难点04四边形综合问题(原卷版+解析)

难点04四边形综合问题近几年四川中考看，几乎年年会出现四边形题目，经常以解答题的形式出现，内容主要是旋转、平移、折叠等几何变换考法，难度偏难，属于各市中考考查的重点，也是压轴题。平行四边形四边形与特殊平行四边形的性质与判定；中位线、中垂线、中线、高线、角平分线的性质及其常用辅助线作法；全等与相似三角形的性质与基本模型；【中考真题】1．(2023·四川绵阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．2．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．3．(2023·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．(1)判断的形状，并说明理由．(2)当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．(3)点Q在边上，，当时，求的长．4．(2023·四川广元·统考中考真题）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．5．(2023·四川成都·统考中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．6．(2023·四川成都·统考中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．【模拟题】1．(2023·四川德阳·模拟预测）已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．①求证：；②连接，若，，求的长．2．(2023·四川成都·校考三模）在矩形中，点E为射线上一动点，连接．(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．(2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点三点共线时，求的长．3．(2023·四川乐山·统考三模）解答(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值．4．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且则______；（2）模型应用如图②，在中，若，，求的长；（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于若，，求的面积．5．(2023·四川成都·模拟预测）【探究发现】(1)如图①．已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合）．连接BE，作点D关于直线BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D′E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF的度数为______．【类比迁移】(2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于直线BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，CD′，D′E．当CD′⊥DF，AB=2，BC=3时，求CD′的长；【拓展应用】(3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD=5，AC=6，点E为线段BD上一动点，连接AE，作点D关于直线AE的对称点D′，若D′恰好落在菱形的边上（不与顶点重合），求OE的长．6．(2023·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测）如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，连接，以为边在上方作正方形，连接，，交于点．(1)求证：；(2)如图2，延长，，交于点．若，求线段的长；(3)在点的运动过程中，求的最小值．7．(2023·四川成都·统考二模）已知在正方形中，E是边上一动点，作点B关于的对称点F，交于点G，连结．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，过点D作交的延长线于点M，连结．若，试探究四边形的形状，并说明理由；(3)如图3，连结，在上截取，点P，Q分别是上的动点．若正方形的面积为32，直接写出周长的最小值．8．(2023·四川眉山·校考模拟预测）如图，点在四边形的边上．(1)如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：；(2)当四边形是矩形，，时，①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值；②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点，当时，请直接写出的值．9．(2023·四川乐山·统考一模）如图1，在中，，．点、分别在、边上，，连接、、．点、、分别是、、的中点，连接、、．(1)与的数量关系是，与的数量关系是；(2)将绕点逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中与的数量关系结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)若，，在将图1中的绕点逆时针旋转一周的过程中，当、、三点在一条直线上时，求的长度．10．(2023·四川成都·石室中学校考一模）在正方形中，点G是边上的一个动点，点在边上，，且，的延长线相交于点P．(1)如图1，当点E与点C重合时，求的度数；(2)如图2，当点E与点C不重合时，问：（1）中的度数是否发生变化，若有改变，请求出的度数，若不变，请说明理由；(3)在（2）的条件下，作于点N，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求证：为定值．难点04四边形综合问题近几年四川中考看，几乎年年会出现四边形题目，经常以解答题的形式出现，内容主要是旋转、平移、折叠等几何变换考法，难度偏难，属于各市中考考查的重点，也是压轴题。平行四边形四边形与特殊平行四边形的性质与判定；中位线、中垂线、中线、高线、角平分线的性质及其常用辅助线作法；全等与相似三角形的性质与基本模型；【中考真题】1．(2023·四川绵阳·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着A→D→B的路线匀速运动，点F沿着A→B→D的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动．(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为个单位每秒，运动时间为x秒，ΔAEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH＝HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EM＝HM．并说明理由．答案:(1)；(2)y关于x的函数解析式为；当时，y的最大值为；(3)当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由见解析解析：（1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∴，∵点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为秒，∴AF=，AE=，∵AB=4，AD=2，∴BF=，ED=，∴，∴BG=1，∴CG=3，∵，∴△PDE∽△PGC，∴，∴；（2）解：根据题意得：当0≤x≤2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，，∵，AB=4，AD=2，∴，∴△ABD是直角三角形，∵，∴∠ABD=30°，∴∠A=60°，如图，过点E作交于H，∴，∴；∴当x＞0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当时，E点在BD上，F点在AB上，如图，过点E作交于N，过点D作交于M，则EN∥DM，根据题意得：DE=x-2，∴，在Rt△ABD中，，AM=1，∵EN∥DM，∴△BEN∽△BDM，∴，∴∴，∴，此时该函数图象的对称轴为直线，∴当时，y随x的增大而增大，此时当时，y有最大值；当时，点E、F均在BD上，过点E作交于Q，过点F作交于P，过点D作DM⊥AB于点M，∴，DA+DE=x，∵AB=4，AD=2，∴，，∵PF∥DM，∴△BFP∽△BDM，∴，即，∴，∵，∴△BEQ∽△BDM，∴，即，∴，∴，此时y随x的增大而减小，此时当时，y有最大值；综上所述：y关于x的函数解析式为当时，y最大值为；（3）解：当EF∥BD时，能使EM＝HM．理由如下：连接DH，如图，∵，AB=4，∴．AH=1，由（2）得：此时，∵M是DF的中点，∴HM=DM=MF，∵EF∥BD，BD⊥AD，∴EF⊥AD，∴EM=DM=FM，∴EM=HM．2．(2023·四川成都·统考中考真题）如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．答案:(1)见解析(2)或(3)或【详解】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEH=∠ABE，∴△ABE∽△DEH；（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，∴AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，∴DE=4x-a，∵△ABE∽△DEH，∴，∴，解得：或，∴或，∴或；（3）解：∵矩形矩形，，∴EG=nBE，如图，当FH=BH时，∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，∴Rt△BEH≌Rt△FGH，∴EH=GH=，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；如图，当FH=BF=nBE时，，∴，∵△ABE∽△DEH，∴，即，∴，∴；综上所述，的值为或．3．(2023·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，点O是的中点，点M是射线上动点，点P在线段上（不与点A重合），．(1)判断的形状，并说明理由．(2)当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证：．(3)点Q在边上，，当时，求的长．答案:(1)为直角三角形，理由见解析(2)见解析(3)或12【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下：∵点O是的中点，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴为直角三角形；（2）证明：如图，延长AM，BC交于点E，由矩形的性质知：，，∴，∵点M为边中点，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，即C点为BE的中点，由（1）知，∴，即为直角三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴；（3）解：如图，过点P作AB的平行线，交AD于点F，交BC于点G，由已知条件，设，，则，，．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．同理，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．∴，解得，∴，将代入得，整理得，解得或．∵，，∴，∴，即，∴，∴当时，，当时，，此时点M在DC的延长线上，综上，的长为或12．4．(2023·四川广元·统考中考真题）如图1，在中，，，点D是边上一点（含端点A、B），过点B作垂直于射线，垂足为E，点F在射线上，且，连接、．（1）求证：；（2）如图2，连接，点P、M、N分别为线段、、的中点，连接、、．求的度数及的值；（3）在（2）的条件下，若，直接写出面积的最大值．答案:（1）证明见解析；（2）；；（3）【详解】（1）证明：∵，∴,∵垂直于射线,∴又∵∴,∵即：又∵∴（2）解：∵点P、M、N分别为线段、、的中点∴，，∴,∴又∵∴又∵∴∴又∵∴又∵又∵∴∴（3）如下图：过点作垂直于的延长线于点,又∵∴∴∴当取得最大值时，取得最大值，在以的中点为圆心，为直径的圆上运动，当时，最大，∴，5．(2023·四川成都·统考中考真题）在中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别为点，．（1）如图1，当点落在的延长线上时，求的长；（2）如图2，当点落在的延长线上时，连接，交于点M，求的长；（3）如图3，连接，直线交于点D，点E为的中点，连接．在旋转过程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．答案:（1）；（2）；（3）存在，最小值为1【详解】（1）在中，．根据旋转性质可知，即为等腰三角形．∵，即，∴，∴．（2）如图，作交于点D，作交于点E．由旋转可得，．∵，∴，∴，∴，．∵，即，∴．在中，，∴．∴．∵，∴，即，∴．（3）如图，作且交延长线于点P，连接．∵，∴，∵，即，又∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴在和中，∴，∴，即点D为中点．∵点E为AC中点，∴DE为的中位线，∴，即要使DE最小，最小即可．根据图可知，即当点三点共线时最小，且最小值为．∴此时，即DE最小值为1．6．(2023·四川成都·统考中考真题）在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．（1）如图1，若，求的度数；（2）如图2，当，且时，求的长；（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求出的值．答案:（1）15°；（2）；（3）【详解】（1）∵矩形，∴，由折叠的性质可知BF=BC=2AB，，∴，∴，∴（2）由题意可得，，∴∴∴，∴∴，由勾股定理得，∴，∴；（3）过点作于点．∴又∵∴．∴．∵，即∴，又∵BM平分，，∴NG=AN，∴，∴整理得：．【模拟题】1．(2023·四川德阳·模拟预测）已知：四边形是正方形，点在边上，点在边上，且．(1)如图，与有怎样的关系．写出你的结果，并加以证明；(2)如图，对角线与交于点．，分别与，交于点，点．①求证：；②连接，若，，求的长．答案:(1)；．证明见解析(2)①见解析；②【详解】（1）解：；．证明：四边形是正方形，，，在和中，，，，，，，，；（2）①证明：四边形是正方形，，，，，，即，在和中，，，；②解：如图，过点作于，作于，，，在和中，，，，四边形是正方形，，，，，在中，，正方形的边长．2．(2023·四川成都·校考三模）在矩形中，点E为射线上一动点，连接．(1)当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．①如图1，若，求的度数；②如图2，当，且时，求的长．(2)在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点三点共线时，求的长．答案:(1)①，②(2)或【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，由折叠的性质得：，∴是等边三角形，∴，∴；②由折叠的性质得：，，∵，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴，∴，设，则，∴，在中，，∴（射影定理），即，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴，即的长为；（2）当点三点共线时，分两种情况：a、如图3，由②可知，，∵四边形是矩形，∴，，，，∴，，由折叠的性质得：，，∴，，∴，∴，∴，∴；b、如图4，由折叠的性质得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴；综上所述，BE的长为或．3．(2023·四川乐山·统考三模）解答(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值．答案:(1)见解析；(2)；(3)解析：（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得，，∴．（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝25①，在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③，解方程组，得，（舍去），或，∴AR＝5+x＝8，∴．4．(2023·四川成都·四川省成都市七中育才学校校考二模）（1）模型研究如图①，在中，，为边延长线上一点，且则______；（2）模型应用如图②，在中，若，，求的长；（3）模型迁移如图③，点为边上一点，，，交的延长线于若，，求的面积．答案:（1）；（2）；（3）【详解】解：（1）在中，，，，是的外角，，故答案为：；（2）如图，以A为圆心，长为半径画弧交于，作于，，，，，，，，，，，，；（3）如图，作交延长线于，以点为圆心，为半径画弧，交于，作于，，，，，设，则，，，，又∵，，，由（2）模型知：，，四边形是矩形，，，，，，．5．(2023·四川成都·模拟预测）【探究发现】(1)如图①．已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合）．连接BE，作点D关于直线BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D′E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF，并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF的度数为______．【类比迁移】(2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于直线BE的对称点D′，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，CD′，D′E．当CD′⊥DF，AB=2，BC=3时，求CD′的长；【拓展应用】(3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD=5，AC=6，点E为线段BD上一动点，连接AE，作点D关于直线AE的对称点D′，若D′恰好落在菱形的边上（不与顶点重合），求OE的长．答案:(1)①见解析；②22.5°(2)CD'=(3)或【详解】(1)证明：延长交于点G，如图①，由对称可知∠EGD=∠EGD'=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCE=∠DCF=90°，BC=DC，∵，又∵∠DEG=∠BEC，∴∠EBC=∠EDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（ASA）．②如图1，当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBE=∠D'BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=45°，∴∠DBE=∠D'BE=22.5°，由①得到∠CDF=∠EBC，∴∠CDF=22.5°，故答案为：22.5°．(2)解：如图2，延长BE交DF于点G，由对称可知，点G是DD'的中点，∠EGD=∠EGD'=90°，∵CD'⊥DF，∴CD'∥BG，∴，∴，∴DC=2DE，，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，∴CE=DE=CD=×2=1，∴BE=，由（1）①得，∠EBC=∠FDC，∠ECB=∠EGD=90°，∴△ECB∽△EGD，∴，∴，∴EG=，∴CD'=2EG=2×=；(3)解：如图3-1所示，当落在CD上时，延长AE交CD于F，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴OA=OC=3，∠AOD=90°，∠ADO=∠CDO，∴，同理可证∠EAO=∠EDF，∴△AOD∽△EOA，∴，∴；如图3-2所示，当落在CD上时，延长AE交CD于F，由轴对称的性质可知，，∴，∵四边形ABCD是菱形，∴，，，，∴，∴∠DAF=∠ABO，∴△DAF≌△ABO（AAS），∴DF=AO，又∵∠DEF=∠AEO，∠DFE=∠AOE=90°，∴△AOE≌△DFE（AAS），∴DE=AE，设OE=x，则AE=DE=4-x，在Rt△AOE中，，∴，解得，∴，综上所述，或．6．(2023·四川成都·四川师范大学附属中学校考模拟预测）如图1，在正方形中，，点是射线上一动点，连接，以为边在上方作正方形，连接，，交于点．(1)求证：；(2)如图2，延长，，交于点．若，求线段的长；(3)在点的运动过程中，求的最小值．答案:(1)见解析(2)(3)解析：(1)证明：∵四边形，是正方形，，，．，即．在和中，，．(2)如图1，过点作于点，则．．，．．又，，．，．又，．，．．设，则．，，．在中，．在中，．．解得（负值舍去），即．(3)如图2，以为边在上方作正方形，则．当点与点不重合时，，．又，，，∴点到直线的距离等于点到直线的距离，当点与点重合时，点与点重合，∴点的轨迹在所在直线上．作点关于直线的对称点，连接，．（当，，三点共线时取等）．的最小值是．7．(2023·四川成都·统考二模）已知在正方形中，E是边上一动点，作点B关于的对称点F，交于点G，连结．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，过点D作交的延长线于点M，连结．若，试探究四边形的形状，并说明理由；(3)如图3，连结，在上截取，点P，Q分别是上的动点．若正方形的面积为32，直接写出周长的最小值．答案:(1)(2)四边形是平行四边形，理由见解析(3)解析：(1)如图1，连结，∵点B，F关于对称，∴．∵正方形，∴．∴．∴．∵在四边形中，有，∴．即．(2)四边形是平行四边形，理由如下：如图2，连接，∵，∴．∵，∴．在中，，∴．又∵正方形，∴．又∵，∴．∴．∵，∴，∴．又∵，∴四边形是平行四边形．(3)周长的最小值为．解：如图3，作点T关于的对称点'，作点T关于的对称点，连结，连结交于点P，交于点Q，连结、，则周长的最小值为的长，由对称知，∴．∴．由且，有，∴．∴．∴．∵于点G，∴点G在以为直径的圆弧上运动．取中点N，则，当C、N、G三点共线时最小．最小值为．∴最小值为．∴周长的最小值为．8．(2023·四川眉山·校考模拟预测）如图，点在四边形的边上．(1)如图，当四边形是正方形时，过点作，垂足为，交于点求证：；(2)当四边形是矩形，，时，①如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，求的值；②如图，点是上的一点，过点作，垂足为，点恰好落在对角线上，延长、交于点，当时，请直接写出的值．答案:(1)证明见解析；(2)①；②．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，于点，，，≌，．（2）解：如图，过作于点，于点，则，四边形是矩形，，，，四边形是矩形，，于点，，，，∽，，，，∽，，同理，，，；如图，连接、，，，，，∽，，，，∽，，，；，，∽，，，，，，∽，，．9．(2023·四川乐山·统考一模）如图1，在中，，．点、分别在、边上，，连接、、．点、、分别是、、的中点，连接、、．(1)与的数量关系是，与的数量关系是；(2)将绕点逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中与的数量关系结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)若，，在将图1中的绕点逆时针旋转一周的过