．5cm B．6cm C．8cm D．10cm【例1.2】我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（

）A．xx−6=864 C．xx+6=864 【例1.3】在半径为R的圆形钢板上，挖去四个半径都为r的小圆.若R＝16.8，剩余部分的面积为272π，则r的值是（

）A．3.2 B．2.4 C．1.6 D．0.8【变式1.1】某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园．已知这块地的长是宽的3倍，，它的面积为60000(1)这块荒地的宽为多少米?(2)若在公园中建一个圆形喷水池，其面积为80πm【变式1.2】如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．【变式1.3】用一条长为40cm的铁丝围成一个斜边长为17cm的直角三角形，则这个直角三角形的面积为____【考点2边框与甬道的面积问题】【例2.1】如图，在一块长92m，宽60m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成6个矩形小块（阴影部分），如果6个矩形小块的面积和为5310m2，那么水渠应挖多宽？若设水渠应挖

A．92−2x60−x=5310 C．92×60−2×60x−92x=5310 D．92×60−2×92x−60x+2【例2.2】要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一道墙，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为

(1)若墙足够长，则养鸡场的长与宽各为多少？(2)若给定墙长为am，则墙长a【例2.3】如图1，有一长方形菜地，长比宽多20米．求菜地的面积．老师在黑板上的板书：x(x+20)(1)请根据老师的板书说出x的实际意义：__________________；(2)请用含x的多项式表示菜地的面积为：__________________；(3)如图2，经测量菜地的长为120米．张老爹为了扩大菜地面积，向周围开垦荒地，已知四周开垦的菜地宽度均为a米，通过计算说明菜地开垦后的面积（结果用含a的多项式表示）；(4)当a=2米时，求菜地开垦后的面积；【变式2.1】2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m【变式2.2】如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m

模块四模块四课后作业1．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（）A．(n+1)2=1641 B．(n−1)2=1641 C．2．疫情期间，若有1人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有361人染上“新冠”，平均一个人传染x个人．则由题意列方程得（

）A．x+12=361 C．1+x+x2=3613．某大型超市在2022年12月份的纯利润是100万元，由于改进管理，额外损耗减少，2023年2月份的纯利润达到了121万元．假设该超市在2022年12月至2023年1月、2月间每个月增长的利润率相同，则每个月增长的利润率为（

）A．30% B．20% C．15%4．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，要围成面积为45m

5．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．6．某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为_______7．如图，要搭建一个矩形的自行车棚ABCD，一边AD靠墙MN，另三边的总长为60米．设AB的长为x米．(1)若墙MN长为30米，当x为多少时，矩形车棚的面积为400平方米．(2)车棚面积能否为460平方米？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由．8．某商场在销售中发现：某名牌衬衣平均每天可售出20件，每件衬衣盈利40元．为了迎接元旦节，扩大销售量，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衣降价1元，商场平均每天可多售出2件．要想平均每天盈利1200元，每件衬衣应降价多少元？9．为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品．该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售256袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋．(1)求八、九这两个月销售量的月平均增长率；(2)该