山东省青岛市2024-2025学年高一数学上学期1月期末试题

Page11山东省青岛市2024-2025学年高一数学上学期1月期末试题一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列能正确表示集合和关系的是（

）A． B．C． D．2．若，是其次象限的角，则的值等于（

）A． B． C． D．3．半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．5．已知函数，满意对随意的实数都有成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标记着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）公众号中学试卷资料下载A．60 B．63 C．66 D．697．在同始终角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（

）A． B．C．D．8．已知函数只有一个零点，不等式的解集为，则的值为（

）A． B． C． D．1二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知幂函数的图象过点，则（

）A．B．C．函数在上为减函数D．函数在上为增函数10．下列各式的值等于1的有（

）A． B．C． D．11．定义在R上的函数满意：对随意的，有，集合A}，若“”是“”的充分不必要条件，则集合B可以是（

）A． B．C． D．12．若函数对，，不等式成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的有（

）A． B．C． D．三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第___________象限角．14．已知幂函数的图象经过点，则___________．15．十六､十七世纪之交，随着天文､航海､工程､贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家约翰·纳皮尔正是在探讨天文学的过程中，为了简化其中的计算而独创了对数，后来数学家欧拉发觉了对数与指数的关系，即，现已知，则______________.16．设函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围是_______．四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．求值：(1)(2)18．已知全集，集合，集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.19．已知函数，（1）推断的奇偶性；（2）用定义证明在上为减函数.20．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，P，Q的纵坐标分别为，.（1）求的值；（2）求.21．设函数，若实数使得对随意恒成立，求的值.22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依靠函数”.（1）推断函数是否为“依靠函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上为“依靠函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依靠函数”，若存在实数：，使得对随意的，不等式都成立，求实数的最大值.参考答案1．A求出集合N，再求出即可得答案.解：，故，故选：A2．C先求得，然后求得.由于，是其次象限的角，所以，所以.故选：C3．A依据题中条件，由扇形的面积公式，可干脆得出结果半径为1，圆心角为2弧度的扇形的面积是（其中为扇形所对应的弧长，为半径，为扇形所对应的圆心角）.故选：A.4．C依据对数函数与指数函数的性质，分别推断，，的范围，即可得出结果.因为，，，所以.故选：C.5．B本题先推断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.因为函数满意对随意的，都有成立，所以函数是定义在上的减函数，所以，解得，所以故选：B本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.6．C将代入函数结合求得即可得解.，所以，则，所以，，解得.故选：C.本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算实力，属于中等题.7．A依据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；对于B，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；对于D，二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；故选：A关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题实力，数形结合思想，属于基础题.8．C依据函数只有一个零点可得，又不等式的解集为，转化为一元二次方程的根问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系最终可得，联合即可得的值.解：函数只有一个零点，则，不等式的解集为，即的解集为.设方程的两根为，则，且，∴，则，整理得，.故选：C.9．BC依据幂函数的定义以及图象过点可得，故选项A错误、故选项B正确.依据幂函数的单调性可推断C正确、D错误.∵为幂函数，∴，即，∴或，当时，，此时，函数图象不过点，故，故选项A错误：当时，，此时，函数图象过点，故，故选项B正确；因为幂函数在上为减函数，故选项C正确；因为幂函数在上为减函数，故选项D错误.故选：BC10．AD依据同角平方关系可推断A，依据诱导公式可推断BCD.，选项A正确；，选项B错误；，选项C错误：，选项D正确，故选:AD11．CD可先推断出函数在R上单调递减，结合图象即可得，再由“”是“x∈B”的充分不必要条件，对应集合是集合的真子集即可求解.依题意得，函数在R上单调递减，且图象过点在同一坐标系下画出函数与的图象，由图易知不等式的解集为，即，因为“”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集．可以取满意集合是集合的真子集．故选：CD.12．ACD令，题中条件转化为推断在上是减函数，再逐项构造函数，进行推断即可．若函数满意对，，当时，不等式恒成立，则，令，因为，则，，且恒成立，在上是减函数，对于A选项，，则，对称轴是，开口向下，所以在递减，故A正确；对于B选项，，则在上单调递增，故B错；对于C选项，，则在上明显单调递减，故C正确；对于D选项，，则，因为与在都是减函数，所以在递减，故D正确；故选：ACD关键点点睛：求解本题的关键在于将恒成立转化为新函数满意上恒成立，依据单调性的定义，推断新函数的单调性，即可求解.13．第三象限角试题分析：当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，则α是第三象限角．考点：三角函数值的象限符号.14．4由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．设，则，，即，所以．故答案为：415．由题，分别化简的值代入即可.因为，所以，所以，所以.故答案为：.本题考查对数的运算，娴熟驾驭换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.16．∵函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，∴，解得：，故答案为17．(1)6(2)0(1)依据指数运算公式和对数运算公式求解即可；(2)依据诱导公式化简求值即可.（1）；（2）．18．(1)或；(2)或.（1）确定集合A，B，求出集合B的补集，依据集合的并集运算，即可求得答案.（2）求出集合A的补集，依据，列出相应不等式，求得答案.（1）集合，当时，，则或，故或；（2）由题意可知或，,由，则或，解得或.19．(1)奇函数；(2)证明见解析.试题分析：(1)首先确定函数的定义域关于坐标原点对称，然后利用可说明是奇函数.(2)利用函数单调性的定义设设是上的随意两数，且，探讨的符号即可证明函数在上为减函数.试题解析：（1）函数的定义域为，又∴是奇函数.（2）证明：设是上的随意两数，且，则∵且，∴即.∴在上为减函数.点睛：推断函数的奇偶性之前务必先考查函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数肯定是非奇非偶函数，对于给出详细解析式的函数，证明或推断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．20．（1）；（2）.（1）由三角函数的定义即可求解；（2）由三角函数的定义分别求出、、的值，再计算的值即可出的值.（1）因为点的为角终边与单位圆的交点，且纵坐标为，将代入，因为是锐角，，所以，由三角函数的定义可得：，（2）由，是锐角，可得，因为锐角的终边与单位圆相交于Q点，且纵坐标为，将代入，因为是锐角，，可得，所以，，所以，因为，，所以，所以.21．整理得，，则可整理得，，据此，列出方程组，，解方程组，可得答案.解：，，即，即，化为：，依题意，对随意恒成立，，由得：，故答案为：22．（1）不是“依靠函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.（1）由“依靠函数”的定义进行推断即可；（2）先依据题意得到，解得：，再由，解出，依据的范围即可求出的取值范围；（3）依据题意分，，考虑在上单调性，再依据“依靠函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.（1）对于函数的定义域内存在，则无解，故不是“依靠函数”.（