新教材高中数学10-1-2复数的几何意义课件新人教B版必修第四册

10.1.2复数的几何意义新课程标准素养风向标了解复数的代数表示及其几何意义,会用复平面内的点和平面向量来表示复数.1.通过复数的几何意义领会数形结合的思想.(直观想象、数学抽象)2.通过构造平面向量将复数转化为图形解决问题.(数学建模)3.利用复数的几何意义计算复数的模,明确轨迹的形状.(逻辑推理)基础预习初探1.回顾平面直角坐标系与点的坐标(1)在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点Z(a,b)对应的向量=________,对应的复数z=________.

(2)在复平面内,复数z=a+bi,a,b∈R,对应的点Z的坐标为________,对应的向量=________.

提示:(1)(a,b)

a+bi(2)(a,b)

(a,b)2.若复数z=a+bi(a,b∈R)对应的点位于复平面内的第三象限,则复数的实部与虚部满足什么条件?提示:当a<0,b<0时,复数对应的点位于复平面内的第三象限.3.(1)设Z(a,b),则向量的模如何用a,b表示?提示:||=.(2)复数可以用向量表示,那么向量的模是复数的什么?提示:用文字语言描述:向量的模就是复数的模.用符号语言描述:|z|=||=.4.复数z=a+bi与复数

=a-bi对应的点有什么关系?提示:复数z=a+bi对应的点为(a,b),复数=a-bi对应的点为(a,-b),两点关于x轴对称.特别地,当b=0时,两点重合.【概念生成】1.复平面如图,把建立了___________来表示复数的平面叫做复平面,x轴称为___轴,y轴称为___轴.实轴上的点对应的都表示实数,除_____外,虚轴上的点对应的都表示纯虚数.直角坐标系实虚原点2.复数的几何意义复数z=a+bi,既与点Z(a,b)可以建立一一对应关系,又可以与平面向量建立一一对应关系,三者的关系如下:3.复数的模(或绝对值)一般地,向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi就是实数a,它的模等于|a|(即实数a的绝对值).|z|=|a+bi|=________.4.共轭复数一般地,如果两个复数的实部_____,虚部互为_____数,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用

表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有

=a-bi.相等相反核心互动探究探究点一复数与点的一一对应【典例1】1.在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 (

)A.1+2i B.1+3iC.3+3i D.3+4i2.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点:(1)位于第四象限;(2)位于直线y=x上.核心互动探究探究点一复数与点的一一对应【典例1】1.在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 (

)A.1+2i B.1+3iC.3+3i D.3+4i2.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点:(1)位于第四象限;(2)位于直线y=x上.【思维导引】1.利用相等向量计算,也可以利用线段的中点坐标公式计算;2.根据点的位置列方程或不等式组求解.【解析】1.选B.方法一:在复平面内,复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),B(-2,1),设线段AB的中点C为(x,y),则,即(x-4,y-5)=(-2-x,1-y),得x-4=-2-x,y-5=1-y,解得x=1,y=3.所以C(1,3)对应的复数为1+3i.方法二:复数4+5i,-2+i对应的点分别为A(4,5),B(-2,1),则线段AB的中点C(1,3),所以C(1,3)对应的复数为1+3i.2.(1)由⇒所以-2<m<3或5<m<7.此时复数z对应的点位于第四象限.(2)要使z对应的点在直线y=x上,需m2-8m+15=m2-5m-14,解得m=.【类题通法】复数与点的对应关系及应用(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是:复数的实部就是该点的横坐标,虚部就是该点的纵坐标.(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时,可根据复数与点的对应关系,建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组),通过解方程(组)或不等式(组)得出结论.【定向训练】1.当

<m<1时,复数z=(5m-2)+(m-2)i在复平面内对应的点位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.复数z在复平面内对应的点为Z(5m-2,m-2).由<m<1,得5m-2>0,m-2<0.所以点Z位于第四象限.【定向训练】1.当

<m<1时,复数z=(5m-2)+(m-2)i在复平面内对应的点位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.复数z在复平面内对应的点为Z(5m-2,m-2).由<m<1,得5m-2>0,m-2<0.所以点Z位于第四象限.2.实数m取什么值时,复数z=2m+(4-m2)i在复平面内对应的点在:(1)虚轴上;(2)第一、三象限;(3)以原点为圆心,4为半径的圆上.【解析】(1)若复数z在复平面内的对应点位于虚轴上,则2m=0,即m=0.(2)若复数z在复平面内对应的点位于第一、三象限,则2m(4-m2)>0,解得m<-2或0<m<2.(3)若复数z对应的点位于以原点为圆心,4为半径的圆上,则=4,即m4-4m2=0,解得m=0或m=±2.探究点二复数与向量的一一对应【典例2】1.已知A(1,2),B(-3,5),则向量对应的复数为 (

)A.1+2i B.-3+5iC.-2+7i D.-4+3i2.已知O为坐标原点,向量对应的复数是4+3i,点A关于实轴的对称点为A1,将向量平移,使其起点移动到A点,这时终点为A2.(1)求向量对应的复数;(2)求点A2对应的复数.【思维导引】1.求出向量的坐标,再确定对应的复数.2.根据复数与点以及复数与向量的对应关系求解.【解析】1.选D.由于A(1,2),B(-3,5),则向量=(-4,3),所以对应的复数为-4+3i.2.(1)因为向量对应的复数是4+3i,所以点A对应的复数也是4+3i,因此点A坐标为(4,3),所以点A关于实轴的对称点A1为(4,-3),故向量对应的复数是4-3i.(2)依题意知=,而=(4,-3),设A2(x,y),则有(4,-3)=(x-4,y-3),所以x=8,y=0,即A2(8,0).所以点A2对应的复数是8.【类题通法】复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a,b∈R)是与以原点为起点,Z(a,b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移,其对应的复数不变,但是其起点与终点所对应的复数可能改变.提醒:向量是自由向量,其长度与方向与起点的位置无关,=(xB-xA,yB-yA),对应的复数的实部和虚部分别是向量的横坐标和纵坐标.【定向训练】在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为 (

)A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1+2i【解析】选B.因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以对应的复数为-2+i.【补偿训练】已知平面直角坐标系中O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是________.

【解析】向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量=(2,-3),=(-3,2).由向量减法的坐标运算可得向量=(2+3,-3-2)=(5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量对应的复数是5-5i.答案:5-5i探究点三共轭复数与复数的模【典例3】1.已知复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i互为共轭复数,则z= (

)A.3+4i B.3-5iC.5i D.-5i2.已知z∈C,|z|=5,求z表示的点的轨迹.【思维导引】1.两个共轭复数实部相等,虚部互为相反数,且二者的模相等.2.设复数z对应向量,其中O为原点,根据圆的定义判断轨迹形状.【解析】1.选D.因为复数z与复数z1=3-4i的模相等且与复数z2=a+5i互为共轭复数,则|z|=|z1|=|z2|,得==5,所以a=0,z2=5i,z==-5i.2.设复数z对应向量,其中O为原点,根据|z|=5,得||=5,由圆的定义,动点Z的轨迹是以O为圆心,5为半径的圆,即复数z表示的点的轨迹是圆.【类题通法】关于复数的模的两个关注点1.复数的模表示对应向量的长度,也就是对应的两点之间的距离.2.注意复平面上两点间的距离公式的多角度应用:设z1=a+bi,z2=c+di,=(a,b),=(c,d),则.【定向训练】1.已知复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A,B,则向量||=________.

【解析】复数z1=-2+i,z2=1-3i,对应的点分别为A(-2,1),B(1,-3),则向量=(3,-4),所以||=5.答案:52.已知3-4i=x+yi(x,y∈R),则|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小关系为____________.

【解析】由3-4i=x+yi(x,y∈R),得x=3,y=-4.而|1-5i|=|x-yi|=|3+4i|==5,|y+2i|=|-4+2i|=因为<5<,所以|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|.答案:|y+2i|<|x-yi|<|1-5i|【课堂小结】课堂素养达标1.在复平面内,复数z=4-5i对应的点的坐标为 (

)A.(4,5) B.(4,-5)C.(5,4) D.(-5,4)【解析】选B.复数z=4-5i对应的点的坐标为(4,-5).2.在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0.故z=sin2+icos2对应的点在第四象限.3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为 (

)A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆【解析】选A.因为|z|2-2|z|-3=0,所以(|z|-3)(|z|+1)=0,所以|z|=3.故所求的轨迹为一个圆.4.复平面内,点(0,-3)对应的复数为________.

【解析】点(0,-3)对应的复数为-3i.答案:-3iThebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏3.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为 (

)A.一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆【解析】选A.因为|z|2-2|z|-3