2024年重庆市渝中区中考数学二调试卷

第1页（共1页）2024年重庆市渝中区中考数学二调试卷一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）实数﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．（4分）两个相似三角形对应边上的高之比为2：3，则它们的面积比为（）A．2：3 B． C．3：2 D．4：93．（4分）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（）A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．无法确定4．（4分）如图是光的反射定律示意图，PO，OQ，反射光线和法线．若∠POM＝2∠POB，则∠AOQ的度数为（）A．18° B．20° C．30° D．36°5．（4分）估计的值应在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间6．（4分）观察下列图案，第①个图案有4个正六边形，第②个图案有7个正六边形，第④个图案有13个正六边形，……，第⑨个图案中含有的正六边形个数为（）A．25 B．28 C．31 D．347．（4分）如图①，将A4纸（矩形PQMN）沿QE折叠1落在QM上．如图②，再沿∠EQM的角平分线QF折叠，发现点E刚好与点M重合（）A． B． C． D．8．（4分）如图，∠ABC的边BA经过点O且与⊙O相交于点E，F，BC与⊙O相切于点D．若∠ABC＝m°（）A．（180﹣3m）° B．（90﹣2m）° C． D．9．（4分）如图，直线y＝﹣2x与双曲线交于点P和点Q，且MP⊥MQ，若△PMQ的面积为（）A． B． C．﹣8 D．﹣410．（4分）对一个由5个数组成的数列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可生成一个新数列S1，称为一次变换．将数列S1重复上述操作可生成新数列S2，称为二次变换．按照此方法经过n次操作可生成数列Sn.如数列S0：（5，﹣2，3，﹣2，2），经过一次变换生成新数列S1：（1，2，1，2，1），经过二次变换生成新数列S2：（3，2，3，2，3）．……以下说法，正确的个数是（）①数列S0（2，﹣5，﹣3，﹣2，2），经过一次变换生成新数列S1：（2，1，1，1，2）；②至少存在一个数列S0经过n（n≥2）次变换生成新数列Sn：（1，3，2，1，1）；③所有数列S0经有限次变换都能得到数列Sn（n≥1）与数列Sn+1相同，且数列Sn共有15种不同的结果．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）计算：＝．12．（4分）已知菱形的边长是4cm，则菱形的周长是cm．13．（4分）苏州素有“园林之城”的美誉，其四大名园：沧浪亭、狮子林、拙政园、留园，分别代表着宋、元、明、清四个朝代的艺术风格．小明一家准备五一节期间前往苏州游玩，他们想在四大名园中任意选择两个名园游玩，则选到拙政园和留园的概率是．14．（4分）某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件216件，第三天揽件253件．若设第二天，则可列方程为．15．（4分）如图，△PMN中，∠MPN＝90°，若点P的坐标为（1，0），点N的坐标为（4，6）．16．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BO长为半径画弧交AB于点E，交BC于点F，DO长为半径画弧交AD于点H，交DC于点G．若AB＝4.（结果保留π）17．（4分）如果关于x的分式方程有非负整数解，且关于y的不等式组，那么符合条件的所有整数a的值之和为．18．（4分）若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，则称该数为凹对称数．如：四位数3223是凹对称数，四位数5323，最小的凹对称数是；将凹对称数m的千位和个位上的数字分别与百位和十位上的数字对调得到的数m'称为m的凸对称数．已知凹对称数n＝1000x+100y+10y+x的凸对称数为n'．设，，若F（M）被5除余2（N）﹣F（M）+18x＝36．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）计算：（1）（a﹣1）（a+3）+a（a﹣2）；（2）．20．（10分）学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE（要求：只保留作图痕迹）已知：如图，等腰△ABC中，AD平分∠BAC，E，F分别是AB证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴，．∵AB＝AC，∴①．∵AD平分∠BAC，∴②．∵AD＝AD，∴△ADE≌③（SAS）．∴DE＝DF．小雯进一步研究，发现角平分线AD上任意一点均有此特征．请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点④．21．（10分）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用440元购进甲的数量是用180元购进乙的数量的2倍，每件甲的进价比乙多8元．（1）求甲、乙两种型号每件进价分别是多少元？（2）该超市共购进甲、乙两种布偶200个，然后将甲、乙的售价分别定价为60元和50元，全部销售完后共获利3040元22．（10分）某校有甲、乙两个校区，其中初三年级甲校区有250名学生，乙校区有350名学生．两个校区所有初三学生都参加了中招模拟体测．为了解模拟体测成绩情况，对他们本次成绩进行了收集、整理、描述和分析．成绩（均为整数，单位：分）分成4个等级；中等：35≤x＜40；良好：40≤x＜45甲校区成绩优秀等级统计表分数47484950人数31078乙校区成绩优秀等级统计表分数454647484950人数3223146两个校区成绩分析表校区平均数中位数众数方差满分率甲46.248a20.21m%乙46.2b4920.9815%根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）你认为哪个校区本次体测成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）估计本次体测成绩为满分的人数约有多少人？（结果四舍五入，保留整数）23．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，动点P从点C出发，设点P移动的路程为x，△ACP的面积为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出它的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出△ACP的面积为3时x的值．24．（10分）如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西53°方向，且在快递店C的北偏西30°方向上．（1）求超市D到直线AB的距离；（2）已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两条：①A→D→C；②A→B→C．请计算说明哪条路线短？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0）（1）求抛物线的函数表达式；（2）线段DE位于第四象限，且在线段BC上移动，EF∥y轴交抛物线于点F，求△DEF的面积的最大值，及此时点E的坐标；（3）将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过（2）中△DEF的面积取得最大值时对应的点E处，当∠PEK和∠PKE中，其中一个角与∠ACB相等时，并写出其中一个点的求解过程．26．（10分）已知△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，BD与CE交于点F．（1）如图1，求证：AE＝EF；（2）如图2，EG∥AC，且∠CGE＝45°，CD，CG之间有何数量关系；（3）若，，点P是AB边上一动点（点P与点E重合除外），连接FP，连接BF'，CE'．当BF'最小时的值．

2024年重庆市渝中区中考数学二调试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。1．（4分）实数﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【解答】解：实数﹣2的倒数是：﹣．故选：D．2．（4分）两个相似三角形对应边上的高之比为2：3，则它们的面积比为（）A．2：3 B． C．3：2 D．4：9【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为2：3，∴它们的相似比为2：3，∴面积比＝（）2＝4：8．故选：D．3．（4分）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成当太阳光照在日晷上时，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（）A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．无法确定【解答】解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影．故选：A．4．（4分）如图是光的反射定律示意图，PO，OQ，反射光线和法线．若∠POM＝2∠POB，则∠AOQ的度数为（）A．18° B．20° C．30° D．36°【解答】解：根据光的反射定律可知，∠POM＝∠MOQ，∵∠POB+∠POM＝90°，∠MOQ+∠AOQ＝90°，∴∠POB＝∠AOQ，∵∠POM＝2∠POB，∠POB+∠POM＝90°，∴3∠POB＝90°，∴∠POB＝30°，∴∠AOQ＝30°．故答案为：C．5．（4分）估计的值应在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【解答】解：＝＝，∵，即，∴，∴的值应在：3和5之间，故选：B．6．（4分）观察下列图案，第①个图案有4个正六边形，第②个图案有7个正六边形，第④个图案有13个正六边形，……，第⑨个图案中含有的正六边形个数为（）A．25 B．28 C．31 D．34【解答】解：观察图案可知，第①个图案有4个正六边形，即4＝6；第②个图案有7个正六边形，即7＝4+3×1；第③个图案有10个正六边形，即10＝3+3×2；第④个图案有13个正六边形，即13＝8+3×3；……，按此规律，第n个图案中含有的正六边形个数为：7+3（n﹣1），第⑨个图案中含有的正六边形个数为：8+3×8＝28（个），故选：B．7．（4分）如图①，将A4纸（矩形PQMN）沿QE折叠1落在QM上．如图②，再沿∠EQM的角平分线QF折叠，发现点E刚好与点M重合（）A． B． C． D．【解答】解：如图①，∵四边形ABCD是矩形，∴∠P＝∠PQM＝∠M＝∠N＝90°，∵将矩形PQMN沿QE折叠，点P的对应点P1落在QM上，∴∠EP1Q＝∠P＝90°，P6Q＝PQ，∴∠MP1E＝90°，∴四边形PQP1E和四边形EP4MN都是矩形，PQ＝P1E＝MN，∴P1Q＝P3E，∴EQ＝＝P4E＝MN，如图②，∵沿∠EQM的角平分线QF折叠，∴EQ＝MQ，∴MQ＝MN，∴＝＝，即MQ：MN＝，∴A4纸的长与宽的比为：3，故选：A．8．（4分）如图，∠ABC的边BA经过点O且与⊙O相交于点E，F，BC与⊙O相切于点D．若∠ABC＝m°（）A．（180﹣3m）° B．（90﹣2m）° C． D．【解答】解：连接OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ODB＝90°，∵∠ABC＝m°，∴∠BOD＝90°﹣m°，∵OF＝OD，∴∠OFD＝∠ODF＝＝45，∴∠FDC＝∠OFD+∠ABC＝45m°+m°＝45°+，故选：D．9．（4分）如图，直线y＝﹣2x与双曲线交于点P和点Q，且MP⊥MQ，若△PMQ的面积为（）A． B． C．﹣8 D．﹣4【解答】解：设P（x，﹣2x）＝﹣x，∵点M为x轴上一点，∠PMQ＝90°，∴OM＝OP＝OQ＝﹣x，∴S△POM＝S△PMQ＝＝4，∵，∴，解得x＝﹣2或+7（舍去），∴P（﹣2，4）．∵P点在反比例函数图象上，∴k＝﹣5．故选：C．10．（4分）对一个由5个数组成的数列S0，将其中的每个数换成该数在S0中出现的次数，可生成一个新数列S1，称为一次变换．将数列S1重复上述操作可生成新数列S2，称为二次变换．按照此方法经过n次操作可生成数列Sn.如数列S0：（5，﹣2，3，﹣2，2），经过一次变换生成新数列S1：（1，2，1，2，1），经过二次变换生成新数列S2：（3，2，3，2，3）．……以下说法，正确的个数是（）①数列S0（2，﹣5，﹣3，﹣2，2），经过一次变换生成新数列S1：（2，1，1，1，2）；②至少存在一个数列S0经过n（n≥2）次变换生成新数列Sn：（1，3，2，1，1）；③所有数列S0经有限次变换都能得到数列Sn（n≥1）与数列Sn+1相同，且数列Sn共有15种不同的结果．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①数列S0（2，﹣7，﹣2，经过一次变换生成新数列S1：（4，1，1，2，2）；②设数列S0（6，﹣5，﹣2n，若Sn＝（6，3，2，3，1）1中8的个数1+3+2+1+1＝2，而S1中1的个数应为S4中1的个数与2的个数之和，即S2中1的个数是2+5＝4，故②错误；③若数列S0经有限次变换都能得到数列Sn（n≥3）与数列Sn+1相同，则数列Sn中1的个数与S2中1的个数相同，数列Sn中2的个数与S3中2的个数相同，数列Sn中3的个数与S8中3的个数相同，•••数列Sn中n的个数与S0中n的个数相同，即数列Sn与数列S7完全相同，所以数列Sn与数列Sn+1完全相同，所以Sn共有15种不同的结果．故③正确．故选：C．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。11．（4分）计算：＝1．【解答】解：＝3﹣8＝1，故答案为：1．12．（4分）已知菱形的边长是4cm，则菱形的周长是16cm．【解答】解：∵菱形的边长是4cm，菱形的四边相等，∴菱形的周长＝4×6＝16（cm），故答案为：16．13．（4分）苏州素有“园林之城”的美誉，其四大名园：沧浪亭、狮子林、拙政园、留园，分别代表着宋、元、明、清四个朝代的艺术风格．小明一家准备五一节期间前往苏州游玩，他们想在四大名园中任意选择两个名园游玩，则选到拙政园和留园的概率是．【解答】解：列表如下：沧浪亭狮子林拙政园留园沧浪亭（沧浪亭，狮子林）（沧浪亭，拙政园）（沧浪亭，留园）狮子林（狮子林，沧浪亭）（狮子林，拙政园）（狮子林，留园）拙政园（拙政园，沧浪亭）（拙政园，狮子林）（拙政园，留园）留园（留园，沧浪亭）（留园，狮子林）（留园，拙政园）共有12种等可能的结果，其中选到拙政园和留园的结果有：（拙政园，（留园，共2种，∴选到拙政园和留园的概率是＝．故答案为：．14．（4分）某小区新增了一家快递店，据统计第一天揽件216件，第三天揽件253件．若设第二天，则可列方程为216（1+x）2＝253．【解答】解：∵第一天揽件216件，第三天揽件253件，∴216（1+x）2＝253，故答案为：216（4+x）2＝253．15．（4分）如图，△PMN中，∠MPN＝90°，若点P的坐标为（1，0），点N的坐标为（4，6）（﹣5，3）．【解答】解：如图，过点M作MA⊥AB于点A，∴∠MAP＝∠PBN＝90°，∴∠AMP+∠MPA＝90°，又∵∠MPN＝90°，∴∠MPA+∠NPB＝90°，∴∠AMP＝∠NPB，在△AMP与△BPN中，，∴△AMP≌△BPN（AAS），∴AM＝PB，AP＝BN，∵点P的坐标为（1，0），8），∴AP＝BN＝6，AM＝BP＝4﹣8＝3，∴OA＝AP﹣OP＝6﹣3＝5，∴M（﹣5，4），故答案为：（﹣5，3）．16．（4分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BO长为半径画弧交AB于点E，交BC于点F，DO长为半径画弧交AD于点H，交DC于点G．若AB＝416﹣4π.（结果保留π）【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，BD＝AC＝＝，∴OB＝OD＝＝，∴图中阴影部分的面积为：＝16﹣7π．故答案为：16﹣4π．17．（4分）如果关于x的分式方程有非负整数解，且关于y的不等式组，那么符合条件的所有整数a的值之和为﹣4．【解答】解：将关于x的分式方程的两边都乘以x﹣2，得a﹣3（x﹣4）＝﹣x，解得x＝，∵关于x的分式方程有非负整数解，∴a+7≥0且a为偶数，即a≥﹣6的偶数，由于分式方程的增根为x＝3，当x＝2时，即＝2，因此a≠﹣2，解关于y的不等式a﹣4y≤1﹣2y，得y≥a﹣2，解关于y的不等式＞6+y，由于关于y的不等式组的解集是y＞6，所以a﹣1≤3，即a≤7，所以﹣6≤a≤4的偶数且a≠2，所以符合条件的所有整数a的值之和﹣6﹣4+7+2+4＝﹣2．故答案为：﹣4．18．（4分）若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，其千位上的数字与个位上的数字相同，百位上的数字与十位上的数字相同，则称该数为凹对称数．如：四位数3223是凹对称数，四位数5323，最小的凹对称数是1001；将凹对称数m的千位和个位上的数字分别与百位和十位上的数字对调得到的数m'称为m的凸对称数．已知凹对称数n＝1000x+100y+10y+x的凸对称数为n'．设，，若F（M）被5除余2（N）﹣F（M）+18x＝363223或5335．【解答】解：∵n＝1000x+100y+10y+x，∴n′＝1000y+100x+10x+y，∴＝＝9x﹣9y，设m＝1000a+100b+10b+a（a＞b，a，b均为大于或等于6且小于或等于9的整数），则m′＝1000b+100a+10a+b，∴F（M）＝＝9a﹣3b＝9（a﹣b）．∵F（M）被5除余2，∴F（M）的个位的数字为2或7，∵a＞b，a，b均为大于或等于8且小于或等于9的整数，∴a﹣b＝3或a﹣b＝5，∴F（M）＝27或72．∵F（N）﹣F（M）+18x＝36，∴9x﹣9y﹣27+18x＝36或8x﹣9y﹣72+18x＝36，∴3x﹣y＝8或3x﹣y＝12．∴x＝或x＝．∵x＞y，x，y均为大于或等于1且小于或等于6的整数，∴x＝3，y＝2或x＝7．∴凹对称数n的值是3223或5335．故答案为：3223或5335．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。19．（8分）计算：（1）（a﹣1）（a+3）+a（a﹣2）；（2）．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+3）+a（a﹣5）＝a2+3a﹣a﹣8+a2﹣2a＝2a2﹣3；（2）＝•＝．20．（10分）学习了等腰三角形后，小雯在用尺规作等腰三角形顶角的角平分线时，发现这条角平分线与底边的交点到两腰中点的距离相等．她的解题思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：如图，用直尺和圆规作∠BAC的平分线交BC于点D，连接DE（要求：只保留作图痕迹）已知：如图，等腰△ABC中，AD平分∠BAC，E，F分别是AB证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴，．∵AB＝AC，∴AE＝AF①．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD②．∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF③（SAS）．∴DE＝DF．小雯进一步研究，发现角平分线AD上任意一点均有此特征．请你依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点到两腰中点的距离相等④．【解答】解：补全图形如下：证明：∵E，F分别是AB，∴，．∵AB＝AC，∴AE＝AF①．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD②．∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF③（SAS）．∴DE＝DF．依照题意补全命题：等腰三角形的顶角平分线上的点到两腰中点的距离相等④．故答案为：AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，到两腰中点的距离相等．21．（10分）春晚吉祥物“龙辰辰”发布后，某超市及时订购了甲、乙两种型号的“龙辰辰”布偶．已知用440元购进甲的数量是用180元购进乙的数量的2倍，每件甲的进价比乙多8元．（1）求甲、乙两种型号每件进价分别是多少元？（2）该超市共购进甲、乙两种布偶200个，然后将甲、乙的售价分别定价为60元和50元，全部销售完后共获利3040元【解答】解：（1）甲种型号每件进价是x元，则乙种型号每件进价是（x﹣8）元，由题意得：＝2×，解得：x＝44，经检验，x＝44是原方程的解，∴x﹣8＝44﹣8＝36，答：甲种型号每件进价是44元，乙种型号每件进价是36元；（2）设购进甲种型号布偶y个，则购进乙种型号布偶（200﹣y）个，由题意得：（60﹣44）y+（50﹣36）（200﹣y）＝4＝3040，解得：y＝120，答：购进甲种型号布偶120个．22．（10分）某校有甲、乙两个校区，其中初三年级甲校区有250名学生，乙校区有350名学生．两个校区所有初三学生都参加了中招模拟体测．为了解模拟体测成绩情况，对他们本次成绩进行了收集、整理、描述和分析．成绩（均为整数，单位：分）分成4个等级；中等：35≤x＜40；良好：40≤x＜45甲校区成绩优秀等级统计表分数47484950人数31078乙校区成绩优秀等级统计表分数454647484950人数3223146两个校区成绩分析表校区平均数中位数众数方差满分率甲46.248a20.21m%乙46.2b4920.9815%根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝48，b＝48.5，m＝20；（2）你认为哪个校区本次体测成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）估计本次体测成绩为满分的人数约有多少人？（结果四舍五入，保留整数）【解答】解：（1）由题意得，a＝48＝48.5＝20．故答案为：48，48.5；（2）我认为甲校区本次体测成绩更好，理由如下：因为两个校区的平均数相同，但甲校区的方差比乙校区小，所以甲校区本次体测成绩更好（答案不唯一）；（3）250×20%+350×15%≈103（人），答：估计本次体测成绩为满分的人数约有103人．23．（10分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，动点P从点C出发，设点P移动的路程为x，△ACP的面积为y．（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出它的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出△ACP的面积为3时x的值．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，∴AB＝5，当4≤x≤4时，y＝×3x，当4＜x≤7时，过点P作PF⊥AC，则AP＝9﹣x，∵∠C＝90°，∴PF∥BC，∴△APF∽△ABC，∴＝，即，解得PF＝，∴y＝×5×x+，综上所述，y＝；（2）如图所示：（3）当y＝7时，x＝8；＝3，解得x＝．∴y＝3时，x的值为2或．24．（10分）如图，小敏家A和快递店C分别位于小区大门B的正北方向和正西方向，超市D位于小敏家A的南偏西53°方向，且在快递店C的北偏西30°方向上．（1）求超市D到直线AB的距离；（2）已知由大门B出发经过快递点C再到超市D的路程也是500米．小敏家A到快递点C的路线有两条：①A→D→C；②A→B→C．请计算说明哪条路线短？（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，在Rt△AED中，AD＝500米，∴DE＝AD•sin53°≈500×0.8＝400（米），∴超市D到直线AB的距离约为400米；（2）路线①短，理由：延长CN交DE于点F，由题意得：CF⊥DE，CF＝BE，DC+BC＝500米，∴∠DFC＝90°，∵∠DCF＝30°，∴CD＝8DF，设BC＝EF＝x米，则CD＝（500﹣x）米，∵DE＝400米，∴DF＝DE﹣EF＝（400﹣x）米，∴500﹣x＝2（400﹣x），解得：x＝300，∴BC＝300米，CD＝200米，∴CF＝BE＝＝＝100，在Rt△AED中，AD＝500米，∴AE＝AD•cos53°≈500×4.6＝300（米），∴AB＝AE+BE＝（300+100）米，∴路线①的总路程＝AD+CD＝500+200＝700（米），路线②的总路程＝AB+BC＝300+100+300≈773（米），∵700米＜773米，∴路线①短．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0）（1）求抛物线的函数表达式；（2）线段DE位于第四象限，且在线段BC上移动，EF∥y轴交抛物线于点F，求△DEF的面积的最大值，及此时点E的坐标；（3）将该抛物线沿射线CB方向平移，使得新抛物线经过（2）中△DEF的面积取得最大值时对应的点E处，当∠PEK和∠PKE中，其中一个角与∠ACB相等时，并写出其中一个点的求解过程．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x7﹣2x﹣8）＝ax4﹣2ax﹣8a＝ax7+bx﹣4，则﹣8a＝﹣4，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）由点B、C的坐标知，则直线BC和x轴坐标轴的夹角为45°，∵DE＝，则D、E的横坐标差为1，故设点M（m，m﹣2），m﹣3），则点F（m+1，m2﹣），则△DEF的面积＝×EF×（xE﹣xD）＝×（m﹣3﹣m8+）×5＝m2+m+），∵＜5，当m＝1时，△DEF的面积的最大值为1，﹣5），（3）由点A、B、C的坐标得，AB＝6，BC＝4，则S△ABC＝AB×OC＝，即6×4＝×BH，解得：BH＝，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝3；∵抛物线沿射线CB方向平移，故设抛物线向右平移m个单位、向上平移m个单位符合题意，则新抛物线的表达式为：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）﹣3+m，将点E的坐标代入上式得：﹣2＝（2﹣m）2﹣（4﹣m）﹣4+m，解得：m＝﹣2（舍去）或4，则新抛物线的表达式为：y＝x7﹣3x+2，由点C、E的坐标得，由直线BC的表达式知，∠OCE＝45°，当∠PEK＝∠ACB时，即tan∠PEK＝tan∠ACB＝3，设直线PE交y轴于点N，作NH⊥CE于点H，在△NEC中，tan∠PEK＝3，故设NH＝6x＝CH，则HE＝xx，则CE＝3x+