专题07旋转模型(原卷版+解析)

专题07旋转模型基本模型：例题精讲例1．（三角形旋转）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．例2．（四边形旋转）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．【变式训练1】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．【变式训练2】【问题背景】（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求；【拓展创新】（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长．【变式训练3】在中，在直线上，且．（1）如图1，当点在线段上时，求证：．（2）如图2，当点在的延长线上且点在线段上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【变式训练4】（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．

课后训练1．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．2．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；（2）求证：BM＝DM+DC；（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．3．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．4．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．(1)的度数为_______________；(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；(3)连接，若，求的长．5．在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．（1）如图1，若，请说明；（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．6．如图，中，于点，，点在上，，连接．（1）求证：；（2）延长交于点，连接，求的度数；（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．7．如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点，四边形ABCD是正方形．⑴求证：△ABE≌△CBF；⑵CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．8．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，求证：且

（2）将△COD绕点O旋转到图2、图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论专题07旋转模型基本模型：例题精讲例1．（三角形旋转）如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．答案:（1）；（2）见解析；（3）或或【详解】解：（1）∵，，∴BC=2AB=4，，∵∴，∴BD=AB=1，∴=BC-BD=4-1=3；（2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN，∵把绕点A逆时针旋转90°，得到，∴AD=AE，，，∵，∴，∴，∴AN=AF，，∵，，∴，∵，，∴，∵AN=AF，∴，∴，即F是BC的中点，∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，∵AN=AF，∴；（3）解：由题意可得AD=AE，，∴，分三种情况：①AM=MD时，∵AM=MD，∴，∴，∵，∴；②AM=AD时，∵AM=AD，∴，∵，∴；③AD=MD时，∵AD=MD，∴，∴，∴，∵，∴．∴当为等腰三角形时，的度数为或或．例2．（四边形旋转）（1）如图1，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究图中、、之间的数量关系．小明探究的方法是：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是______．（2）如图2，在四边形中，，，点E、F分别在边上，且，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系为______．答案:（1）；（2）仍成立，理由见解析；（3）．【详解】解：（1）．理由：如图1，延长到点G，使，连接，证明和即可得出结论．在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴．故答案为：；（2）仍成立，理由：如图2，延长到点G，使，连接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴（3）．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得，连接AG，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案为：．【变式训练1】如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．答案:（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明：延长BD交AC于点E．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，

∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90º，∴AC⊥BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90º，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．证明：BD交AC于点H，AO于M，∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90º，∴AC⊥BD．

．【变式训练2】【问题背景】（1）如图1，是正三角形外一点，，则？小明为了证明这个结论，将绕点逆时针旋转请帮助小明完成他的作图；【迁移应用】（2）如图2，在等腰中，，点在外部，使得，若，求；【拓展创新】（3）如图3，在四边形中，点在四边形内部．且，直接写出的长．答案:（1）见解析；（2）3；（3）5【详解】（1）如图，作，连结，则即为所求作的图形：（2）作线段垂直于交延长线于点连接为等腰直角三角形，在与中：（3）5．证明如下：如图，将顺时针旋转至，则，，，，即为直角三角形，其中，，由勾股定理得，又旋转角为，即，则，即，在与中，【变式训练3】在中，在直线上，且．（1）如图1，当点在线段上时，求证：．（2）如图2，当点在的延长线上且点在线段上时，上述结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．答案:（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析．【详解】如图1，，将绕点C逆时针旋转，得到，则，，连接，=45°，，为直角三角形，，又，，在和中，，，，即；如图2，，将绕点C逆时针旋转得到，，，，为直角三角形，，又，，在和中，，，．【变式训练4】（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．

答案:（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【详解】解：（1）如图一，连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE∥BN，∴∠DEM=∠MBN，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，在△CAD和△CNB中，，∴△CAD≌△CNB，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，∴CM⊥DN，∴△DCM是等腰直角三角形，∴DM=CM；（2）探究一，理由：如图二，连接DM并延长DM交BC于N，∵∠EDA=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠MBC，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD∵AC=BC，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，∴△CMD为等腰直角三角形．∴DM=CM；探究二，理由：如图三，连接DM，过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，∴∠E=∠MBN=45°．∵点M是BE的中点，∴EM=BM．∵在△EMD和△BMN中，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，∴∠DAC=∠NBC=90°∵在△DCA和△NCB中，∴△DCA≌△NCB（SAS），∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，∴△CMD为等腰直角三角形．∴DM=CM课后训练1．在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．答案:（1）α＋β=180°，理由见解析；（2）当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β，理由见解析．【详解】解：（1）α＋β=180°，理由如下∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°（2）①当点D在线段BC上移动时，由（1）知α＋β=180°；②当点D在BC延长线上移动时，如下图所示∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°③当点D在CB延长线上移动时，如下图所示，连接BE∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE∴∠DAB=∠EAC在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠ABD=∠ACE∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC=∠BCE∴α=β．综上：当点D在线段BC上移动或点D在BC延长线上移动时，α＋β=180°；当点D在CB延长线上移动时，α=β．2．如图1，△ABC中，AB＝AC，过B点作射线BE，过C点作射线CF，使∠ABE＝∠ACF，且射线BE，CF交于点D，过A点作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的数量关系并说明理由；（2）求证：BM＝DM+DC；（3）如图2，将射线BE，CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM⊥BD于M．请问（2）中的结论是否还成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论．答案:（1）∠BDC＝∠CAB，见解析；（2）见解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，见解析【详解】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：∵，，∠ABE＝∠ACF，∴＝＝∴；（2）证明：作AN⊥CF于N，连接AD，如图1所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，在Rt△AMD和Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴BM＝DM+DC；（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：作AN⊥CF于N，连接AD，如图2所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴，AM＝AN，在Rt△AMD与Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴．3．已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM．（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是；（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．答案:1），；（2）成立，理由见解析【详解】（1）如图1；∵M是EC的中点，∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∴DM=BM．∵M是EC的中点，∴MC=EC，∴BM=MC=DM，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，∴∠BMD=2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA=45°，∴∠BMD=90°，∴BM=DM且BM⊥DM；故答案为BM=DM且BM⊥DM．（2）成立．方法1如下图所示，分别取AC，AE的中点H，F，连接HM，FM．则，．∵点M为CE的中点，∴，，，．∴，，．∵，，∴．∴．∴，．．∴BM、DM的数量关系与位置关系是：，．方法2

倍长中线法

理由如下：延长DM至点F，使MF=MD，连接CF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵∴△EMD≌△CMF（SAS），∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．4．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．(1)的度数为_______________；(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；(3)连接，若，求的长．答案:(1)(2)小明，理由见解析(3)5【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的说法更准确，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形．（3）解：连接DE，如图所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．5．在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．（1）如图1，若，请说明；（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．答案:（1）见解析；（2），见解析【详解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：过点作，交于点，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．6．如图，中，于点，，点在上，，连接．（1）求证：；（2）延长交于点，连接，求的度数；（3）过点作，，连接交于点，若，，直接写出的面积．答案:（1）见解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面积为21．【详解】证明（1）在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=CA；（2）如图2，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，∵△BDE≌△CDA，∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，∴∠AFB=∠CFB=90°，∵S△BDE=S△ADC，∴，∴DH=DG，又∵DG⊥AC，DH⊥BF，∴∠DFG=∠DFH=45°，∴∠CFD=135°；（3）如图3，在CD上截取DE=AD=5，连接BE，延长BE交AC于F，由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，∵CM⊥CA，∴BF∥CM，∴∠M=∠FBN，∵CM=CA，∴CM=BE，在△BEN和△MCN中，，∴△BEN≌△MCN（AAS），∴EN=CN，∵EC=CD-DE=12-5=7，∴，∴△NBC的面积，故△NBC的面积为21．7．如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点，四边形ABCD是正方形．⑴求证：△ABE≌△CBF；⑵CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．答案:（1）见解析；（2）CF⊥AE，理由见解