理论力学虚位移和虚功

理论力学虚位移和虚功

一、虚位移

某瞬时，质点系中的某质点发生的为约束所允许的、任意的无限小位移，称为该质点（在

该瞬时）的虚位移。

虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号d表示虚位移。

虚位移与真正运动时发生的实位移不同

①实位移是在一定的力作用下和给定的初始条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束

容许的条件下可能发生的。

②实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；

虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。

③实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，与时间无关，静止的质

点系没有实位移，但可有虚位移。

在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再

是虚位移之一。

受定常约束的非自由质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系，确定这些关系通常

有两种方法：

（注意：在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一）

（-）几何法：定常约束的条件下，真实位移是虚位移中的一个。因此可以用求实位移的方

法来求各质点虚位移之间的关系。由运动学知，质点的实位移与速度成正比，即

dr=vxdZ

因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。这种方法又称虚速度法。

即各质点虚位移之比等于各质点速度之比.

由于A3作平面运动，由速度投影定理

VBCOS0=VAcos|90o~（（p+e）]=VAsin（^?4-0）C

_Vg_sin（0+<9）

SrAcos6

或者，由于。为A3的瞬心，故

V/i_pn-BC

ACBCvAAC

£

由正弦定理

BCAC

sin（（p+0）sin（90°-0）cos6

E_v_BC_sin（0+/

同样可得B

SrAvAACcosO

（二）解析法：质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数

（01闻2,..........灿），广义坐标分别有变分的1，的2,…，的k，各

质点的虚位移5斤在直角坐标上的投影可以表示

为Q

e_如dxj-8q+•••+dXi-8g

OX;0,OCJ1c?ck

e______e+Gyi.的+…+°）'-8q

y2k（i=l,2,…力

'3y泊i"idq2dqk|

_dzj+dzj-5q+•••+Ozf.的

OZ；~-7•OC]i大2}kJ

M为2Mk

解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如

椭圆规机构如图，坐标XB,以有约束方程：

对上式进行变分运算

得

24%+2%为A=。

8XB

SyA

或者把坐标孙，后有表示成夕的函数，也可求出虚

位移间的关系

因为xB=Icos(pyA=/sin(p勿虫

作变分运算A

&B=-Isin(p&pdyA=Icos(p&p

用上式可知，即＞0,即杆45顺时瞽转

动。3点虚位移向左，A点虚位移向上。

所以=_tgo

力A

比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。

［例1］分析图示机构在图示位置时

点C、A与3的虚位移。

（已知0C=3c=a,OA=l）

解：此为一个自由度系统，取

0A杆与x轴夹角/为广义坐标。

Brca

1.几何法元一/

3婕PCa]

3rB—PB—2asin0—2sine

产为3M的速度瞬心

设。4有虚位移却，可按几何法

求出各点虚位移及其投影

3rc=a8(p,SrA-I8(p

6xc=-asin/丽，6yc=acos(p8(p

dxA=-Zsin(pd(p,8yA=Zcos(p8(p

6xn_3rB--2sin(p6rc=-2Qsin(p3(p

2.解析法将C、A、B

点的坐标表示成广义坐对广义坐标。求变分，得各点

标。的函数，得虚位移在相应坐标轴上的投影：

a、

xc=acos(p,yc=asin(pSxc=~sh(pB(pdyc=acos(p8(p

xA=Icos(p,yA=/sin&cA=-Isin(pd(p,dyA=lcos(p6(p

=2acos。，=0§xB=-lasin(p8(p,dyB=0

二、虚功

力尸在其作用点发生的虚位移步上所作的功称为虚功

9

记为加。

①以几何法表示的虚

功-------=―-

SW=F8r或dW=Fcos(p8r\

②以解析法表示的虚

5W=Fxdx+Fy6y+Fzdz

显然，虚功也是假想的「它与虚位移是同阶无穷小量。

三、理想约束

如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束力的虚功之和等于零，则称这种约束为

理想约束。

质点系受理想约束的条件：=2&•斫=0

理想约束的典型例子如下:

2、光滑较链

1、光滑支承面

3、无重刚杆

4、不可伸长的柔索

5、刚体在粗糙面上的纯滚

动___

zm=(氐+尸＞6松=0

虚位移原理

一、虚位移原理具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系

的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即

ZE•/二。聋〉££历cos«=o

或用解析式表示为这些方程统称为虚功方

-----------------------------------------

Z+尸加①，+Fzi&i)=0

几何法和解析法也可联合应用。

证明：（1）必要性：即质点系处于平衡时，必有ZE-=0

-8rt

V质点系处于平，选取任一质点M也平衡

衡——

耳+FM=0

对质点M的任一虚位移b厅，有一+双）3万=。

（"___

对整个质点系£（月+/N,）b4=0

*

ZFi•西+£F*.百=°

由于是理想约£冗3万=0

束

所以£Fi&i=0

（2）充分性：即当质点系满足zaa=o,质点系一定平衡

若°Z瓦•方=0,而质点系不平衡，则至少有第冷质点不平衡。

G+&'=FR。O

在R,方向上产生实位移前，取b4=d^,则

（£+FN）M=FRI•玩》。

对质点系£（月+户$）»万＞0

理想约束

下_

£居哧＞0与前题条件矛

故X耳砺=。时朦点系必处于平衡。

二、虚位移原理的应用

i.系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；

2.求系统在已知主动力作用下的平衡位置；

3.求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力；

4.求平衡构架二力杆的内力。

求主动力之间的关系

［例2］图示椭圆规机构，连杆A3长，，杆重和滑道摩擦

不计，较链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力

大小P和。之间的关系„

伊

解：研究整个机构。系统的所有仅

约束都是完整、定常、理想的。

1、几何法：使A发生虚位移而，(。平\

区的虚位近，则由虚位移原理，।

簿虚功方程：J__^

PdrA-Q8rB=0___________

而drA•sin°=drB-cos(pn8rB=8rA•tg(p

•••（P-Qtg（p）-3rA=0

由3小的任意性，得P=Qtg(p

2、解析法由于系统为单自由度

而取户为广义坐标。

XB=ICOS(P,yA=ls\n(p

3xB=-ls\n(p6(p,byA=lcos(p8(p

虚功方程为：FAy6yA+FBx6xB=0

即-PSyA-Q8xB=0,

解析法计算虚功不

(一0cos°+Qsin0)/丽=0要另外考虑功的正

负，功的正负由

由于任意，故P=Qtg^揖式自动计算得出。

［例3］图示机构中，a^JOA=AB=Z,ZAOB=0,

睚飘常驾艘麴搬示位置平衡

O

解1:以系统为研究对象，受的主动

有诙。。给系统一组虚位移如图］1

°由虚功方程zE.痂=0，得

-P3rAcos0+QdrB=0

A3作平面运动，瞬心在。点，则

%_**=&lM=2sine

3rAvAAC

将电=2sin/心代入-PdrAcos+QSrK=0得

(-Pcos0+2Qsin3}8rA=0

由于近4wO,于是得

P=2Qtg3

亦可由速度投影定理求虚位移之间的关系：

由速度投影定理v8cos夕=sin20

生…=2sin。

航i以

解2：解析法。建立如图坐标。

因为=lsin0yB=2Zcos0

对上两式作变分，得

&A=lcos099勾B--2/sin039

由E(FxibXi+4/丹+FUzi)=0，得

FAx8xA+FBy3yB=0

即(-P)lcos060+(-2)(-2/sin6^)=0

由于超wO,于是得P=2Qtg6

[例4]图示机构中，当曲柄OC绕轴摆动时，滑块A沿曲柄自由滑动，从而带动杆A5

在铅垂导槽K内移动。已知OC=a,OK=l,在C点垂直于曲柄作用一力Q,而在B点沿BA

作用一力P。求机构平衡时，力P与。的关系。

dr（：

解1:(几何法)以系统为研/^rc

究对象，受的主动力有P、Qo给y

系统一组虚位移如图。

\Q

其中8rA=8re+8fr

由虚位移原理zE•万=。，得汴②2

////)/aV

Pdr-Q3r=0

AcI?B

式中3rc=a&p%='=~^&pp

COS-(P

故有P&p-Qa&p=b

由于前wO于是得

COS2(P

Q-1P

2

6ZC0S(p

解2解析法:建立如图坐标。

主动力作用点的坐标及其变分为

%=/tg。=3y=——8(p

Acos(p

xc=acos(p0dx,c--asin(p3(p

yc=asm(p=dyc=acos(p&p

主动力在坐标方向上的投影为

^Ay=P%=Qsin/Fcy——Qsincp

由E(Fx@Xi+Fy$y+Fzi3z,)=0

即43%+FcxSXc+Fcy^yc=。

得P-匕-&p+Qsm(p(-asin(p&p)+(-0cos(p)acos(p&p=0

COS269

P——&p-Qa&p=Q

亦即COS2(P

由于丽丹0于是得

Q="p

flcos(p

解3：综合法。C

一

本题用解析法计算下力的虚功。

用几何法计算。力的虚功，此时虚功/

方程可以写为4

FAy6yA+Q^c=0

将F=p,y8r=a&p'

AyA=/tgp,cP-

代入上式，得Pb(/tg0)—Q8rc=0

解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。特别要指出的是,

系统中若有弹簧，必须解除弹簧约束，将一对弹性力计入主动力，系统简化为理想约束

系统，才可以用虚位移原理求解。

设质点系内A、8之间有刚度系数为A,原长为/。的弹簧连接。

解除弹簧约束，代之以一对弹性力。

则弹性力分别为1_

F'=k(rAB-l0)e~p=-k(rAB-l0)e

其中：以5为弹簧现长；

E为由A指向B的单位矢量

o由固定点0向4、3作矢径，这

一对弹性力的虚功之和记为

所以6Wk=F'+F-6rB=-FSr,+F-6F；

弓一〃)=

=F3(f-SrAB

=~k(rAB-la)e-8{rABe^)这时不要再考虑

=_k(rAB-Io)b-AB虚功b叫的正负

选择A3杆、CD杆和滑套O的系统为研究对

象。

露与匏心磔黑顺甲嶙簧压缩,

:用时‘皿cos。0受力见图。

drBD=-0.3sec0tg686<0

表明3。距离减小，弹性力作负功。

弹性力的大小为

F=k\rliD-l0\=1.5(sec6—1)

由虚位移原理：

M80-\F3rBD\=QZBD-/0=0.3(1-sec6>)

所以M^-1.5(sec6>-l)(0.3sec6>tg夕M=0

sin6(l-cos。)

M=0.45(kN-m)

cos3^

或：弹性力的虚功为M=-k{rBD-l^3rBD

=-1.5(sec。一1)(0.3secaggSO

求系统的平衡位置

［例6］图示平面机构，两杆长度相等。在8点挂有重W的重物。。、E两点用弹簧连接。

已知弹簧原长为/,弹性系数为A,其它尺寸如图。不计各杆自重，求机构的平衡位置。

解：以系统为研究对象，解除弹簧

鹃I代之弹性力。建立如图的坐标

。系统受力有主动力M以及非

理想约束的弹性力户和户,将其

视

为主动力旋弹簧现长的

弹性力的大小为

F=kd=k|2Z?cos0-l\

主动力作用点的坐标及其变分为

%=(a+b)sine变分电=(a+A)cos第

r

DE=2bcos3运算3rDE=-2bsin080

由虚功方程得

：

FBy8yB+[-k(rDE-1)&DE]=0

即(-W)b%+[-k(rDE-l)3rDE]=0

代入-(a+b)cos0996rDE——2Z?sin050得

-W(a+b)cos仍9+Z(2Z?cos0-1)-2Z?sin656=0

因MwO,故

tg8=W(&士勿

2妨(2/?cos夕一/)

求静定结构的约束力

［例7］多跨静定梁，

求支座3处约束力。

解1:静定结构必须

要解除约束才可能

有虚位移。将支座

3去掉，代入相应

的约束力死,，并使结

构发生图示虚位移。

-P1Jr,+FB8rB-P2Src-m30=0

Sr+PC+m----

P

FB=\2~-8rR

OrBdrB

30_3rG18rE13rc11x1111

3rB4»B6drK123rB12896

F=—P+一P+—m

12

B2896

解2：结构发生图

示虚位移。将各刚

体上的力系的向

本刚体上不动的

点简化，由简化

理论及虚位移原

理可得：

[HMA(F)]ACdy/-m39=0

（8七—4耳—11g）项—mM=0

由几何关献」修£㈱二勰二6㈤

代入虚功方程可得同样的结果。

［例8］图示多跨静定梁，试求A端处约束力偶及铅垂约束力。

已知：P］=80kN,P2=60kN,夕=10kN/m。长度单位为m。

解：（1）求A端约束力偶以梁为研究对象，解除A处限

制转动的约束，代之以相

应的约束力偶矩4,并视为主动力。给系统一组虚位移,

如图所示。

凶明⑺]即30+[^Mc(F)]BD&P+[2MH肛DE*二0

（监-3片）的+（-2尸2）丽+产・42）羽=0

由几何关系得：6M=3砌2丽=4羽

所以（a-36）¥）+（-2B）即+（；/2）号

0

・「丽wO故有MA=36+4g—8q=400kN-m

(2)求4处铅垂约束力

解除A处铅垂的约束，代

之以相应的约束反力％卜343升岬2i2,*4"

,并视为主动力。给系

统一组虚位移，如图所

不O

由虚位移原理有

[/]AB(-E)+[£%«)]BD闻+W(尸)]DE羽=0

由几何关系得：5心=痢，绛呻

]AB（一加1）+[2Mc（尸）]BD卿+[刀力（尸）]祝羽=0

SrA=33（p,23（p=4羽

所以，虚功方程为

（q_币（_3砌+（2己）加+（—

干星岩（F-P--P+-q）d（p=O

J4y1323

24

♦；3”0故有工=6+_Q__q=106.7kN

33

［例9］求图示静定刚架支座。处的水平约束力。

解：以刚架为研究对象

,解除。处的水平约束，代

之以相应的约束力万加，并

视为主动力。给系统一组虚

位移，如图所示。

由虚位移原理有

FDx8rD-F8rEcosa=0

由运动学关系&D=8rc

PCPE

=匪配=4

PCrPC

代入虚功方程

FDx3rD-F5rEcosa=0

PF

于是有（坛,一//jcoscOb6=0

8rDO^PEcosa=AE故FDX-F^^二0

于是支座。的水平约束力为F=-F

DX2

求桁架杆件及合结构的轴力

［例10］求图示桁架杆1和杆2的轴力。

解：以桁架为研究对象，解除1

杆的约束，代之以相应的约束力，

并视为主动力。给系统一组虚位移

,如图所示。由虚位移原理有：

Px6r\+P25r2+P35r3-Stcosa=0

由几何关系得历=//»

(P1+P2+/-S[cosa)a=0

于是得_______

S,="+打+3="2+"(H+4+A)

cosaa

解除2杆的约束，代之以相应的约

束力，并视为主动力。给系统一组虚

位移,如图所示。

由虚位移原理有

E的+「2泌+S2cosa8r=0

由几何关系得

=2hS(p3r2=h&p

br=J/?」+a」丽cosa=?

(2P}h+P2h+S2a>6(p=0

•.•丽w0于是得

_(2PP)h

s［-+----2--------------

2a

［例11］组合构架如图所示。已知P=10KN,不计构件

自重,求1杆的内力。

解:截断1杆代之内力S1和S'i且SkS'=S,画虚位移图。

利用虚位移图得：

5rc=(AQSft=(BC)^ft6仇=融=阴

由虚位移原理得

：

已加式尸）］AC的+［ZMB（F）］BC5a=0

即（―2S）的+（2尸-2S）阴=0

P

S=c=5KN

2

应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：

I.正确选取研究对象；

以不解除约束的理想约束系统为研究对象，系统至少有一个自由度。若系统存在非理想约

束，如弹簧力、摩