河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试 数学试题

河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题注意事项：1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4、本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册至第八章8.5。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则的虚部为A．2 B．4 C．-2 D．2．若向量，则的取值集合为A． B． C． D．3．如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是A．FG B．EH C．EF D．BC4．如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为A． B． C．6 D．5．向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量A． B． C． D．6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形7．已知正方形ABCD的边长为，则的值为A．-6 B．-5 C．-4 D．-38．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度A．200米 B．202米 C．204米 D．206米二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的行6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题正确的是A．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与直线平行B．若直线与平面相交，则平面内没有直线与直线平行C．已知两条相交直线m，n，若平面，则平面D．已知直线m，n，平面，若，则10．若，则A． B． C． D．11．已知圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，SA，SB是两条母线，是SB的中点，则A．圆锥SO的体积为 B．面积的最大值为C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为D．圆锥SO的内切球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12．若，则______.13．如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为______．14．若均为单位向量，且的取值范围是，则的取值范围是______.四、解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知，其中．（1）若为纯虚数，求的共轭复数；（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．16．（15分）已知向量a，b满足．（1）若向量a，b的夹角为，求的值；（2）若，求的值；（3）若，求向量a，b的夹角.17.（15分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）若，求外接圆的半径，（2）若的面积为，求的大小及的周长．18．（17分）如图，在长方体中，E，F分别为的中点．（1）证明：平面．（2）证明：平面．（3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长．19．（17分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．2023—2024学年第二学期九校联盟期中考试数学参考答案1．A 因为，所以的虚部为2．2．C 因为，所以，解得或0．3．C 由平面展开图得到该正方体的直观图如图所示，与直线AD是异面直线的是EF．4．D 因为是的直观图，直角边长为，所以的面积是．因为平面图形与直观图的面积之比为，所以原平面图形的面积是．5．D 如图，设，则．6．A 由正弦定理得，即，又A，B为的内角，所以．7．A 方法一：如图所示，建立以为原点的平面直角坐标系，得，则，故．方法二：，故．8．C 设米，因为在点处测得点的仰角为，所以，则米．因为在点处测得点的仰角为，所以米．由余弦定理得，即，解得．9． 已知两条相交直线m，n，若平面，则与平面的位置关系不确定，错误．已知直线m，n，平面，若，则与平行或异面，错误．10． 由题意可得，所以解得11．ACD 因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，所以扇形的弧长为，即圆锥的底面周长为．设圆锥的底面半径为，母线长为，则，所以圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确．当为轴截面时，因为，所以此时为钝角，所以当时，的面积最大，且最大值为2，故错误．当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，，由余弦定理可得，故C正确．当为轴截面时，的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径．设的内切圆半径为，则，所以，所以，故D正确．12．2 由题意可得，则，解得． 该青铜器的容积约为．14． 不妨设，则．因为的取值范围是，所以的取值范围是．当时，；当时，．综上，的取值范围是．15.解：（1）由题意可得………………2分解得，……………………4分，………………………5分所以的共轭复数为-32．……………………6分（2）由题意可得………………………9分即…………………………11分解得，即的取值范围是．………………13分16．解：（1）．…………………3分（2）由，得，……………………5分所以．………………8分故．……………9分（3）由题意得，即，…………10分得，…………………………11分所以．………………13分因为，所以，即向量的夹角为．……15分17．解：（1）因为，所以，…………………2分即，……………………3分又，所以．………………………4分因为，……………………6分所以．………………7分（2）的面积，……………………8分则，………………9分因为，所以或．………………………10分当时，，……………………11分得的周长为．………………………12分当时，，…………………13分得的周长为．………………………14分综上，的周长为或．………………15分18．（1）证明：在长方体中，，………………1分所以四边形为平行四边形，所以．……………………2分又平面平面，所以平面．………………………4分（2）证明：取BC的中点，连接FG，EG．因为E，F分别为的中点，所以，…………6分又，所以.…………7分因为，所以平面平面，…………………8分又平面EFG，所以平面．………………9分（3）解：取的中点，连接，……………11分则要求作的截面为四边形．…………12分在矩形中，，……………………13分所以，解得，……………15分所以截面的周长为．…………17分19．解：（1）因为，所以．……………2分由正弦定理得，…………3分则．………………5分因为，所以．……………