21.2.4一元二次方程的根与系数的关系课件人教版数学九年级上册

*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系21.2解一元二次方程学习目标1.会求一元二次方程的两根之和与两根之积2.能用一元二次方程的根与系数的关系解决问题方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？

求根公式不仅表示可以由方程的系数a、b、c决定根的值.而且反映了根与系数之间的联系.一元二次方程根与系数之间的关系还有其他的表现方式吗？复习引入

从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？思考1重要发现如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.

一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？思考2已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分别为x1=

，x2=

。x1+x2=

，x1x2=

.一元二次方程的根与系数的关系：如果

ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么注意：满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.归纳小结把

ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a，能否得出该结论？想一想∵

ax2+bx+c=0（a≠0）的两边同除以a得又∵x2-（x1+x2）x+x1x2=0∴-（x1+x2）=，x1x2=可得x1+x2=，x1x2=例1

根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2－6x－15＝0(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：

(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.例题讲解例2

已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

由于x1·x2=1×5=得m=15.答：方程的另一个根是5，m=15.解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1.所以x1

+

x2=1+x2=6，解得x2=5.解：根据根与系数的关系可知：

例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.常见的变形公式:归纳小结1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m=____.-32x1x22.设x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则(1)x1+x2=

_____,x1x2=_______，(2)x12+x22=(x1+x2)2-________=______,(3)(x1-x2)2

=(______)2-4x1x2=_______.

411412x1+x23.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1）x2+7x+6=0;（2）2x2-3x-2=0.解：(1)这里a=1,b=7,c=6.

Δ

=b2-4ac=72–4×1×6=25>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-7,

x1x2=6.（2）2x2-3x-2=0.（2）这里a=2,b=-3,c=-2.

Δ=b2-4ac=（-3）2–4×2×(-2)=25>0,∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=,x1x2=-1.4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且（x1+1)(x2+1)=4；（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：(1)根据根与系数的关系所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；

（2）因为k=-7,所以则：根与系数的关系（韦达定理）内