上海市浦东新区2025届九年级数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

上海市浦东新区2025届九年级数学第一学期期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，：④方程有两个大于-1的实数根.其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④2．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（）A．B．C．D．3．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为()A． B． C． D．4．已知点(﹣4，y1)、(4，y2)都在函数y＝x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定5．方程是关于x的一元二次方程，则m的值是（）A． B．C． D．不存在6．如图，将绕点逆时针旋转70°到的位置，若，则（）A．45° B．40° C．35° D．30°7．如图①，在矩形中，，对角线相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则边的长为()．A．3 B．4 C．5 D．68．二次函数的图象向左平移个单位，得到新的图象的函数表达式是（）A． B．C． D．9．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（）A．2 B．5 C．7 D．910．下列事件中，必然事件是（）A．任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王C．通常情况下，抛出的篮球会下落D．三角形内角和为360°二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，A是反比例函数图象上的一点，点B、D在轴正半轴上，是关于点D的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则的值为____．12．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝_____．13．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，当__________时，相似．14．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有_____个．15．若二次函数的图象经过点（3,6），则16．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_______.17．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA等于．18．如图，点为等边三角形的外心，连接.①___________.②弧以为圆心，为半径，则图中阴影部分的面积等于__________．三、解答题(共66分)19．（10分）一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x（元/千克）…50607080…销售量y（千克）…100908070…（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？20．（6分）为了加强学校的体育活动，某学校计划购进甲、乙两种篮球，根据市场调研发现，如果购进甲篮球2个和乙篮球3个共需270元；购进甲篮球3个和乙篮球2个共需230元．（1）求甲、乙两种篮球每个的售价分别是多少元？（2）为满足开展体育活动的需求，学校计划购进甲、乙两种篮球共100个，由于购货量大，和商场协商，商场决定甲篮球以九折出售，乙篮球以八折出售，学校要求甲种篮球的数量不少于乙种篮球数量的4倍，甲种篮球的数量不多于90个，请你求出学校花最少钱的进货方案；（3）学校又拿出省下的290元购买跳绳和毽子两种体育器材，跳绳10元一根，毽子5元一个，在把钱用尽的情况下，有多少种进货方案？21．（6分）如图1，在中，为锐角，点为射线上一点，联结，以为一边且在的右侧作正方形．（1）如果，，①当点在线段上时（与点不重合），如图2，线段所在直线的位置关系为，线段的数量关系为；②当点在线段的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果，是锐角，点在线段上，当满足什么条件时，（点不重合），并说明理由．22．（8分）．已知关于x的方程的两根为满足：，求实数k的值23．（8分）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．24．（8分）如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：四边形AEOD是正方形．25．（10分）先化简，再从中取一个恰当的整数代入求值．26．（10分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】①由二次函数的图象开口方向知道a＜0，与y轴交点知道c＞0，由此即可确定ac的符号；②由于二次函数图象与x轴有两个交点即有两个不相等的实数根，由此即可判定的符号；③根据图象知道当x＜0时，y不一定小于0，由此即可判定此结论是否正确；④根据图象与x轴交点的情况即可判定是否正确．【详解】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵图象与y轴交于正半轴，则c＞0，∴ac＜0，故选项①正确；∵二次函数图象与x轴有两个交点即有两个不相等的实数根，即，故选项②正确；③当x＜0时，有部分图象在y的上半轴即函数值y不一定小于0，故选项③错误；④利用图象与x轴交点都大于-1，故方程有两个大于-1的实数根，故选项④正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：当时，，然后根据图象判断其值．2、B【解析】根据勾股定理，AB==2，BC==，AC==，所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．故选B．3、D【分析】先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.【详解】解：∵菱形ABCD∴AB=AD∴∠ABD=∠ADC∴∠ABD=∠CBD又∵∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=(180°-134°)=23°∴=90°-23°=67°故答案为D.【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.4、B【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝2，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴对称轴为x＝2，∵a＞0，∴x＞2时，y随x增大而增大，点（﹣4，y1）关于抛物线的对称轴x＝2对称的点是（8，y1），8＞4，∴y1＞y2，故选：B．【点睛】本题主要考查的是二次函数的增减性，从对称轴分开，二次函数左右两边的增减性不相同结合题意即可解出此题.5、B【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．【详解】由题知：，解得，∴故选：B．【点睛】本题考查了利用一元二次方程的定义求参数的值，熟知一元二次方程的定义是解题的关键．6、D【分析】首先根据旋转角定义可以知道，而，然后根据图形即可求出．【详解】解：∵绕点逆时针旋转70°到的位置，∴，而，∴故选D．【点睛】此题主要考查了旋转的定义及性质，其中解题主要利用了旋转前后图形全等，对应角相等等知识．7、B【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为1，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．【详解】解：当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为1．∴，即．当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，∴．则，代入，得，解得或1，因为，即，所以．故选B．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．8、C【分析】根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵二次函数的图象向左平移个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，0），∴新的图象的二次函数表达式是：；故选择：C.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便，平移的规律：左加右减，上加下减．9、B【分析】根据三角形的中位线定理得出EF＝DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，N与A重合时，DN最小，从而求得EF的最大值为1．3，最小值是2．3，可解答．【详解】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为1．3．∵∠A＝90，AD＝3，∴DN≥3，∴EF≥2．3，∴EF长度的可能为3；故选：B．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．10、C【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】任意掷一枚均匀的硬币，正面朝上是随机事件；从一副扑克牌中，随意抽出一张是大王是随机事件；通常情况下，抛出的篮球会下落是必然事件；三角形内角和为360°是不可能事件，故选C.【点睛】本题考查随机事件.二、填空题(每小题3分,共24分)11、8【分析】根据△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似比是1：3，得出，进而得出假设BD=x，AE=4x，D0=3x，AB=y，根据△ABD的面积为1，求出xy=2即可得出答案．【详解】过A作AE⊥x轴,∵△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的位似是1:3，∴，∴OE=AB，∴，设BD=x，AB=y∴DO=3x，AE=4x，C0=3y，∵△ABD的面积为1，∴xy=1，∴xy=2，∴AB⋅AE=4xy=8，故答案为：8.【点睛】此题考查位似变换，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，解题关键在于作辅助线.12、1．【分析】根据题意，想要求S1+S2，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所构成的矩形的面积即可，而矩形的面积为双曲线y＝的系数k，由此即可求解．【详解】∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4，∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝1．故答案为1．【点睛】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握根据反比例函数系数k的几何意义求出矩形的面积．13、【分析】直接利用，找到对应边的关系，即可得出答案．【详解】解：当时，

则，

∵，点是边的中点，

∴∵，∴则综上所述：当BQ=时，．

故答案为：．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，得到对应边成比例是解答此题的关键．14、1【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以＝＝，故②正确；③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；④根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCDS四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确．【详解】解：过D作DM∥BE交AC于N，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；∵△AEF∽△CBF，∴，∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD∴S△AEF＝S矩形ABCD，又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；故答案为：1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线，根据相似三角形表示出图形面积之间关系是解题的关键．15、.【详解】试题分析：根据点在抛物线上点的坐标满足方程的关系，由二次函数的图象经过点（3,6）得：．16、【解析】求方程的解即是求函数图象与x轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1.∴x1=-1,x2=5.∴不等式的解集是.故答案为【点睛】要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.17、.【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.18、120【分析】①连接OC利用等边三角形的性质可得出，可得出的度数②阴影部分的面积即求扇形AOC的面积，利用面积公式求解即可.【详解】解：①连接OC，∵O为三角形的外心，∴OA=OB=OC∴∴∴.②∵∴∴阴影部分的面积即求扇形AOC的面积∵∴阴影部分的面积为：.【点睛】本题考查的知识点有等边三角形外心的性质，全等三角形的判定及其性质以及扇形的面积公式，利用三角形外心的性质得出OA=OB=OC是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）y＝﹣x+150（0＜x≤90）；（2）70【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可．【详解】（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据题意得，解得．故y与x的函数关系式为y＝﹣x+150（0＜x≤90）；（2）根据题意得（﹣x+150）（x﹣20）＝4000，解得x1＝70，x2＝100＞90（不合题意，舍去）．答：该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出方程．20、（1）甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元；（2）花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个；（3）有28种进货方案．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）设学校计划购进甲种篮球m个，则学校计划购进乙种篮球（100−m）个；根据题意列不等式即可得到结论；（3）设购买跳绳a根，毽子b个，根据题意得方程10a＋5b＝290，求得b＝58−2a＞0，解不等式即可得到结论．．【详解】（1）设甲种篮球每个的售价为元，乙种篮球每个的售价为元．依题意，得解得答：甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元．（2）设学校购进甲种篮球个，则购进乙种篮球个．由已知，得.解得．又，∴．设购进甲、乙两种篮球学校花的钱为元，则，∴当时，取最小值，花最少钱为2990元．花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个．（3）设购买跳绳根，毽子个，则，．解得．∵为正整数，∴有28种进货方案．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答问题．21、（1）①垂直，相等；②见解析;（2）见解析.【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；（2）过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，于是得到∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，证得AC=AG，根据（1）的结论于是得到结果．【详解】（1）①正方形ADEF中，AD=AF．∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF．在△DAB与△FAC中，，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．故答案为垂直、相等；②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD与△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；（2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC=90°．∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG．在△GAD与△CAF中，，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G构造全等三角形是解题的关键．22、或.【分析】根据根与系数的关系可得，，将其代入，可得，得出与k有关的方程，可解出k的值，最后验证方程是否有实数根即可.【详解】解：∵关于x的方程，∴，∴，，将其代入可得：，解得：，∵经检验可得当或时方程均有两个实数根，∴均满足题意.故答案为:或.【点睛】本题考查根与系数关系的应用，当涉及到一元二次方程根的运算时，都可以考虑用根与系数的关系，在方程中含参数的题目中还应考虑，应用根与系数关系的前提是方程有两个实数根，这个情况比较容易被忽略，要熟记.23、(1)AF=AE；（2）AF=AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=AE，理由详见解析.【分析】（1）如图①中，结论：AF=AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF=AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF=AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰