八年级数学下册知识点总结(比较全)

初二数学下知识点总结

函数及其相关概念

1、变量与常量

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

一般地，在某一变化过程中有两个变量X与y,如果对于X的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应,

那么就说x是自变量，y是x的函数。

2、函数解析式

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

3、函数的三种表示法及其优缺点

（1）解析法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫

做解析法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

正比例函数和一次函数

I、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y=（k,b是常数，k*0）,那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数y=

中的b为0时，y=kx（k为常数，k*0）这时，y叫做x的正比例函数。

2、一次函数的图像

所有一次函数的图像都是一条直线。

3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：

一次函数丁=%犬+。的图像是经过点（0,b）的直线；正比例函数y=Ax的图像是经过原点（0,0）的直

线。(如下图)

4.正比例函数的性质

一般地，正比例函数y=Zx有下列性质：

(1)当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大：

(2)当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。

5、一次函数的性质

一般地，一次函数丁=4大+匕有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大

(2)当k<0时，y随x的增大而减小

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式丁=心：(k#0)中的常数k。确定一个一次函数，需

要确定一次函数定义式丁=公：+匕(k*0)中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。

k的符号b的符号函数图像图像特征

一

图像经过一、二、三象限，y随x的增大而

b>0

增大。

k>0

7A图像经过一、三、四象限，y随x的增大而

b<0

增大。

X

X

四边形

BC

2.多边形的内角和与外角和定理：

(1)n边形的内角和等于(n-2)180°；

(2)任意多边形的外角和等于360。.

3.平行四边形的性质：

(1)两组对边分别平行;

(2)两组对边分别相等;

因为ABCD是平行四边形=■(3)两组对角分别相等;

(4)对角线互相平分；

(5)邻角互补.

4.平行四边形的判定：

(1)两组对边分别平行'

DC

(2)两组对边分别相等

(3)两组对角分别相等ABCD是平行四边形.

(4)一组对边平行且相等

(5)对角线互相平分

5.矩形的性质:

(1)具有平行四边形的所有通性;

因为ABCD是矩形=＞，(2)四个角都是直角；

(3)对角线相等.DC

AB

6.矩形的判定：

(1)平行四边形+一个直角'

(2)三个角都是直角四边形ABCD是矩形.

(3)对角线相等的平行四边形

7.菱形的性质：

因为ABCD是菱形

"(1)具有平行四边形的所有通性;

=，(2)四个边都相等；

(3)对角线垂直且平分对角.

8.菱形的判定：

(1)平行四边形+一组邻边等'

(2)四个边都相等n四边形四边形ABCD是菱形.

(3)对角线垂直的平行四边形

9.正方形的性质:

因为ABCD是正方形

(1)具有平行四边形的所有通性；

=.(2)四个边都相等，四个角都是直角;

(3)对角线相等垂直且平分对角.

10.正方形的判定:

⑴平行四边形+一组邻边等+一个直角'

(2)菱形+一个直角四边形ABCD是正方形.

(3)矩形+一组邻边等

⑶：ABCD是矩形

又：AD=AB

.•.四边形ABCD是正方形

11.等腰梯形的性质:

(1)两底平行，两腰相等;

因为ABCD是等腰梯形二.(2)同一底上的底角相等;

(3)对角线相等.

-基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，

菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位线，梯形中位线.

二定理：中心对称的有关定理

关于中心对称的两个图形是全等形.

X2.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

X3.如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

三公式：

1.S菱形=^ab=ch.（a、b为菱形的对角线，c为菱形的边长，h为c边上的高）

2

2.S平行四边形=ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）

3.S梯形々（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）

四常识:/

菱

矩(

形

形

XL若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：如上且V

平行四边形

2.规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.

3.如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

4.常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是

中心对称图形的有：平行四边形……；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、

圆…….注意：线段有两条对称轴.

X5.梯形中常见的辅助线:

平移与旋转

旋转

L旋转的定义：

在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。

2.旋转的性质：

旋转后得到的图形与原图形之间有：对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。

中心对称

1.中心对称的定义：

如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么这两个图形叫做中心对称。

2.中心对称图形的定义：

如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形。

3.中心对称的性质：

在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

轴对称

I.轴对称的定义：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称图形的性质：

①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

③等腰三角形的“三线合一”。

3.轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

图形变换

图形变换的定义：图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。

方差与频数分布

知识框架图数

据

的L极差

波

动｛用计算器计算

方差

标准差比较事物的有关性质

方

差用样本估计总体的有关特征

与

数

频频数

据

数

的

分频率

分

布

布

频数分布表

频数分布图

数据的波动

一、极差

1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差；

2、极差=数据中的最大值一数据中的最小值。

二、方差

1、在一组数据用,乙,，与，…，居中，各数据与他们的平均数亍的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差,

2222

常用/来表示,即:5=i[(X1-X)+(X2-X)+...+(X„-X)]；

n

2、方差的三种公式：

2222

基本公式：5=l[(X,-J)+(X2-X)+...+(X„-X)]；

n

222

化简公式：5=—[(X+X2+…七：)一夜」

n

化简公式的变形公式：1="1(再2+XJ+...%2)一元2

n

3、设化简后的新数据组否,马…•居的方差为I,设玉，2»3,…，X〃的方差为/(其中

%,=七一=1,2,…为常数)，则J=$2；

4、方差的作用：用于表述一组数据波动的大小，方差越小，该数据波动越小，越稳定。

三、标准差

1、方差的算数平方根。叫做这组数据的标准差，即：

2、标准差用于描述一组数据波动的大小；

3、标准差的单位与原数据的单位相同。

四、方差与标准差的关系

1>CT=;

2、b与52的作用相同、单位不同。

五、频数分布与频数分布图

1、数据的分组整理

组限、组距和组数：

把一套数据分成若干个小组，累计各小组的数据个数。期中每个分数段是一个“组区间”，分

数段两端的数值是“组限”，分数段的最大值与最小值的差是“组距”，分数段的个数是组数”.

2、频数、频率与频数分布表、频数分布图

①每个小组的数据的个称为这组数据的频数；

②频率：每个小组的频数与数据总个数的比值称为这组的频率；

③频率的计算公式：

每组的频率=这组的频数/数据的总个数

④各小组的频数之和等于数据总数；各小组的频数之和等于1.

二次根式

1.二次根式：一般地，式子&(aWO)叫做二次根式.注意：(1)若a20这个条件不成立，则金不是

二次根式；⑵&是一个重要的非负数，即；品NO.

2.重要公式：⑴(4?=a(a>0),(2)行=同=卜(产？注意使用a=(G)2(a>0).

11[-a(a<0)

3.积的算术平方根：如=6•加(a>0,b>0),积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；

注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求.

4.二次根式的乘法法则：Va-Vb=V^b(a>0,b>0).

5.二次根式比较大小的方法:

（1）利用近似值比大小；

（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;

（3）分别平方，然后比大小.

6.商的算术平方根:（a>0,b>0）,商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平

方根.

7.二次根式的除法法则:

⑴鲁(a>0,b>0)；

（2）6+而=Ja+b（a>0,b>0）；

（3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化

因式，使分母变为整式.

8.常用分母有理化因式：无与&,Va-Vb与Va+Vb,mVa+nVb与mVa-nVb,它们也叫互

为有理化因式.

9.最简二次根式：

（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被

开方数中不含能开的尽的因数或因式；

（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2,且不含分母；

（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式：

（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.

10.二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题.

11.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二

次根式.

12.二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内

的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；

（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有

时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.

勾股定理

1.勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为C,那么/+尸=。2

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代

把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多

年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步

发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

2.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

②图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4SA+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4XJ乃+g-=C?,化简可证・(T

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积

的和为S=4x」aZ?+c2=2必+02大正方形面积为S=(a+b)2=6+2必+〃fjfrl^a2+b2=c2

2

2222

方法三：S梯形=；(〃+»•(“+»,S^=2S&ADE+S^BE=2--ab+-c,化简得证：a+b=c

3.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝

角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在AWC中，ZC=90%则c=Jq2+后，

6=5-1,a=Qd②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决

一些实际问题

5.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a,b,C满足〃2+6=。2,那么这个三角形是直角三角形，其中C为斜边

①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定

三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和Y+〃与较长边的平方/作比较，若它们相

等时，以6,。为三边的三角形是直角三角形；若"+从<。2,