第一章特殊平行四边形回顾与思考课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形回顾与思考数学九年级上册BS版要点回顾典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版01要点回顾1.菱形的性质.（1）边：菱形的四条边

⁠.（2）对角线：菱形的对角线互相

，并且平分每一

组

⁠.（3）对称性：①菱形是轴对称图形，有两条对称轴；②菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.相等

垂直

对角

2.菱形的判定.（1）定义法：有一组邻边

的平行四边形叫做菱形.（2）对角线互相

的平行四边形是菱形.（3）四条边

的四边形是菱形.3.矩形的性质.（1）角：矩形的四个角都是

⁠.（2）对角线：矩形的对角线

，且互相

⁠.（3）对称性：①矩形是轴对称图形，有两条对称轴；②矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.相等

垂直

相等

直角

相等

平分

4.矩形的判定.（1）定义法：有一个角是

的平行四边形叫做矩形.（2）对角线

的平行四边形是矩形.（3）有三个角都是

的四边形是矩形.5.正方形的性质.（1）角：正方形的四个角都是

⁠.（2）边：正方形的四条边

⁠.（3）对角线：正方形的对角线

⁠.直角

相等

直角

直角

相等

相等且互相垂直平分

（4）对称性：①正方形是轴对称图形，有四条对称轴；②正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点.6.正方形的判定.（1）定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四

边形叫做正方形.（2）有一组邻边相等的

是正方形.（3）对角线互相

的矩形是正方形.（4）有一个角是

的菱形是正方形.（5）对角线

的菱形是正方形.矩形

垂直

直角

相等

7.特殊平行四边形的面积公式.

S矩形＝

ab

（其中

a

，

b

分别是矩形的

⁠）；

8.直角三角形斜边中线定理.直角三角形斜边上的中线等于斜边的

⁠.两条对角线长

长与宽

边长

对角线长

一半

数学九年级上册BS版02典例讲练要点一

菱形的性质与判定

如图，在▱

ABCD

中，

DB

＝

DA

，点

F

是

AB

的中点，连接

DF

并延长，交

CB

的延长线于点

E

，连接

AE

，

CF

.

【思路导航】（1）先证得△

AFD

≌△

BFE

，推出

AD

＝

BE

，

得到四边形

AEBD

是平行四边形，再根据

DB

＝

DA

可得结论；

（2）先证得∠

EDC

＝90°，再利用勾股定理求出

DE

的长，进

而可求出

CF

的长.

【点拨】熟练掌握平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性

质、全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键，求线段长

度常用勾股定理来解决，这些都属于中考常考题型.

如图，已知四边形

ABCD

是菱形，点

H

为对角线

AC

的中点，点

E

在

AB

的延长线上，

CE

⊥

AB

，垂足为

E

，点

F

在

AD

的延长线

上，

CF

⊥

AD

，垂足为

F

.

（1）若∠

BAD

＝60°，求证：四边形

CEHF

是菱形；

（2）若

CE

＝4，△

ACE

的面积为16，求菱形

ABCD

的面积.

要点二

矩形的性质与判定

如图，在四边形

ABCD

中，已知

AD

∥

BC

，∠

ABC

＝∠

ADC

，对角线

AC

，

BD

相交于点

O

，

OA

＝

OB

，

DE

平分∠

ADC

交

BC

于点

E

，连接

OE

.

（1）求证：四边形

ABCD

是矩形；（2）若

AB

＝1，求△

OEC

的面积.

（2）解：作

OF

⊥

BC

于点

F

，如图所示.∵四边形

ABCD

是矩形，∴

CD

＝

AB

＝1，∠

BCD

＝90°，

OA

＝

CO

，

OB

＝

DO

，

AC

＝

BD

.

∴

OA

＝

OB

＝

CO

＝

DO

.

∴

BF

＝

FC

.

∵

DE

平分∠

ADC

，∠

ADC

＝90°，∴∠

EDC

＝45°.在Rt△

EDC

中，

EC

＝

CD

＝1，

【点拨】本题考查矩形的判定与性质、三角形的面积、平行四

边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判

定与性质等知识，解题的关键是熟练运用矩形的判定与性质，

属于常考题型.

1.如图，将矩形

ABCD

沿

EF

折叠，使点

D

与点

B

重合，点

G

为

点

C

的对应点.（1）若∠

AEB

＝40°，则∠

BFE

的度数为

⁠；

（第1题图）70°

（2）若

AB

＝6，

AD

＝18，则

CF

的长为

⁠.【解析】（2）设

BE

＝

x

，则

DE

＝

BE

＝

x

.

∴

AE

＝

AD

－

DE

＝18－

x

.在Rt△

ABE

中，

AB2＋

AE2＝

BE2，则62＋（18－

x

）2＝

x2.解

得

x

＝10.∴

BE

的长为10.∵

AD

∥

BC

，∴∠

DEF

＝∠

BFE

.

∵∠

BEF

＝∠

DEF

，∴∠

BEF

＝∠

BFE

.

∴

BF

＝

BE

＝10.∴

CF

＝

BC

－

BF

＝18－10＝8.故答案为8.（第1题图）8

（第2题图）①③④⑥

【解析】∵四边形

ABCD

为矩形，∴

AC

＝

BD

.

①正确.

AC

不一

定与

BD

垂直.②不正确.∵

AC

＝

BD

，

OA

＝

OC

，

OB

＝

OD

，

∴

OA

＝

OB

.

∴△

AOB

为等腰三角形.③正确.∵四边形

ABCD

为

矩形，∴

OB

＝

OD

.

∴

S△

ABO

＝

S△

ADO

.

④正确.∵四边形

ABCD

为矩形，∴

BD

不一定平分∠

ABC

.

∴∠

ABD

不一定为45°.⑤不

正确.∵四边形

ABCD

为矩形，∴当

AB

＝

AD

时，矩形

ABCD

为

正方形.⑥正确.故答案为①③④⑥.要点三

正方形的性质与判定

如图，在Rt△

ABC

中，∠

ABC

＝90°，先把△

ABC

绕点

B

按

顺时针方向旋转90°至△

DBE

后，再把△

ABC

沿射线

BE

平移至

△

FEG

，

DE

与

FG

相交于点

H

.

（1）试判断线段

DE

与

FG

的位置关系，并说明理由；（2）连接

CG

，求证：四边形

CBEG

是正方形.【思路导航】（1）由旋转及平移的性质可得到∠

DEB

＋∠

GFE

＝90°，进而得出结论；（2）由旋转和平移的性质可得

BE

＝

CB

＝

CG

＝

GE

，∠

CBE

＝90°，从而可证明四边形

CBEG

是

正方形.（1）解：

FG

⊥

DE

.

理由如下：∵△

ABC

绕点

B

按顺时针方向旋转90°至△

DBE

，∴∠

DEB

＝∠

ACB

.

∵△

ABC

沿射线

BE

平移至△

FEG

，∴∠

GFE

＝∠

A

.

∵∠

ABC

＝90°，∴∠

A

＋∠

ACB

＝90°.∴∠

DEB

＋∠

GFE

＝90°.∴∠

FHE

＝90°.∴

FG

⊥

DE

.

（2）证明：根据旋转和平移，可得∠

GEF

＝90°，∠

CBE

＝

90°，

CG

＝

BE

，

CB

＝

BE

，

CB

＝

GE

，∴

CG

＝

BE

＝

CB

＝

GE

.

∴四边形

CBEG

为菱形.又∵∠

CBE

＝90°，∴菱形

CBEG

是正方形.【点拨】掌握旋转和平移的性质是解题的关键，即旋转或平移

前后，对应角、对应边都相等.

如图，在矩形

ABCD

中，已知∠

BAD

的平分线交

BC

于点

E

，

EF

⊥

AD

于点

F

，

DG

⊥

AE

于点

G

，

DG

与

EF

交于点

O

.

（1）求证：四边形

ABEF

是正方形；（1）证明：∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

BAF

＝∠

ABE

＝90°.∵

EF

⊥

AD

，∴∠

EFA

＝90°.∴四边形

ABEF

是矩形.∵

AE

平分∠

BAD

，∴

EF

＝

EB

.

∴矩形

ABEF

是正方形.（2）若

AD

＝

AE

，求证：

AB

＝

AG

；