新教材2025版高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理第1课时余弦定理学案新人教A版必修第二册

6．4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课程标准1.驾驭余弦定理及其推论．2．驾驭余弦定理的综合应用．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方，等于__________________减去这两边与它们________________的两倍公式表达a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．❶推论cosA＝b2+c2-a22bc，cosB要点二解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．助学批注批注❶(1)余弦定理对随意的三角形都成立．(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．批注❷余弦定理的推论是余弦定理的其次种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以依据角的余弦值的符号来推断三角形中的角是锐角还是钝角．夯实双基1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.()(2)余弦定理只适用于锐角三角形．()(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．()(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC肯定为钝角三角形.()2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝2π3，则A.2B．3C．5D．73．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosA＝45，b＝3，c＝5，则aA.3B．4C．10D．234．在△ABC中，若a＝8，b＝7，c＝5，则B＝________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1已知两边及一角解三角形例1(1)[2024·湖南邵阳高一期末]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝()A．3B．3C．7D．5(2)[2024·福建福州高一期末]在△ABC中，AB＝2，AC＝5，B＝45°.则BC＝()A．1B．2C．3D．4题后师说已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必需先推断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．巩固训练1(1)在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°，则BC的长为()A．19B．13C．3D．7(2)[2024·湖北武汉高一期末]在△ABC中，a＝3，B＝π3，b＝3，则cA．3B．23C．33D．3题型2已知三边解三角形例2(1)[2024·湖北荆州高一期中]已知钝角三角形的边长分别为x，x＋1，x＋2，则实数x的取值范围是()A．0<x<3B．1<x<3C．1<x<5D．0<x<5(2)[2024·山东潍坊高一期末]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝233acsinB，则题后师说1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清楚，结果唯一．2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常依据边的关系干脆代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．巩固训练2(1)[2024·福建三明高一期中]△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若a＝3，b＝13，c＝4，则B＝()A．π6B．C．π3D．(2)[2024·湖南邵阳高一期中]若△ABC三边长a，b，c满意等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC＝________．题型3利用余弦定理推断三角形的形态例3在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，试推断该三角形的形态．题后师说1．利用三角形的边角关系推断三角形的形态时，须要从“统一”入手，即运用转化思想解决问题，一般有两条思路：2．推断三角形的形态时，常用到以下结论：①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.巩固训练3若在△ABC中，2a·cosB＝c，则三角形的形态肯定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形第1课时余弦定理新知初探·课前预习[教材要点]要点一其它两边平方的和夹角的余弦的积要点二解三角形[夯实双基]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos2π3＝7，所以c＝答案：D3．解析：由余弦定理得a＝b2+c答案：C4．解析：由余弦定理cosB＝a2+c2-因为B∈(0，π)，所以B＝π3答案：π题型探究·课堂解透例1解析：(1)由已知c＝a2+b2-(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，得5＝2＋BC2－22·BCcos45°，解得BC＝3(负值舍去)．故选C.答案：(1)B(2)C巩固训练1解析：(1)由题意，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，A＝60°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝4＋9－6＝7，则BC＝7.故选D.(2)由余弦定理可得9＝b2＝a2＋c2－2accosπ3＝3＋c2－3c，即c2－3c∵c>0，解得c＝23.故选B.答案：(1)D(2)B例2解析：(1)三角形的边长分别为x，x＋1，x＋2，首先满意x＋x＋1>x＋2，解得x>1，因为三角形为钝角三角形，所以长边x＋2所对的角α为钝角，则满意cosα＝x2+x+12-所以1<x<3，故选B.(2)因为a2＋c2－b2＝233acsinB，所以33sinB所以33sinB＝cosB，所以tanB＝3，又0<B<π，所以B＝π答案：(1)B(2)π巩固训练2解析：(1)因为a＝3，b＝13，c＝4，所以由余弦定理得，cosB＝a2+c2-因为B∈(0，π)，所以B＝π3(2)因为3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cosC＝a2+b答案：(1)C(2)－1例3解析：由acosB＋acosC＝b＋c并结合