2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.1相等关系与不等关系2.1.2基本不等式学生用书湘教版必修第一册

PAGEPAGE12．1.2基本不等式最新课程标准学科核心素养驾驭基本不等式ab≤a+b2(a1.理解基本不等式的几何意义及其推导过程．(直观想象、逻辑推理)2．会用基本不等式解决最值问题．(逻辑推理、数学运算)教材要点要点基本不等式定理：对随意a，b∈R，必有a2＋b2≥____________，当且仅当a＝b时，等号成立．推论：对随意a，b≥0，必有____________，当且仅当a＝b时，等号成立．其中a+b2称为正数a，b的________，ab称为正数a，b状元随笔不等式a+b2≥ab与不等式a2＋ba2＋b2≥2aba+b适用范围a，b∈Ra＞0，b＞0文字叙述两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值“＝”成立的条件a＝ba＝b基础自测1.思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)当a，b同号时，ba+(2)函数y＝x＋1x(3)6和8的几何平均数为23.()(4)不等式a2＋b2≥2ab与ab≤2．已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2abC．1a+1b＞23．若a＞1，则a＋1a−1A．2B．aC．2a4．已知x，y都是正数．(1)假如xy＝15，则x＋y的最小值是________．(2)假如x＋y＝15，则xy的最大值是________．题型1利用基本不等式比较大小例1若a≥b＞0，试比较a,a2+b方法归纳一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式a+b2≥ab(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应跟踪训练1(1)若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2ab，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2abC．2abD．a＋b(2)已知a＞b＞c，则a−bb−c与a−c题型2利用基本不等式证明不等式例2已知a，b，c＞0，求证：a2b+b2c+方法归纳(1)在利用a＋b≥2ab时，肯定要留意是否满意条件a＞0，b＞0.(2)在利用基本不等式a＋b≥2ab或a+b2≥ab(a＞0，b(3)另外，在解题时还要留意不等式性质和函数性质的应用．跟踪训练2已知实数x，y均为正数，求证：(x＋y)(4x+9题型3利用基本不等式求最值例3(1)对于代数式12x＋4x①当x>0时，求其最小值；②当x<0时，求其最大值．(2)设0<x<32，求4x(3－2x(3)已知x>2，求x＋4x−2方法归纳应用基本不等式解题的关键在于“拼”、“凑”、“拆”、“合”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构．跟踪训练3(1)若0<x<12，则y＝x(1－2xA．14B．C．1D．4(2)已知x＜12，则2x＋1(3)已知x>1，求y＝4x课堂非常钟1．关于命题p：∀a，b∈R，ab≤a+b2A．¬p：∃a，b∈R，ab≥a+bB．不能推断p的真假C．p是假命题D．p是真命题2．下列命题中正确的是()A．当a，b∈R时，ab+baB．当a＞0，b＞0时，(a＋b)1a+C．当a＞4时，a＋9a≥2a·D．当a＞0，b＞0时，2ab3．不等式9x−2＋(x－2)≥6(其中xA．x＝3B．x＝－3C．x＝5D．x＝－54．已知t>0，则y＝t25．设a>0，b>0，证明：b2a+a2

2．1.2基本不等式新知初探·课前预习要点2aba+b2[基础自测]1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba＞0，ab＞0，所以ba+ab≥2ba·答案：D3．解析：a>1，所以a－1>0，所以a＋1a−1＝a－1＋1a−1＋1≥2当且仅当a－1＝1a−1即a答案：D4．解析：(1)x＋y≥2xy＝215，即x＋y的最小值是215；当且仅当x＝y＝15时取最小值．(2)xy≤x+y22＝152即xy的最大值是2254当且仅当x＝y＝152时xy答案：(1)215(2)225题型探究·课堂解透例1解析：∵a≥b>0，∴a2+b22≤a2+a22＝a，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2，∴a2又a>0，b>0，则a2+b22由a>0，b>0，得a+b2∵1a+1b2≥∵21a+1b－b＝ba−ba+b∴a≥a2+b跟踪训练1解析：(1)方法一∵0<a<1，0<b<1且a≠b，∴a2＋b2>2ab，a＋b>2ab，a>a2，b>b2，∴a＋b>a2＋b2，故选D.方法二取a＝12，b＝13，则a2＋b2＝2ab＝63，2ab＝13，a＋b＝明显56(2)∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴a−c2＝a−b+b−c2≥a−bb−c，当且仅当a－b＝b－c答案：(1)D(2)a−b例2证明：∵a，b，c，a2∴a2b＋b≥2a2当且仅当a2b＝b2c＋c≥2b2当且仅当b2c＝c2a＋a≥2c2当且仅当c2a＝相加得a2b＋b＋b2c＋c＋c2a＋a≥2∴a2b+b2c+跟踪训练2证明：(x＋y)4x+9y＝4＋9＋又因为x>0，y>0，所以4yx>0，9x由基本不等式得，4yx+9xy≥24yx即2y＝3x时取等号，所以(x＋y)4x+例3解析：(1)①∵x>0，∴12x>0，4x∴12x＋4x≥212x·4x当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83∴当x>0时，原式的最小值为83.②∵x<0，∴－x>0.则－12x+4x＝12−x＋(－4x)≥212−x·−4x＝83，当且仅当12−x∴12x＋4x≤－83∴当x<0时，原式的最大值为－83.解析：(2)∵0<x<32，∴3－2x>0，∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x+3−2x2当且仅当2x＝3－2x，即x＝34∴y的最大值为92(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋4x−2＝(x－2)＋4x−2＋2≥2当且仅当x－2＝4x−2即x＝4时，x＋4x−2跟踪训练3解析：(1)∵0<x<12，∴1－2x∴y＝x(1－2x)＝12·2x(1－2x)≤12·2x+1−2x2当且仅当2x＝1－2x，即x＝14(2)∵x<12，∴1－2x∵2x＋12x−1＝2x－1＋12x−1＋1＝－∴1－2x＋11−2x≥21−2x·1∴2x＋12x−1≤(3)∵x>1，令t＝x－1(t>0)，则x＝t＋1，所以y＝4x2−8x+5x−1＝4t+12−8t+1+5t当且仅当4t＝1t，即t＝12，x＝所以y＝4x答案：(1)B(2)－1(3)见解析[课堂非常钟]1．解析：∵命题p：∀a，b∈R，ab≤a+b2∴¬p：∃a，b∈R，ab＞a+b2当a，b一正一负时，ab＜0，a+b22≥0，ab≤当a，b中至少一个为0时，ab＝0，a+b22≥0，ab≤当a，b均为负数时，a＋b＝－(－a－b)≤－2ab，整理得ab≥a+b22，当且仅当a＝当a，b均为正数时，a＋b≥2ab，整理得ab≤a+b22，当且仅当a＝∴命题p：∀a，b∈R，ab≤a+b2答案：C2．解析：A项中，可能ba<0，所以不正确；B项中，因为a＋b≥2ab>0，1a+1b≥21ab>0，相乘得(a＋b)1a+