回归教材重难点08圆的综合题(原卷版+解析)

回归教材重难点08圆的综合问题本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年广西柳州市中考数学试卷第25题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求sin∠FHG的值；（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．分析：（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：连接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵＝，∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，∵OF是半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG＝；（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，∵＝＝＝，∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，∴FH＝FG＝4，∴＝＝2，设DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF2＝DB•DA，∴AD＝4k，∵GD平分∠ADF，∴∠FDH＝∠ADG，∴△FDH∽△ADG，∴＝＝，∴AG＝8，∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，∴AB＝＝＝6，∴⊙O的直径为6．点评：本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题。圆的综合问题包含初中数学中《圆的基本性质》和《直线与圆的位置关系》两大部分，题目一般较为综合，常和三角形相似或三角函数结合考察。题型一般为解答题，考生在复习这块内容时，不仅需要熟悉圆的所以性质，更需要熟悉常与之结合的几何问题的方法技巧。本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。圆的综合问题常用的规律方法：技法01：第一问常考考点——切线，对应规律①切线的判定：常用方法→有切点，连半径，证垂直！无切点，作垂直，证半径！☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题技法02：考题常见结合考点①知2得1：②三角形相似：③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△④特殊角及其转化：技法03：常见辅助线①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3——或做两条弦心距，构造矩形或正方形③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题【中考真题练】1．(2023•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝36度；的值等于．2．(2023•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．3．(2023•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．4．(2023•鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．5．(2023•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：BC∥PF；（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．6．(2023•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．（1）如果AE＝CE．ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．7．(2023•贵阳）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC．ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF．（1）求证：∠DCP＝∠DPC；（2）当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；（3）在（2）的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．8．(2023•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．9．(2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．10．(2023•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．【中考模拟练】1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．22．（2023•石家庄模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．（1）求证：BD平分∠ABC；​（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积；（3）若CF的长为1，求⊙O的半径长．3．（2023•锦江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BO平分∠ABC，交AC于点O．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交BO于点D，连接AD．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝3，OC＝，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求tan∠BAD的值．4．（2023•南岗区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝∠B+∠C．（1）如图1，求证：BC为⊙O的直径；（2）如图2，点D，E在弧AB上，连接BD，CE相交于点F，连接DE，CD，若∠BFC＝∠EDC，求证：CE是∠BCD的角分线；（3）如图3，在（2）的条件下．连接BE，AE，AE与CD相交于点G，过点B作BH⊥BD交AE延长线于点H，AB与CE相交于点M，若BH＝5，DG＝1，tan∠AMC＝，求DE的长．5．（2023•黄岩区一模）如图1，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，，点D是半圆上的一个动点，过点D作DE∥AC交直径AB于点E．（1）求证：∠ADE＝∠CBD；（2）如图2，连接CD交AB于点F，若∠ADC＝∠EDB，求cos∠CBD；（3）如图3，连接CD交AB于点F，若CD＝2AE，①求AD的长；②直接写出的值为．6．（2023•余姚市校级模拟）如图，直线y＝﹣2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，以OB为直径的⊙M交AB于另一点C，点D在⊙M上．分别过点O，B作直线CD的垂线段，垂足为E，F，连结OC．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点D在直线BC右侧时，①求证：EC•CF＝OE•BF；②求证：EC＝DF．（3）CD与EF的距离和是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请直接写出取到最小值时直线CD的解析式．回归教材重难点08圆的综合问题本考点是中考五星高频考点，难度较大，在全国各地市的中考试卷中均有考查。(2023年广西柳州市中考数学试卷第25题）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）求sin∠FHG的值；（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．分析：（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：连接OF．∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA，∵＝，∴∠CAF＝∠FAB，∴∠CAF＝∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF⊥CD，∵OF是半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∵OF⊥CD，∴∠OFD＝∠AFB＝90°，∴∠AFO＝∠DFB，∵∠OAF＝∠OFA，∴∠DFB＝∠OAF，∵GD平分∠ADF，∴∠ADG＝∠FDG，∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，∴∠FGH＝∠FHG＝45°，∴sin∠FHG＝；（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．∵HD平分∠ADF，∴HM＝HN，∵＝＝＝，∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，∴FH＝FG＝4，∴＝＝2，设DB＝k，DF＝2k，∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，∴△DFB∽△DAF，∴DF2＝DB•DA，∴AD＝4k，∵GD平分∠ADF，∴∠FDH＝∠ADG，∴△FDH∽△ADG，∴＝＝，∴AG＝8，∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，∴AB＝＝＝6，∴⊙O的直径为6．点评：本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题。圆的综合问题包含初中数学中《圆的基本性质》和《直线与圆的位置关系》两大部分，题目一般较为综合，常和三角形相似或三角函数结合考察。题型一般为解答题，考生在复习这块内容时，不仅需要熟悉圆的所以性质，更需要熟悉常与之结合的几何问题的方法技巧。本考点是中考五星高频考点，难度较大，个别会以压轴题出现，在全国各地市的中考试卷中均有考查。圆的综合问题常用的规律方法：技法01：第一问常考考点——切线，对应规律①切线的判定：常用方法→有切点，连半径，证垂直！无切点，作垂直，证半径！☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”②切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题技法02：考题常见结合考点①知2得1：②三角形相似：③三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△④特殊角及其转化：技法03：常见辅助线①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3——或做两条弦心距，构造矩形或正方形③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题【中考真题练】1．(2023•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝36度；的值等于．分析：由等腰三角形的性质得出∠DAE＝∠DEA，证出∠BEC＝∠BCE，由折叠的性质得出∠ECO＝∠BCO，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，证出∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∠CEB＝2x，由三角形内角和定理可得出答案；证明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性质得出，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，得出a2＝x（x+a），求出OE＝a，证明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解答】解：∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴∠BEC＝∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO＝∠BCO，又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，∴∠CEB＝2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠B＝36°；∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2＝EO•BE，设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，∴a2＝x（x+a），解得，x＝a（负值舍去），∴OE＝a，∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，∴＝．故答案为：36，．2．(2023•益阳）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．（1）求证：∠ACO＝∠BCP；（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．分析：（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，即得S△ABC＝BC•AC＝2，故阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；（3）解：由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是π×（）2﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．3．(2023•黄石）如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．分析：（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果；（3）由（2）的结论，得出r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．【解答】（1）证明：连接OA，∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA为半径，∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴，设半径OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB＝，在Rt△CAD中，tan∠ADC＝；（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，∴r＝，∴CD＝2，在Rt△CAD中，，AC2+AD2＝CD2，解得AC＝2，AD＝2，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，∴△CAP∽△EAD，∴，∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．4．(2023•鄂尔多斯）如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的长．分析：（1）连接OD，可推出∠BDC＝90°，进而得出DE＝BE，进而证明△DOE≌△BOE，进一步得出结论；（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角三角形ABC求得AC，进而根据三角形中位线定理求得OE．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．5．(2023•绵阳）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．（1）求证：BC∥PF；（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．分析：（1）连接OD，利用垂径定理和圆的切线的性质定理，平行线的判定定理解答即可；（2）连接BD，设AE＝x，则AD＝1+x，利用相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出结论；（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得DH，CE的长度，通过判定四边形CHDP为矩形得到△DCP为直角三角形和两直角边的长，利用三角形的面积公式即可求得结论．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵D为劣弧的中点，∴，∴OD⊥BC．∵PF是⊙O的切线，∴OD⊥PF，∴BC∥PF；（2）连接BD，如图，设AE＝x，则AD＝1+x．∵D为劣弧的中点，∴，∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE•AD＝1×（1+x）＝1+x．∴BD2＝1+x．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AB2．∵⊙O的半径为，∴AB＝2．∴，解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），∴AE＝3．（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝＝2，∵∠ADB＝90°，∴cos∠DAB＝＝．∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝．∵OH⊥BC，∴BH＝CH，cos∠ADO＝，∴DH＝DE×＝．∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．∴BH＝＝，∴CH＝BH＝．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，∴四边形CHDP为矩形，∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝，∴△DCP的面积＝CP•DP＝．6．(2023•上海）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点，联结BD交AP于点E，联结CE．（1）如果AE＝CE．ⅰ．求证：▱ABCD为菱形；ⅱ．若AB＝5，CE＝3，求线段BD的长；（2）分别以AE，BE为半径，点A，B为圆心作圆，两圆交于点E，F，点F恰好在射线CE上，如果CE＝AE，求的值．分析：（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，证明△AOE≌△COE（SSS），由全等三角形的性质得出∠AOE＝∠COE，证出AC⊥BD，由菱形的判定可得出结论；ii．由重心的性质得出BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，由勾股定理得出9﹣x2＝25﹣9x2，求出x的值，则可得出答案；（2）方法一：由相交两圆的性质得出AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，由重心的性质及勾股定理得出答案．方法二：设EP＝x，则AE＝2x，CE＝2x，证出∠DCE＝90°，延长AP交DC的延长线于点Q，则CQ＝CD，由勾股定理可得出答案．【解答】（1）i．证明：如图，连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE＝CE，OE＝OE，∴△AOE≌△COE（SSS），∴∠AOE＝∠COE，∵∠AOE+∠COE＝180°，∴∠COE＝90°，∴AC⊥BD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD为菱形；ii．解：∵OA＝OC，∴OB是△ABC的中线，∵P为BC的中点，∴AP是△ABC的中线，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝2OE，设OE＝x，则BE＝2x，在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA2＝AE2﹣OE2＝32﹣x2＝9﹣x2，在Rt△AOB中，由勾股定理得，OA2＝AB2﹣OB2＝52﹣（3x）2＝25﹣9x2，∴9﹣x2＝25﹣9x2，解得x＝（负值舍去），∴OB＝3x＝3，∴BD＝2OB＝6；（2）解：方法一：如图，∵⊙A与⊙B相交于E，F，∴AB⊥EF，由（1）②知点E是△ABC的重心，又∵F在直线CE上，∴CG是△ABC的中线，∴AG＝BG＝AB，EG＝CE，∵CE＝AE，∴GE＝AE，CG＝CE+EG＝AE，∴AG2＝AE2﹣EG2＝AE2﹣＝，∴AG＝AE，∴AB＝2AG＝AE，∴BC2＝BG2+CG2＝AE2+＝5AE2，∴BC＝AE，∴．7．(2023•贵阳）如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，连接BC．ED垂直平分OB，垂足为E，且交于点F，交BC于点P，连接BF，CF．（1）求证：∠DCP＝∠DPC；（2）当BC平分∠ABF时，求证：CF∥AB；（3）在（2）的条件下，OB＝2，求阴影部分的面积．分析：（1）连接OC，由CD是⊙O的切线得∠OCB+∠DCP＝90°，又DE⊥OB，有∠OBC+∠BPE＝90°，可得∠DCP＝∠BPE，即得∠DCP＝∠DPC；（2）连接OF，根据ED垂直平分OB，可得△BOF是等边三角形，有∠FOB＝∠ABF＝60°，∠FCB＝∠FOB＝30°，而BC平分∠ABF，有∠ABC＝∠ABF＝30°，故∠FCB＝∠ABC，知CF∥AB；（3）连接OF、OC，由∠ABC＝∠CBF＝30°，得∠COF＝2∠CBF＝60°，即得S扇形COF＝，而OC＝OF，∠COF＝60°，可得△COF是等边三角形，有CF＝OF＝OB＝2，在Rt△FEB中，EF＝＝，可得S△COF＝CF•EF＝×2×＝，从而S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵CD是⊙O的切线，C为切点，∴∠DCO＝90°，即∠OCB+∠DCP＝90°，∵DE⊥OB，∴∠DEB＝90°，∴∠OBC+∠BPE＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DCP＝∠BPE，∵∠BPE＝∠DPC，∴∠DCP＝∠DPC；（2）证明：连接OF，如图：∵ED垂直平分OB，∴OF＝BF，∵OF＝OB，∴BF＝OF＝OB，∴△BOF是等边三角形，∴∠FOB＝∠ABF＝60°，∴∠FCB＝∠FOB＝30°，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠ABF＝30°，∴∠FCB＝∠ABC，∴CF∥AB；（3）解：连接OF、OC，如图：由（2）知，∠ABC＝∠CBF＝30°，∴∠COF＝2∠CBF＝60°，∵OB＝2，即⊙O半径为2，∴S扇形COF＝＝，∵OC＝OF，∠COF＝60°，∴△COF是等边三角形，∴CF＝OF＝OB＝2，∵ED垂直平分OB，∴OE＝BE＝OB＝1，∠FEB＝90°，在Rt△FEB中，EF＝＝＝，∴S△COF＝CF•EF＝×2×＝，∴S阴影＝S扇形COF﹣S△COF＝﹣，答：阴影部分的面积为﹣．8．(2023•深圳）一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH＝，求ON的长度．（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．分析：（1）根据题意得出DF是△COM的中位线，即点D是OC的中点，据此求解即可；（2）过点N作ND⊥OH于点D，根据题意得到△NHD是等腰直角三角形，则ND＝HD，根据锐角三角函数求出ND＝，OD＝，再根据勾股定理求解即可；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，据此求解即可．【解答】解：（1）∵OM＝1.6，DF＝0.8，EF∥AB，∴DF是△COM的中位线，∴点D是OC的中点，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2；（2）如图②，过点N作ND⊥OH于点D，∵∠OHN＝45°，∴△NHD是等腰直角三角形，∴ND＝HD，∵tan∠COH＝，∠NDO＝90°，∴＝，设ND＝3x＝HD，则OD＝4x，∵OH＝OA＝4，∴OH＝3x+4x＝4，∴x＝，∴ND＝×3＝，OD＝×4＝，∴ON＝＝；（3）如图，当点M与点O重合时，点N也与点O重合，当点M运动至点B时，点N运动至点T，故点N的运动路径长为OA+的长，∵∠HOM＝50°，OH＝OB，∴∠OHB＝∠OBH＝65°，∵∠OHM＝∠OHT，OH＝OT，∴∠OTH＝∠OHT＝65°，∴∠TOH＝50°，∴∠AOT＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的长＝＝π，∴点N的运动路径长＝4+π．9．(2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．（1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．分析：（1）①根据定义，先求出P'的坐标，从而得出Q的位置；②连接PP'，利用三角形中位线定理得NT＝PP'，从而证明结论；（2）连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP1∥OM，PP1＝OM，P1N＝NQ，利用三角形中位线定理得QT的长，从而求出SQ的长，在△PQS中，PS﹣QS＜PS+QS，则PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，从而解决问题．【解答】解：（1）①由题意知，P'（﹣2+1，0+1），∴P'（﹣1，1），如图，点Q即为所求；②连接PP'，∵∠P'PO＝∠MOx＝45°，∴PP'∥ON，∵P'N＝QN，∴PT＝QT，∴NT＝PP'，∵PP'＝OM，∴NT＝OM；（2）如图，连接PO，并延长至S，使OP＝OS，延长SQ到T，使ST＝OM，由题意知，PP'∥OM，PP'＝OM，P'N＝NQ，∴TQ＝2MN，∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t，∴TQ＝2﹣2t，∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1，∵PS﹣QS≤PQ≤PS+QS，∴PQ的最小值为PS﹣QS，PQ的最大值为PS+QS，∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．10．(2023•绥化）如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN＝90°，AM＝2AN，作AB⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．（1）求证：△CMA∽△CBD．（2）若MN＝10，＝，求BC的长．（3）在点C运动过程中，当tan∠MDB＝时，求的值．分析：（1）连接BM，由四边形ABMC是⊙O的内接四边形，得∠DCA＝∠ABM，由∠MAN＝90°，AB⊥MN，可得∠ABM＝∠BAM，即可得∠DCA＝∠BCM，从而∠DCB＝∠ACM，可证△CMA∽△CBD；（2）连接OC，由AM＝2AN，MN＝10可得AN＝2，AM＝4，由面积法得AP＝BP＝＝＝4，即得PM＝＝8，根据＝，可得△PDM是等腰直角三角形，CM＝OM＝5，即得PD＝PM＝8，BD＝PD+BP＝12，又△CMA∽△CBD，可得BC＝3；（3）连接CN交AM于K，连接KE，由tan∠MDB＝，可得tan∠CNM＝，根据AB⊥MN，得＝，有∠KCE＝∠KME，即知C、K、E、M四点共圆，可得∠KEM＝90°＝∠KEN，从而＝，设KE＝3m，则NE＝4m，而tan∠KME＝＝＝，得EM＝6m，故＝＝．【解答】（1）证明：连接BM，如图：∵四边形ABMC是⊙O的内接四边形，∴∠DCA＝∠ABM，∵∠MAN＝90°，∴MN为⊙O的直径，∵AB⊥MN，∴＝，∴∠ABM＝∠BAM，∴∠DCA＝∠BAM，∵＝，∴∠BAM＝∠BCM，∴∠DCA＝∠BCM，∴∠DCB＝∠ACM，∵＝，∴∠DBC＝∠AMC，∴△CMA∽△CBD；（2）解：连接OC，如图：由AM＝2AN，设AN＝x，则AM＝2x，∵MN为直径，∴∠NAM＝90°，∴x2+（2x）2＝102，解得x＝2，∴AN＝2，AM＝4，∵AB⊥MN，∴2S△AMN＝AN•AM＝MN•AP，∴AP＝BP＝＝＝4，∴PM＝＝8，∵＝，∴OC⊥MN，∵OC＝OM，∴∠CMO＝45°，∴△PDM是等腰直角三角形，CM＝OM＝5，∴PD＝PM＝8，∴BD＝PD+BP＝12，由（1）知△CMA∽△CBD，∴＝，即＝，∴BC＝3；（3）解：连接CN交AM于K，连接KE，如图：∵MN是⊙O直径，∴∠MCN＝90°＝∠DPM，∴∠CNM＝90°﹣∠CMP＝∠D，∵tan∠MDB＝，∴tan∠CNM＝，∵AB⊥MN，∴＝，∴∠KCE＝∠KME，∴C、K、E、M四点共圆，∵∠NCM＝90°，∴∠KEM＝90°＝∠KEN，而tan∠CNM＝，∴＝，设KE＝3m，则NE＝4m，∵tan∠KME＝＝＝，∴EM＝6m，∴＝＝．【中考模拟练】1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，BC是⊙O的直径，PO交⊙O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；③CE平分∠ACB；④；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（）个．A．5 B．4 C．3 D．2分析：连接OA，BE，①根据PA、PB是⊙O的切线，即可判断；②根据PA＝PB，OA＝OB，可得OP是AB的垂直平分线，进而可以判断；③根据OP是AB的垂直平分线，可得，进而可以判断；④根据OB＝OC，AF＝BF，即可判断；⑤证明∠PBE＝∠EBA，∠APE＝∠BPE，即可判断；⑥根据AC∥OE，可得△CDA∽△EDF，进而可以判断．【解答】解：如图，连接OA，BE，①∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，故①正确；②∵PA＝PB，OA＝OB，∴OP是AB的垂直平分线，∴OP⊥AB，故②正确；③∵OP是AB的垂直平分线，∴，∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故③正确；④∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠BFO＝90°，∴OF∥AC，∵OB＝OC，AF＝BF，∴，故④正确；⑤∵PB是⊙O的切线，∴∠PBE+∠EBC＝90°，∵BC是⊙O的直径，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∴∠PBE＝∠ECB，∵∠ECB＝∠EBA，∴∠PBE＝∠EBA，∵∠APE＝∠BPE，∴E是△PAB的内心，故⑤正确；⑥∵AC∥OE，∴△CDA∽△EDF，故⑥错误；∴其中一定成立的是①②③④⑤，共5个．故选：A．2．（2023•石家庄模拟）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，在AB上取点O，以O为圆心，以OB为半径作圆，与AC相切于点D，并分别与AB，BC相交于点E，F（异于点B）．（1）求证：BD平分∠ABC；​（2）若点E恰好是AO的中点，求扇形BOF的面积；（3）若CF的长为1，求⊙O的半径长．分析：（1）连接OD，以此可得OD⊥AC，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得OD∥BC，进而得到∠CBD＝∠ODB，由OD＝OB可得∠OBD＝∠ODB，因此∠OBD＝∠CBD，以此即可证明；（2）连接DE、OD、OF，易得AE＝OE＝OB＝2，根据直角三角形中线的性质的DE＝＝OE，因此△DOE为等边三角形，则∠DOE＝60°，根据平行线的性质得∠FBO＝∠DOE＝60°，于是可证明△FBO为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可；（3）连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，则四边DOGC为矩形，根据垂径定理可得BG＝FG，设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝6﹣r，BG＝r﹣1，易证△AOD∽△OBG，根据相似三角形的性质可得出方程，求解即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵AC与⊙O相切于点D，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠CBD＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）解：连接DE、OD、OF，如图，∵AB＝6，E是AO的中点，∴AE＝OE＝OB＝2，在Rt△AOD中，DE＝＝OE，∴DE＝OD＝OE，∴△DOE为等边三角形，∴∠DOE＝60°，∵OD∥BC，∴∠FBO＝∠DOE＝60°，∵OF＝OB，∴△FBO为等边三角形，∴∠BOF＝60°，∴S扇形BOF＝＝；（3）解：连接OD，过点O作OG⊥BC于点G，如图，则BG＝FG，四边DOGC为矩形，∴DO＝CG，设⊙O的半径为r，则OD＝CG＝OB＝r，OA＝AB﹣OB＝6﹣r，∵CF＝1，∴BG＝FG＝CG﹣CF＝r﹣1，∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBG，∵∠ADO＝∠OGB＝90°，∴△AOD∽△OBG，∴，即，解得：r＝2或，∴⊙O的半径长为2或，3．（2023•锦江区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BO平分∠ABC，交AC于点O．以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交BO于点D，连接AD．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝3，OC＝，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求tan∠BAD的值．分析：（1）过点O作OE⊥BC于点E，利用角平分线的性质和圆的切线的定义解答即可；（2）在Rt△OEC中，利用直角三角形的边角关系定理求得tanC＝＝，在Rt△ABC中，利用直角三角形的边角关系定理得到tanC＝，从而得到关于AB的比例式，解比例式即可得出结论；（3）过点D作DF⊥OA于点F，利用相似三角形的判定定理与性质定理，勾股定理，相似三角形的边角关系定理求得tan∠ADF，再利用平行线的判定与性质得到∠BAD＝∠ADF，则结论可得．【解答】（1）证明：过点O作OE⊥BC于点E，如图，∵BO平分∠ABC，OA⊥AB，OE⊥BC，∴OA＝OE，∵OA为⊙O的半径，∴点O到直线BC的距离等于半径，∴BC为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OEC中，∵OE＝OA＝3，OC＝，∴EC＝＝，∴tanC＝＝．在Rt△ABC中，AC＝OA+OC＝，∵tanC＝，∴，∴，∴AB＝6；（3）解：在Rt△ABO中，∵OA＝3，AB＝6，∴OB＝＝9，过点D作DF⊥OA于点F，则∠DFO＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DFO＝∠BAC，∴DF∥AB，∴△DOF∽△BOA，∴，∴，∴DF＝2．∴OF＝＝1．∴AF＝OA﹣OF＝2，∴tan∠ADF＝．∵DF∥AB，∴∠BAD＝∠ADF，∴tan∠BAD＝tan∠ADF＝．4．（2023•南岗区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝∠B+∠C．（1）如图1，求证：BC为⊙O的直径；（2）如图2，点D，E在弧AB上，连接BD，CE相交于点F，连接DE，CD，若∠BFC＝∠EDC，求证：CE是∠BCD的角分线；（3）如图3，在（2）的条件下．连接BE，AE，AE与CD相交于点G，过点B作BH⊥BD交AE延长线于点H，AB与CE相交于点M，若BH＝5，DG＝1，tan∠AMC＝，求DE的长．分析：（1）利用三角形的内角和定理和圆周角定理的推论解答即可；（2）利用三角形的外角的性质和圆周角定理解答即可；（3）延长BE，CD，它们相交于点N，利用圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到BE＝EN＝ED；利用圆周角定理，平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到BH＝NG＝5，则DN＝4；过点E作EK⊥DN于点K，利用等腰三角形的三线合一的性质得到NK＝KD＝，利用圆周角定理和三角形的外角的性质得到∠AMC＝∠KGE，从而tan∠KGE＝；在Rt△KEG中，利用直角三角形的边角关系定理即可求得EK，再利用勾股定理解答即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∵△ABC内接于⊙O，∴BC为⊙O的直径；（2）证明：∵∠BFC＝∠EDC，∠BFC＝∠BDC+∠DCE，∠EDC＝∠BDC+∠EDB，∴∠BDC+∠DCE＝∠BDC+∠EDB，∴∠DCE＝∠EDB．∵∠EDB＝∠ECB，∴∠DCE＝∠ECB，∴CE是∠BCD的角分线；（3）解：延长BE，CD，它们相交于点N，如图，由（2）知：∠DCE＝∠ECB，∴，∴BE＝ED．∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝∠NEC＝90°．在△BEC和△NEC中，，∴△BEC≌△NEC（ASA），∴BE＝EN，∴BE＝EN＝ED．∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥BD，∵BH⊥BD，